【2027新考纲】概率与统计初步-广西高等职业教育考试数学新增考点《背诵清单》

中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【2027新考纲】广西高等职业教育考试数学新增考点 《背诵清单》 八、概率与统计初步 考点18排列、组合（理解/会） (一)两个计数原理 1.定义（分类计数原理，加法原理)：完成一件事有n类方案，第1类有m1种方法，…，第n 类有mn种方法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 2.定义（分步计数原理，乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种方法，…， 做第n步有mn种方法，则完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。 3.注意：分类用加法，分步用乘法；分类要做到不重不漏，分步要保证每一步都完成后才做完这件 事。 (二)排列与排列数 1.定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列。 2公式：排列数A=n(n-1(n-2)-(n-m+1Fn-m n! 3.公式（全排列）：A=n!=n(n-1)…2×1;规定0！=1。 4.注意：排列与元素的顺序有关。 (三)组合与组合数 1.定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合。 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2公式：组合数C-A n! A0ml(n-m:规定C8=1。 3.性质：C=Cm,C+CW1=C1 4.方法：与顺序有关的问题用排列，与顺序无关的问题用组合。 考点19二项式定理和二项式系数的性质（理解） (一)二项式定理 1.公式：(a+bP=Ca”+Cha”-lb+…+Cha-kb+…+Cb(n∈N)。 2.公式（通项）：Tk+1=C☆a”kb(k=0,1,2,n)。 3.结论：二项展开式共有n+1项；每一项中a与b的指数之和都等于n;a按降幂排列，b按 升幂排列。 4.注意：二项式系数与项的系数不同，二项式系数只与组合数有关，项的系数还要乘上字母前面的数 字因数。 (二)二项式系数的性质 1.性质（对称性）：C=Cm。 2.性质：各二项式系数之和C+C+…+C=2”。 3.性质：奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，都等于2”-1。 4.性质：二项式系数先增后减，中间项最大一一n为偶数时中间一项最大，为奇数时中间两项最大 且相等。 考点20随机试验、样本空间、频率与概率的关系（了解/理解) (一)随机试验与样本空间 1.定义：可以在相同条件下重复进行，每次试验的可能结果不止一个、且试验前不能确定哪一个结果 会出现，所有可能的结果事先已知的试验，叫做随机试验。 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2.定义：随机试验的每一个可能结果叫做样本点；全体样本点组成的集合叫做样本空间，记作2。 3.定义：样本空间的子集叫做随机事件；2叫做必然事件，☑叫做不可能事件。 (二)频率与概率的关系 L,公式：在n次试验中事件A发生了m次，则事件A发生的频率fA)=。 2.结论：频率是随机的，会上下波动：概率是一个确定的常数。 3.结论：随着试验次数的增加，频率会稳定在某个常数附近，这个稳定值就是事件A的概率，记作 P(A). 4.结论：概率的取值范围是0≤P(A)≤1；必然事件的概率P(2)=1,不可能事件的概率 P(☑)=0。 考点21互斥事件、对立事件及概率加法公式（理解/掌握） (一)互斥事件与对立事件 1.定义：事件A与B不可能同时发生，即A∩B=,则称事件A与B互斥（也叫互不相 容)。 2.定义：事件A与B必有一个发生，且不会同时发生，即A∩B=☑且AUB=2,则称事件 A与B互为对立事件，A的对立事件记作A。 3.结论：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 (二)概率的加法公式 1.公式：若事件A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)。 2.公式：对立事件的概率P(A)=1-P(A)。 3.公式：若A1,A2,,An两两互斥，则P(A1UA2U…UAn=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 4.方法：含“至少”“至多”的问题，常先求其对立事件的概率，再用P(A)=1-P(A)求解。 中职精品 gAI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 考点22简单随机抽样、系统抽样和分层抽样（理解/会） (一)三种抽样方法 1.定义（简单随机抽样）：逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的机会相等，常用抽签法和随机数 法，适用于总体容量较小的情况。 2定义（系统抽样）：把总体编号后按固定的间隔抽取，步骤是编号一分段《间隔k= )→在 n 第一段用简单随机抽样确定起始号→按间隔依次抽取，适用于总体容量较大的情况。 3.定义（分层抽样）：当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分在总体中所占的比例进行抽取。 N 4.公式：若总体容量为N、样本容量为n、某层有N;个个体，则该层应抽取 ×n个个体。 N (二)共同点与选用方法 1.结论：三种抽样方法中，每一个个体被抽到的机会都相等（等可能性)，都是不放回抽样。 2.方法：总体容量小时用简单随机抽样，总体容量大时用系统抽样，总体差异明显时用分层抽样。 N 3.注意：系统抽样中若 不是整数，应先随机剔除几个个体，再用等距抽样。 n 考点23数据图表（折线图、茎叶图、柱形图、扇形图、频率分布直方图）（了解/理 解) (一)常见统计图表 1.结论（折线图）：反映数据随时间（或顺序）变化的趋势。 2.结论（茎叶图）：保留原始数据，便于看出数据的分布与集中情况：“茎”表示高位数 字，“叶”表示低位数字。 3.结论（柱形图）：直观比较各类别数量的多少。 4.结论（扇形图）：反映各部分数量占总数量的百分比。 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com (二)频率分布直方图 频率 1.公式：横轴表示样本数据〔分组)，纵轴表示组距：每个小矩形的面积等于该组的率，各小矩 形面积之和等于1。 频率 2.公式：频率=小矩形面积= 组距 ×组距；频数=频率×样本容量。 3.方法：由直方图求数字特征一一众数取最高矩形中点的横坐标；中位数使左右两边的面积各为 0.5；平均数取各组中点值乘以对应频率后求和。 频 4.注意：直方图的纵轴是 组距，不是频率。 考点24样本方差及用样本估计总体（理解/会） (一)样本均值、方差与标准差 1.公式：样本均值=+x,+…+x n 2.公式：样本方差52=，-护+(-++x,-xP 3.公式（简算）：2=X+++x引-。 n 4.公式：标准差s=S。 (二)用样本估计总体 1.结论：方差、标准差越大，数据的波动越大、越不稳定：越小说明数据越稳定、越集中。 2.方法：用样本均值估计总体均值，用样本方差（或标准差）估计总体方差（或标准差）。 3.结论：样本容量越大，样本对总体的估计越准确。 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 考点25离散型随机变量及其分布、数学期望和方差（理解/会） (一)离散型随机变量与分布列 1.定义：随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，常用X、Y、飞、η等表示。 2.定义：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量。 3.定义：设离散型随机变量X所有可能取的值为X1,X2,,Xn,且P(X=X)=P,则称这样的表 为X的概率分布列，简称分布列。 4.性质：P:≥0(i=1,2,,n);p1+p2+…+Pn=1。 (二)数学期望与方差 1.公式：E(X)=X1P1+X2P2+…+XnPn,它反映随机变量取值的平均水平。 2.公式：D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+…+(xn-E(X)2pn。 3.公式（简算）：D(X)=E(X)-[E(X)2。 4.公式：若Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=aD(X)。 5.公式：若X服从两点分布（成功概率为p),则E(X)=p,D(X)=p(1-p)。 6.结论：VD(X)叫做随机变量X的标准差。 考点26独立试验、次独立重复试验与二项分布（了解/理解/掌握） (一)相互独立事件 1.定义：设A、B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。 2.结论：若A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也都相互独立。 (二)n次独立重复试验 1.定义：在相同条件下重复进行的n次试验叫做n次独立重复试验。 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2.注意：n次独立重复试验须同时满足一一每次试验只有A与A两种结果，各次试验相互独立， 事件A在每次试验中发生的概率相同。 (三)二项分布 1.公式：P(X=k)=Cp(1-p)”-k(k=0,1,2,,n)。 2.定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数（每次发生的概率为p),若 P(X=k)如上式，则称X服从二项分布，记作X~B(n,p)。 3.公式：若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p)。 4.方法：判断随机变量是否服从二项分布，看试验能否在相同条件下独立重复进行、每次试验是否只 有两个可能结果、事件A在每次试验中发生的概率是否相同。 考点27概率密度曲线、正态分布及正态曲线性质（了解/理解） (一)概率密度曲线 1.定义：描述连续型随机变量的曲线叫做概率密度曲线，曲线与X轴之间的面积表示概率，曲线与 x轴之间的总面积等于1。 (二)正态分布与正态曲线的性质 1.定义：若随机变量X的概率密度曲线是一条正态曲线，则称X服从正态分布，记作 X~N(μ，02)，其中μ为均值，0(0>0)为标准差。 2.性质：曲线位于X轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，关于直线X=μ对称；曲线在X=μ 处达到峰值。 3.性质：曲线与X轴之间的总面积等于1。 4.性质：0一定时，曲线随μ的变化沿X轴平移：μ一定时，0越小曲线越“瘦高”（分布越集 中)，越大曲线越“矮胖”（分布越分散）。 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com (三)特殊区间与3o原则 1.公式：P(μ-0<X≤μ+0)≈0.6827：P(μ-20<X≤μ+20)0.9545： P(μ-30<X≤μ+30≈0.9973。 2.结论(3σ原则)：正态总体几乎总取值于区间（μ-30，μ+30）之内，落在该区间之外的概率只 有约0.0027，通常认为在一次试验中几乎不可能发生。 3.特别地：当μ=0、0=1时的正态分布叫做标准正态分布，记作N(0,1)。 考点28一元线性回归与相关关系（了解) (一)相关关系与散点图 1.定义：两个变量之间存在的不确定的依赖关系叫做相关关系（区别于确定的函数关系）。 2.方法：把成对的数据画在平面直角坐标系中所得到的图形叫做散点图，用来观察两个变量之间的相 关关系。 3.结论：一个变量增大时另一个变量也呈增大趋势，称为正相关：一个变量增大时另一个变量呈减小 趋势，称为负相关。 (二)回归直线方程 1.公式：y对x的回归直线方程（也叫经验回归方程）为=bx+a。 2公式：6=X,-y-_xy-nx ∑(x,-x2 ∑x-n2:a=少-b。 3.性质：回归直线一定经过样本中心点（文，y)。 4.性质：回归直线的单调性由b的符号决定，b>0时y随x的增大而增大；b的实际意义是x 每增大1个单位，y平均增大（或减小）个单位。 (三)相关系数 (x-)(y,-y) 1.公式：r= (x-2Σ(y-y 中职精品 oAI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2.公式：相关系数r的取值范围是r≤1，即-1≤r≤1。 3.结论：r越接近1，两个变量的线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱。 4.结论：r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关。