2.2 简谐运动的描述-【成才之路·学案】2026-2027学年高中物理选择性必修1同步新课程学习指导（人教版）

056 素养能力提升 拓展整合·启智培优 根据质点振动情况判断振动图像的基本思路 1.弄清质点的振动情况，如平衡位置、振动最大位移、规定的正方向等。 2.确定t=0时刻质点的位移和运动方向，若t=0时刻质点的位移不同，则振动图像不同。 3.明确平衡位置处质点的位移为零，速度最大。 例5：装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图所示，将试管竖直提起少许，然后由静 止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖 强 直向上为正方向，则下列选项中描述试管振动的图像可能正确的是() AA: D 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 2.简谐运动的描述 ●目标重点展示 素养目标 学习重点 知道振幅、周期、频率的概念及其相互关系，知道全振动 物理观念 和圆频率的含义。 (1)振幅、周期、频率、圆 了解相位、初相位和相位差的概念、相互关系及相位的物 频率 科学思维 理意义。 (2)相位及相位差 (3)简谐运动的公式 经历测量小球振动周期的实验过程，能分析数据、形成 科学探究 结论。 探究点1简谐运动的振幅、周期和频率 [辨析] ●要点归纳 振幅和位移的区别 (1)位移是矢量，振 1.振幅 幅是标量。 (1)概念：振动物体离开平衡位置的 距离。 (2)振幅等于最大位 (2)意义：振幅是表示 大小的物理量，常用字母 表 移的数值。 示。振动物体运动的范围是振幅的 P[辨析] (3)对于一个给定的 2.周期和频率 振动，振子的位移是 (1)全振动 时刻变化的，但是振 AAAAAAAAAAAA 如果从振子向右经过O点时开始计时，则从O→ 幅是不变的。 M 即完成了一次全振动。●[理解][思考] 057 (2)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫作振动 [理解] 的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 (s)。 正确理解全振动的概 (3)频率：物体完成全振动的 与 之比叫作振动的 念，还应注意把握全 振动的三个特征。 频率，数值等于单位时间内完成 的次数，用f表示。在国际单位制 (1)物理量特征：位 中，频率的单位是 ,简称 ,符号是 移(x)、加速度(a)、 (4)周期和频率的关系：∫= 。周期和频率都是表示物体 速度()三者第一次 的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越 同时与初始状态 相同。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 、与频率成 (2)时间特征：不管 ,它们间的关系式为ω= ,0= 从哪儿作为开始研究 》特别提醒 的起点，做简谐运动 (1)T∫、ω均是表示物体振动快慢的物理量。 的物体完成一次全振 (2)同一套弹簧振子的振动周期与其振幅无关。所有简谐运动的周期由 动的时间总是相同的 (3)路程特征：振幅 振动系统本身的性质决定，均与其振幅无关。 的4倍。 3.振动物体在一段时间内通过的路程 (1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为振幅的4倍，则在n个周[思考] 期内通过的路程必为n·4A。 从某位置到重新回到 (2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为振幅的2倍。 该位置的过程是一次 全振动过程吗？举例 (3)振动物体在4周期内通过的路程可能等于振幅，还可能大于或小于 说明一次全振动的 过程。 振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，4周期内通过的路程才 AAAA4A 等于振幅。 [判断正误] 提示：从某位置再回 (1)当位移为负向最大时，振幅为负值。 到该位置的过程不 ) 定是一次全振动，如 (2)振幅随时间做周期性变化。 ( ) 图中0→B→0。 (3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。 一次全振动是物体的 位移经过一次往复运 (4)振动物体的周期越大，表示振动得越快。 ( ) 动返回到初始值，且 运动状态也与初始状 (5)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期。 ( ) 态一样。如图中0→ 类型一：根据运动过程分析物理量 B0→C>0。 例1：弹簧振子在A、B之间做简谐运动，如图所示，O为 平衡位置，测得A、B间距为8cm,完成30次全振 0000000 动所用时间为60s。则 A 0 B A.振动周期是2s,振幅是8cm B.振动频率是2Hz C.振子完成一次全振动通过的路程是16cm D.振子过O点时开始计时，2s内发生的位移为4cm 058 类型二：根据图像分析物理量 例2：一质点做简谐运动，其相对平衡位置的位移 2.0-------- x与时间t的关系如图所示，由图可知 00.40.81.21.62.0 2.4 A.质点振动的频率为1.6Hz -2.0 B.质点振动的振幅为4.0cm C.在0.3s和0.5s两时刻，质点的速度方向相同 D.在0.3s和0.5s两时刻，质点的加速度方向相同 探究点2简谐运动的相位、表达式 [思考] 两个简谐运动有相位 ●要点归纳 差△0，说明了什么？ 甲、乙两个简谐运动 1.相位 (1)定义：从x=Asin(wt+p)可以发现，当(wt+p)确定时，sin(ot+p) 的相位差为了，意味 的值也就确定了，所以（ω+φ）代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运 着什么？ 动周期中的哪个状态。物理学中把 叫作相位。 提示：两个简谐运动 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 有相位差，说明其步 (3)相位差：两个具有相同 的简谐运动的相位的差值，△p= 调不相同。甲、乙两 （91>P2),常说1的相位比2 △φ，或者说2的相位比1个简谐运动的相位差 △po P[思考] 为弓元，意味着乙总 (4)同相和反相 ①同相：表明两个振动物体 相同，相位差△φ= 比甲希后个周期或 ②反相：表明两个振动物体 完全相反，相位差1△p1 0 D[举例] 子次金抓动。 2.简谐运动的表达式 [举例] 同相与反相示例 (1)表达式：简谐运动的表达式可以写成x=Asin(ad+p)或x=Asin(T1+9 M (2)表达式中各量的意义 B 0 A ①x表示振动物体相对于 的位移。 有两个弹簧振子，如 ②A表示简谐运动的 上图所示，甲、乙两 (3)“ω”是简谐运动的 球同时自A点、、B点 (4)“(o+p)或牙1+p表示简谐运动的 释放，其x-t图像如 下图所示，两者的相 (5)“p”表示简谐运动的 ,简称 位差为元，振动步调 》特别提醒 总是相反。 (1)相位wt+p是随时间变化的一个变量。 (2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。 A [判断正误] 甲 1 说明：若两个小球同 (1)按x=5sin(8mt+4π)cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为4s。 时自A点释放，则两 者同相，步调一致。 (2)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示。 (3)如果两个振动存在相位差，则说明它们的振动步调是不一致的。( ●0S9 类型一：根据表达式分析相位、相位差和振子的运动规律 例3：（多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x=3sin( )cm,则 ( A.质点的振幅为3m B.质点振动的周期为3s C质点振动的周期为。 [规律方法]解答振 D.t=0.75s时刻，质点回到平衡位置 >[规律方法] 动方程问题注意的 类型二：求解简谐运动的振动方程 事项 (1)明确表达式x= 例4：一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时 ◆x/cm Asin(ωt+中)中各量 间的关系如图所示。 0.25 的物理意义。 (1)写出这个简谐运动的位移随时间变化 ×10-2s (2)明确振幅、周 的关系式（用正弦函数表示）： (2)从t=0到t=6.5×102s的时间内，振 由x=Asin(ωt+4)求出w 期、频奉的对应关 和初相个即可写出函数表示， 子通过的路程为多大？ 先求出6.5×102s相当于多少个周期下结合一个周期内 其中0=2严初相伞可以将 系，其中T=2元， 振子运动4A可以求出路程 坐标(0，-2)代入求出 (3)把确定的物理量 与所需要解决的问题 相对应，找到物理量 之间的关系。 跟踪训练：有一个弹簧振子，振幅为0.8cm,周期为0.5s,初始时具有负 方向的最大加速度，则它振动的函数表达式是 () Ax=8×103sin4n+2}m Rx=8×10sin4mt-2）m C.x=8×103 sinTt ,3 nx=8x10sn(径+2m .3 n4+2πm 060 素养能力提升 拓展整合·启智培优 简谐运动的对称性与周期性 1.简谐运动的对称性的理解 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则： 状态量的 (1)物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反； 对称性 (2)物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反 (1)振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所 示，tBC=tcB; 时间的 (2)振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一 [规律方法] 对称性 定相等，如图所示，tc=tg (1)周期性造成多 C B O B C 解：物体经过同一位 置可以对应不同的时 2.简谐运动的周期性 刻，物体的位移、加 简谐运动具有重复性和周期性，要比较两个时刻t1、2做简谐运动的质点 速度相同，而速度可 的振动情况，有以下规律(n=1,2,…): 能相同，也可能等大 (1)若2-1=nT,则t1、2两时刻振动物体的运动情况完全相同。 反向，这样就形成简 谐运动的多解问题。 (2)若。-4=n7+7,则4两时刻物体的各矢量(x,Fa,、…)均大 (2)对称性造成多 解：由于简谐运动具 小相等、方向相反。 有对称性，因此当物 (3)当h-4,=n7+T或-4=T+子T时，若时刻物体在平衡位 体通过两个对称位置 时，其位移、加速度 置，则2时刻物体到达最大位移处；若1时刻物体在最大位移处，则2时刻 大小相同，而速度可 物体到达平衡位置。 能相同，也可能等大 例5：一质，点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1s;质 反向，这种也形成多 点通过B点后再经过1s又第二次通过B点。在这2s内质点通过的总 解问题。 路程为12cm,则质点的振动周期和振幅分别是 A.3 s,6 cm B.4 s,6 cm C.4 s,9 cm D.2 s,8 cm [规律方法] 例6：一弹簧振子做简谐运动，周期为T,则 () A.若t时刻和(t+△)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△ 一定等于T的整数倍 B.若t时刻和(t+△)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△ 定等于了的整数倍 C.若△t=T,则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等 D.若41=子，则在1时刻和(1+4)时刻弹簧的长度一定相等 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[13]例1：BC振子的平衡位置为振子原来静止时的位置，故A错 误，B正确：某时刻振子的位移为从平衡位置指向该时刻振子 所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，钢球振动到距原静 止位置下方3cm处时位移为3cm,钢球振动到距原静止位置 上方2cm处时位移为-2cm,故C正确，D错误。 探究点2弹簧振子的位移一时间图像 要点归纳 1.平衡位置水平 2.时间位移x位移 判断正误 (1)V(2)×(3)V 例2：B当纸带不动时，描出的只是振子在平衡位置两侧往复运 动的轨迹，即一段线段，选项A错误，B正确；由振动图像可以 看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，选项C错误；只 有当纸带匀速运动时，振动图像才是正弦或余弦函数曲线，而 简谐运动的图像一定是正弦或余弦函数曲线，故选项D错误。 例3：AC振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方 向，所以振子运动到A点是正向最大位移，运动到B点是负向 最大位移，则t2时刻，振子在A点，4时刻，振子在B点，故A 项正确，B项错误：振子的位移是以平衡位置为起点，所以在 t1~2和3~t4时间内振子的位移都在增大，故C项正确，D 项错误。 跟踪训练1：D由x-t图像的切线斜率表示速度可知，振子在 0.1s末的速度方向沿x轴负方向，在0.3s末的速度方向沿x 轴正方向，A,C错误。振子在平衡位置附近做往复运动，运动 轨迹为一线段，B错误。在0.2s末振子在最大位移处，则回 复力最大，加速度最大，速度为零，D正确。 探究点3简谐运动 要点归纳 1.正弦正弦 判断正误 (1)V(2)V(3)V 例4：CD小球经过O点时速度最大，A错误；小球经过M点与 N点时的加速度大小相等，方向相反，B错误；小球从M点向 O点运动时，加速度减小，速度增大，C正确；小球从O点向W 点运动时，加速度增大，速度减小，D正确。 跟踪训练2：CO为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零， 位移为零，速度最大，B错误；振子在a、b两位置，振动的位移 最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。 素养能力提升 例5：D试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮 力相等的位置，开始时向上提起的距离就是其偏离平衡位置 的位移，为正向最大位移，故D正确。 2.简谐运动的描述 探究点1 简谐运动的振幅、周期和频率 要点归纳 1.(1)最大(2)振动幅度A两倍 2.(1)N0M0(2)全振动秒(3)次数所用时间 全振动赫兹赫业(4)7振动快慢快(5)反比 正比2牙2 22 判断正误 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 例创1：C由题意可知T-8=-25,A=受cm=4em,放A错误： 频率∫=7=宁以=05比，放B错误：振子完成-次全振动 通过的路程为振幅的4倍，即4×4cm=16cm,故C正确：振 子过0点时开始计时，在2s内发生的位移为零，故D错误。 倪：C由图凌出周期T=1.6s,则频率为f=7=6业，放 A错误；质点的振幅等于振子的位移最大值，由图直接读出振 幅A=2.0cm,故B错误：在0.3s时刻，质点正从正向最大位 移向平衡位置运动，速度沿负方向：在0.5s时刻，质点正从平 衡位置向负向最大位移处运动，速度方向沿负方向，故这两个 时刻的速度方向相同，故C正确；在0.3s和0.5s两时刻，质 点的加速度方向相反，故D错误。 探究点2简谐运动的相位、表达式 要点归纳 1.(1)(ot+p)(2)状态(3)频率9，-92超前落后 (4)步调0步调π 2.(2)平衡位置振幅(3)圆频率(4)相位(5)初相位 初相 判断正误 (1)V(2)V(3)× 例3：BD根据题意可知，质点的振幅为3cm,A错误；根据题意 可知，圆频率w=号as,放周期T-石=3s,B正确，C错 误：t=0.75s时，代人关系式可得x=0,故质点回到平衡位 置，D正确 例4：(1)x=2sim100t-号m(2)26cm 2 解析：(1)由图可知T=2×102s,A=2m,圆频率为w= l00mra/s,可得简谐运动的位移随时间变化的关系式为x= 2sin100m-em. (2)=0到1=6.5×102s的时间为4=65×102g=号7， 根据简谐运动的周期性，一个周期内通过的路程为4A,所求 路程为s=5×4A=13A=13×2cm=26cm0 跟踪训练：AA=8×10m,T=0.55,0-2牙=4ma/s;初始 时具有负方向的最大加速度，即初相位”=受，则x=8× 103sm4mt+受}m。故A正确。 素养能力提升 例5：B质点运动的过程如图所示，其中红色实线为由A到B的 运动过程，绿色实线为第二次经过B的运动过程，红色、绿色 虚线为补出的对称运动，从图中可以观察到红色实线+绿色 实线的长度=2×A(振幅)，则振幅为6cm,红色部分与绿色 部分的运动时间之和为一个周期，故周期为4s,故选B。 3 t =1s 2=1s ----------←----- A 0 t=Is 例6：C弹簧振子做简谐运 X 动的图像如图所示，图中 A点与B、E、F、I点的振 动位移大小相等，方向相 同。由图可知，A点与E、 I点对应的时间差为T或 T的整数倍，A点与B、F点对应的时间差不为T或T的整数 倍，因此A选项不正确；图中A点跟B、C、F、G点的振动速度 大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G点对应的时间差 为乃或号的整数倍，4点与B,F点对应的时间差不为子或子 T 的整数倍，因此B选项不正确；如果t时刻和(t+△t)时刻相 差一个周期T,则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一 定相等，选项C正确：如果t时刻和(t+△t)时刻相差半个周 期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长 度显然是不相等的，选项D也不正确。 3.简谐运动的回复力和能量 探究点1简谐运动的回复力 要点归纳 1.平衡位置 2.平衡 3.平衡位置 6.正比平衡 判断正误 (1)V(2)×(3)×(4)× 例1：A对弹簧振子，分析受力时，只分析实际存在的力，例如重 力、支持力，弹簧的弹力；回复力是效果力，是指向平衡位置的 合外力，实际不存在。 跟踪训练1：B由F=-x知，B正确。 例2：(1)L+mgsin a k (2)见解析 解析：(1)因物块处于平衡位置时，有kAx=mgsin,则 △x=mgsin a k 弹簧长度L'=L+△x=L+mgsin@ (2)取沿斜面向下为正方向，物块相对于平衡位置的位移为x 时，回复力F合=mgsin a-k(x+△x) 其中k4x=mgsin a,解得F令=-kx,可判定物块做简谐运动。 跟踪训练2：B设圆柱形浮漂与液面交点为O,浸在水中的体积 为V。,根据平衡条件得mg=Pg'o,振动视为简谐运动，振动过 程中任意时刻，0点偏离液面的位移为x,回复力的大小为 F=pg(V。+Sx)-mg,已知回复力大小为F=kx,联立解得 k=pg5,故选B。 探究点2简谐运动中的能量及各物理量的变化特点 要点归纳 1.动能势能(1)势能动能(2)动能势能 2.(2)守恒 2 判断正误 (1)V(2)V(3)× 例3：AC振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m,系统的 总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械 能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能 守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误。 跟踪训练3：CD振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位 置可能出现在关于平衡位置对称的两，点，这时弹簧长度明显 不等，A错误：振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定 是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能是压缩状态下的弹 力做负功，也可能一直是拉伸状态下的弹力做正功，所以B错 误：振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过 程中系统的机械能守恒，故C、D正确。 例4：AD动能与速度大小同步变化，势能与位移大小同步变 化。但动能和势能是标量，可在一个周期内完成两次周期性 变化。设O为质点做简谐运动的平衡位置，质点在B、C之间 做简谐运动，则它由C经过O到B又由B经过O到C一个周 期内，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质 点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方 向相同，A正确：质点的位移方向与加速度方向总相反，B错 误：质点在振动过程中，当回复力增大时，其势能增加，根据机 械能守恒定律，其动能必然减小，C错误：当质点的势能减小 时，如从C到0或从B到O过程中，回复力减小，势能减小， 质点的加速度大小也减小，D正确。 跟踪训练4：B简谐运动的能量是守恒的，故A、C错：0.2s末 0.4s末位移最大，动能为零，势能最大，故B对，D错。 素养能力提升 例5：(m1+m2)g 解析：当m1运动到最高点时，m2对地压力恰好为零，则此时 弹簧处于伸长状态，弹力大小为m2g,此时m1的加速度大小 _m,+m)8,方向向下；根据简谐运动的对称性可知，突 m 然撤去压力时m1加速度的大小也是a。=（m+m:)追，方向 m 向上；则压力F=m1am=（m1+m2)g。 跟踪训练5：D小球在向下运动的过程中受重力和弹簧的弹 力，弹簧的弹力先做正功后做负功，小球的机械能先增大后减 小，故A、B错误；释放的瞬间由牛顿第二定律可知mg+F= 3 ma,由题意可知a=28,可得F弹=2mg,故C错误；不计空 气阻力，小球做的是简谐运动，根据简谐运动对称性特点，在 最下端的位置加速度与最上端的加速度大小应该相等，方向 相反，由牛顿第二定律可知F弹-mg=ma,代人数据得F弹= 5 2mg,故D正确。 4.单摆 探究点1单摆的回复力 要点归纳 1.小球 2.(2)可以忽略(3)直径可以忽略 3.(1)圆弧切线mgsin0(3)很小 判断正误 (1)×(2)×(3)×