斜杆上的“类简谐运动”——弹性绳+摩擦力模型问题链 作业设计 -2027届高考物理二轮复习

斜杆上的“类简谐运动”——弹性绳+摩擦力模型问题链 一、多选题（黑龙江哈尔滨三中27届高三10月） 1．如图，与水平面成53°夹角且固定于O、M两点的粗糙硬直杆上套着一质量为1kg的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长等于OQ，且OQ竖直，PQ长为1.4m且PQ⊥OM。现将滑块从P点无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，滑块与杆之间的动摩擦因数为0.25，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量满足F=kl，k=10N/m，g取10m/s²，sin53°=0.8。滑块下滑过程中，弹性绳弹力始终在弹性限度内，弹性绳的弹性势能满足，l为其形变量。下列说法正确的是（） A．滑块下滑过程中与杆之间的滑动摩擦力大小始终为2N B．以P为原点沿杆向下建立轴x，则滑块第一次下滑达到最大速度过程中，加速度a与沿杆位移x的a-x图像斜率逐渐减小 C．滑块沿杆下滑过程中的最大速度大小为 D．滑块从释放到最终静止克服滑动摩擦力做功为3.2J 一题多问 一、模型建立与核心分解 （1）请建立沿杆与垂直杆的坐标系，对滑块进行受力分析，并写出弹力在两个方向的分力表达式。 （2）弹力沿杆方向与垂直杆方向的分力具有什么样的特点？ （3）求滑块与杆之间的正压力和滑动摩擦力。 （4）写出沿杆方向的合力表达式，并判断滑块能否用简谐运动模型描述。 二、第一次下滑阶段（简谐运动） （5）物体向下运动多长速度最大？速度最大是多少？（要求用两种方法求解） （6）第一次下滑阶段的振幅是多大？ （7）物体向下运动的最大距离为多少？请用简谐运动的对称性解释。 三、第一次上滑阶段（新的简谐运动） （8）滑块到达最低点后能否静止？请通过受力分析判断。 （9）滑块向上滑动时，沿杆方向的合力表达式是什么？新的平衡位置在哪里？ （10）物体向上运动的振幅为多大？向上运动的最大距离为多少？ （11）滑块向上运动到最高点时，能否静止？ 四、全过程总结与规律提升 （12）这两次简谐运动是否相同？请总结在恒定摩擦力作用下，单向简谐运动振幅的衰减规律。 （13）全过程中摩擦生热为多少？ （14）拓展提升：若将动摩擦因数改为，其他条件不变，滑块释放后能否下滑？最终静止在何处？ 参考答案 一、模型建立与核心分解 （1）请建立沿杆与垂直杆的坐标系，对滑块进行受力分析，并写出弹力在两个方向的分力表达式。 答：设滑块从点沿杆向下运动位移，弹性绳伸长量为，绳与杆夹角为。 弹力大小为。 · 沿杆方向的分力：。由几何关系，（绳长在杆方向的投影），故： · 垂直杆方向的分力：。由几何关系，（绳长在垂直杆方向的投影恒等于），故： 核心特点：沿杆分力与位移成正比（线性回复力）；垂直杆分力恒定不变，导致正压力和摩擦力恒定。 （2）弹力沿杆方向与垂直杆方向的分力具有什么样的特点？ 答： · 沿杆方向：，大小与位移成正比，方向始终指向点（阻碍滑块远离点），是一个线性回复力。 · 垂直杆方向：，恒定不变，与滑块位置无关。 这一特点是本题能够用简谐运动分析的根本原因。 （3）求滑块与杆之间的正压力和滑动摩擦力。 答：垂直杆方向受力平衡。重力垂直杆向下的分力为： 弹力垂直杆方向的分力，方向背离杆（向上）。 由平衡条件： 滑动摩擦力： 结论：正压力恒为，摩擦力恒为。 （4）写出沿杆方向的合力表达式，并判断滑块能否用简谐运动模型描述。 答：以沿杆向下为正方向，沿杆方向的力有： · 重力沿杆分力：（向下，正） · 摩擦力：（向上，负） · 弹力沿杆分力：（向上，负） 合力： 令，得平衡位置： 令（以平衡位置为原点），则： 结论：合力与位移成正比且方向相反，完全符合简谐运动的回复力公式，等效劲度系数。可以用简谐运动模型描述。 二、第一次下滑阶段（简谐运动） （5）物体向下运动多长速度最大？速度最大是多少？ 答： 速度最大位置：速度最大时，沿杆方向合力为零，即到达平衡位置： 滑块向下运动时速度最大。 方法1：用动能定理求解最大速度 从释放点（）到平衡位置（）： · 重力做功： · 摩擦力做功： · 弹性势能增加： 动能定理： 方法2：用简谐运动动能定理求解最大速度 在简谐运动中，系统从端点（速度为0，位移为振幅）运动到平衡位置（速度最大，位移为0）的过程中，回复力做的功等于弹性势能的减少量，全部转化为动能。 对于水平简谐运动，有： 其中为振幅，为等效劲度系数。 本题中： · 振幅（从释放点到平衡位置的距离） · 等效劲度系数 代入： 两种方法结果一致，最大速度为。 注意：方法2之所以成立，是因为沿杆方向的合力已经化为了标准简谐运动形式，重力沿杆分力和摩擦力的合力已经被平衡位置偏移所吸收。因此，从端点（速度为0）到平衡位置（速度最大）的过程中，动能全部来自“等效弹性势能”的释放。 （6）第一次下滑阶段的振幅是多大？ 答：简谐运动的振幅等于从释放点到平衡位置的距离。 释放点：，平衡位置：。 第一次下滑阶段的振幅为。 （7）物体向下运动的最大距离为多少？请用简谐运动的对称性解释。 答：简谐运动具有对称性：从一端点（速度为0）到平衡位置的距离等于从平衡位置到另一端点（速度为0）的距离。 释放点是端点，平衡位置，振幅。 另一端点（最低点）： 滑块向下运动的最大距离为。 此时速度为0，弹性绳伸长量最大，弹力沿杆分力。 三、第一次上滑阶段（新的简谐运动） （8）滑块到达最低点后能否静止？请通过受力分析判断。 答：在最低点处，速度为0。此时沿杆方向的力： · 重力沿杆向下分力：（向下） · 弹力沿杆向上分力：（向上） · 最大静摩擦力（等于滑动摩擦力）： 弹力向上分力与重力向下分力的差值： 该差值，超过最大静摩擦力，滑块不能静止，将沿杆向上滑动。 （9）滑块向上滑动时，沿杆方向的合力表达式是什么？新的平衡位置在哪里？ 答：滑块向上滑动时，摩擦力方向变为沿杆向下（阻碍上滑）。 以沿杆向下为正方向： · 重力沿杆分力：（向下，正） · 摩擦力：（向下，正） · 弹力沿杆分力：（向上，负） 合力： 令，得新的平衡位置： 令，则，仍为简谐运动，等效劲度系数仍为。 结论：上滑阶段仍然是简谐运动，但平衡位置从变到了。 （10）物体向上运动的振幅为多大？向上运动的最大距离为多少？ 答：上滑阶段的简谐运动从最低点（速度为0）开始，新平衡位置在。 振幅： 由简谐运动对称性，滑块从最低点向上运动到速度再次为0的位置，该位置到新平衡位置的距离也等于振幅： 向上运动的振幅为，向上运动的最大距离为： （11）滑块向上运动到最高点时，能否静止？ 答：在处，速度为0。沿杆方向的力： · 重力沿杆向下分力：（向下） · 弹力沿杆向上分力：（向上） 两者恰好相等： 摩擦力所需提供的力为0，远小于最大静摩擦力。 结论：滑块在处恰好受力平衡，能够保持静止。 四、全过程总结与规律提升 （12）这两次简谐运动是否相同？请总结在恒定摩擦力作用下，单向简谐运动振幅的衰减规律。 答：不相同。两次简谐运动的等效劲度系数相同（），但平衡位置不同： 阶段 运动方向 摩擦力方向 平衡位置 振幅 第一次下滑 向下 向上 第一次上滑 向上 向下 振幅衰减规律： 在恒定摩擦力作用下，简谐运动的平衡位置会发生偏移。以沿杆向下为正方向： · 向下运动时，摩擦力向上，平衡位置为 · 向上运动时，摩擦力向下，平衡位置为 两个平衡位置之差： 每次经过半个周期（从一个端点运动到另一个端点），振幅的衰减量为： 代入数据： 验证：，，与前面计算结果一致。 推广：若摩擦力恒定，第次半周期的振幅为： 当振幅衰减到满足时，滑块将无法继续运动，最终静止在某个平衡位置附近。 （13）全过程中摩擦生热为多少？ 答：方法一：用总路程计算 总路程： 摩擦生热： 方法二：用能量守恒验证 从释放点到最终静止（）： · 重力势能减少： · 弹性势能增加： 由能量守恒： 两种方法结果一致，摩擦生热为。 （14）拓展提升：若将动摩擦因数改为，其他条件不变，滑块释放后能否下滑？最终静止在何处？ 答： 正压力仍为，摩擦力： 释放时沿杆方向的力： 能够下滑。 沿杆方向合力： 平衡位置： 第一次下滑振幅： 最低点： 在最低点，弹力沿杆分力，重力沿杆分力，差值，滑块能够静止在最低点。 最终静止在处。 摩擦生热： 五、方法总结 1. 垂直杆方向：弹力分力恒定，导致正压力和摩擦力恒定。 2. 沿杆方向：弹力分力，与位移成正比，构成线性回复力。 3. 简谐运动条件：合力可写成的形式，等效劲度系数。 4. 平衡位置偏移：摩擦力方向改变时，平衡位置会移动，移动量为。 5. 振幅衰减：每经过半个周期，振幅衰减。 6. 最大速度求解：可用动能定理，也可用简谐运动动能定理。 7. 最终静止条件：当滑块到达某端点时，若弹力沿杆分力与重力沿杆分力的差值不超过最大静摩擦力，则滑块静止。 8. 能量守恒：摩擦生热，也可用能量守恒验证。 练习2．（25年陕晋青宁）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 3．如图所示，与水平面成53°夹角且固定于、两点的硬直杆上套着一质量为1kg的滑块（可视为质点），弹性轻绳一端固定于点，另一端跨过固定在处的光滑定滑轮与位于直杆上点的滑块拴接，弹性轻绳原长为，为1.6m且垂直于。现将滑块无初速度释放，下滑的最大位移为。假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹性轻绳上弹力的大小与其伸长量满足，，取，。则滑块（） A．与杆之间的弹力大小始终为10N B．与杆之间动摩擦因数为0.16 C．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为2.4J D．从释放到静止的位移大小为0.8m 试卷第8页（共8页） 2 学科网（北京）股份有限公司 《斜杆上的“类简谐运动”——弹性绳+摩擦力模型问题链》参考答案 题号 1 2 3 答案 ACD AC AD 1．ACD 【详解】ABC．设的长度为，其中。以为原点，沿杆向下为正方向，设滑块下移后位于点。轻绳原长等于，故此时绳的伸长量等于；由，整理得 下图表示滑块当前位置及用于分解张力的直角三角形，蓝色虚线为辅助线。 由胡克定律得，结合直角三角形，张力垂直杆指向一侧的分量为 将杆对滑块的支持力记为，滑动摩擦力记为。滑块垂直杆方向上无加速度，取指向一侧为正，受力平衡方程为 因此支持力指向背离一侧，其大小始终为 滑动摩擦力大小为 下滑时摩擦力沿杆向上，下图以时的下滑状态为例表示滑块所受的四个实际力，蓝色虚线表示杆的方向。 结合直角三角形，张力沿杆向上的分量为 沿杆向下应用牛顿第二定律得 整理得 因此加速度随位移变化的图像为斜率恒定的直线。在首次下滑过程中，到达处以前，加速度沿杆向下，速度增大；经过该处后，加速度沿杆向上，速度减小，故速度在该处达到最大。由题给弹性势能公式，绳的弹性势能相对释放时增加了 从释放到首次下滑位移为的过程，对滑块应用动能定理，弹力做功等于绳的弹性势能减少量，故 于是速度满足 代入得，故AC正确，B错误； D．设滑块首次速度减至零时沿杆的位移为。在前述速度关系中取，舍去释放位置对应的零根，得 此时张力沿杆向上的分量与重力沿杆向下的分量之差为 该差值超过最大静摩擦力，故滑块不能停在此处，将沿杆上滑。设它上滑距离后再次速度为零，上滑时摩擦力沿杆向下，由动能定理得 取非零解，得 此处相对点沿杆向下的位移为 张力沿杆向上的分量为 恰与重力沿杆向下的分量相等，滑块可保持静止，因而运动总路程为 克服滑动摩擦力做功为，故D正确。 故选ACD。 2．AC 【详解】A．根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与PQ间夹角为时，对滑块进行受力分析，如图所示 在垂直杆方向有 由胡克定律结合几何关系有 联立解得 可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 故A正确； B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，冲量是矢量，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量不相同，故B错误； C．设滑块从释放到静止运动的位移为，滑块开始向下做加速度减小的加速运动，当沿着杆方向合力为0时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动，当速度为0时，有 由几何关系可得 此时 则滑块会继续向上滑动，做加速度减小的加速运动。当滑块速度再次为0时，有 解得 此时 此时 则滑块静止，故从释放到静止，滑块的位移为，故C正确； D．从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为，由能量守恒定律有 解得 故D错误。 故选AC。 3．AD 【详解】A．设滑块下滑到某位置时，弹性轻绳与$PQ$间的夹角为，此时弹性轻绳的拉力大小为 拉力在垂直于杆方向的分力大小为 联立解得 代入数据解得 对滑块在垂直于杆方向根据受力平衡有 解得 可知滑块与杆之间的弹力大小始终为，故A正确； B．滑块下滑过程中受到的滑动摩擦力大小为 滑块从释放到向下运动到最低点，设下滑最大位移为，根据能量守恒定律有 代入已知数据解得 故B错误； C．滑块在最低点时，弹性轻绳的拉力在沿杆方向的分力大小为 代入数据解得 此时重力沿杆向下的分力与最大静摩擦力之和为 代入数据解得 由于，滑块会继续向上滑动，设滑块向上滑动位移为时速度再次减为，对滑块上滑过程根据能量守恒定律有 解得 滑块从释放到静止，克服滑动摩擦力做功为 代入数据解得 故C错误； D．当滑块上滑后，滑块距点的距离为 解得 此时弹性轻绳拉力沿杆方向向上的分力为 代入数据解得 重力沿杆向下的分力大小为 解得 此时，滑块所受合力为，能保持静止，所以从释放到静止的位移大小为，故D正确。 故选AD。 答案第4页（共5页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $