动力学中神奇的“三分之二”临界问题 作业设计 -2027届高考物理一轮复习

动力学中神奇的“三分之二”临界问题 力学三大观点综合应用 核心考点：机械能守恒定律、水平方向动量守恒定律、关联速度、临界条件分析 核心发现：三个经典模型在特定临界条件下，都会得出这一优雅结果，但背后的物理机制截然不同。 第一部分：题目 第一题：小球在光滑半圆轨道上滑动，脱离轨道临界情况 【模型特点】单体模型，最基础。 题目：如图所示，光滑半圆轨道固定于地面，半径为。小球从轨道最高点无初速度滑下。求小球脱离轨道时，小球与圆心连线与竖直方向的夹角满足什么条件？ 第二题：轻杆连接两球，A倒下，B在墙角脱离的临界情况 【模型特点】双体系统，但B在墙角静止不动，本质上是A绕B转动。 题目：如图所示，质量均为的两球A、B用长为的轻杆连接。A靠在竖直墙面上，B在墙角。A无初速度向右倒下。 (1)求B脱离墙角时，杆与竖直方向的夹角满足什么条件？并求此时A球的速度大小。 (2)【拓展】若A继续倒下直到落地，求A落地瞬间，A、B两球的速度大小。 第三题：轻杆连接两球，B滑动，A脱离墙面的临界情况 【模型特点】双体系统，最复杂。A和B都在运动，且方向不同，需要用到关联速度，临界条件也非常特殊。 题目：如图所示，质量均为的两球A、B用长为的轻杆连接。A靠在竖直墙面上，B在光滑水平地面上。B无初速度向右滑动。 (1)求A脱离墙面时，杆与竖直方向的夹角满足什么条件？并求此时A、B两球的速度大小。 (2)【拓展】若A继续下落直到落地，求A落地瞬间，A、B两球的速度大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 第二部分：答案与解析 第一题答案与解析 (1)能量守恒：小球下滑，重力势能转化为动能。 (2)临界条件：脱离轨道时，轨道对小球的支持力。此时小球只受重力，重力沿半径方向的分量恰好提供向心力。 (3)联立求解：将代入能量方程： 答案：当时，小球恰好脱离轨道。 【检查点】本题是纯单体圆周运动，临界条件“支持力为零”非常直观，是三个题中最容易理解的。 第二题答案与解析 第(1)问：脱离墙角的临界条件 (1)能量守恒：A球下落，重力势能转化为A绕B转动的动能。因为B静止，系统动能就是A的动能。 (2)临界条件：B脱离墙角时，墙壁对B的支持力为0。此时杆对B的拉力也必须为0（否则B会有水平加速度）。这意味着A球此时只受重力，重力沿杆方向的分量提供A做圆周运动的向心力。 (3)联立求解：将代入能量方程： (4)求此时A球的速度大小：将代入： 答案：当时，B脱离墙角，此时A球的速度大小为。 第(2)问（拓展）：A落地时，A、B两球速度大小 (1)明确脱离瞬间的状态（作为第二阶段的初始条件）： 由第(1)问可知，脱离瞬间： · A的速度：，方向垂直于杆 · A的水平分速度：，其中 · B的速度：（B在墙角静止） (2)水平方向动量守恒：B脱离墙角后，系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒。设A落地时水平速度为，B速度为。 (3)落地瞬间的几何关联：A落地时，杆水平。此时A和B的水平速度必须相等（沿杆方向速度相等）： 代入(1)得： 所以。 (4)A的竖直速度（落地瞬间）：设A落地时竖直速度为。此时A的总速度平方为： (5)系统机械能守恒（从脱离瞬间到落地）：脱离瞬间系统总机械能（以地面为零势能面）： 其中，，。 落地瞬间系统总机械能： 由机械能守恒： 答案（第二题拓展）： · A的速度：水平，竖直，总速度 · B的速度：（水平方向） 【检查点】本题的关键是B球在墙角不动，系统动能只有A的动能。脱离后水平动量守恒，落地时水平共速、竖直只有A有速度。 第三题答案与解析 第(1)问：脱离墙面的临界条件 (1)物理过程分析：在A脱离墙面之前，墙壁对A有向右的弹力。这个弹力通过杆传递给B，对B做正功，使B向右加速。当A脱离墙面瞬间，墙壁对A的弹力突变为0，此后杆对B不再有向右的推力，B不再加速，速度达到最大值。所以，临界条件是：达到最大值。 (2)能量守恒与关联速度： · 系统机械能守恒（设杆与竖直方向夹角为）： · 关联速度（A和B沿杆方向速度分量相等）： (3)推导关于的表达式：将(2)代入(1)： (4)求的最大值（即A脱离墙角时的角度）：令，则。对求导，寻找极值点： 因为（A还在空中），所以： 即：时，达到最大值，此时A恰好脱离墙面。 (5)求此时A、B两球的速度大小：将代入表达式(3)： 由关联速度(2)求： 答案：当时，A恰好脱离墙面。此时，。 第(2)问（拓展）：A落地时，A、B两球速度大小 (1)明确脱离瞬间的状态（作为第二阶段的初始条件）： 由第(1)问可知，脱离瞬间： · A的水平分速度： · B的速度：（水平向右） (2)水平方向动量守恒：A脱离墙面后，系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒。设A落地时水平速度为，B速度为。 (3)落地瞬间的几何关联：A落地时，杆水平。此时A和B的水平速度必须相等（沿杆方向速度相等）： 代入(1)得： 所以。 (4)A的竖直速度（落地瞬间）：设A落地时竖直速度为。此时A的总速度平方为： (5)系统机械能守恒（从脱离瞬间到落地）：脱离瞬间系统总机械能（以地面为零势能面）： 其中，，。 落地瞬间系统总机械能： 由机械能守恒： 其中。 答案（第三题拓展）： · A的速度：水平，竖直，总速度 · B的速度：（水平方向） 【检查点】本题的陷阱在于不能对A使用向心力公式，因为A此时并非做单纯的圆周运动。真正的临界条件是B的速度达到极值。落地时水平共速，竖直只有A有速度。 $