专题06 解析几何-四川省对口招生五年（2022-2026）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题06 解析几何 1.两点间距离公式和线段的中点坐标公式：掌握两点间的距离公式与线 段的中点坐标公式。 2.直线的倾斜角与斜率：理解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握直线斜率 的计算方法。 3.直线的点斜式和斜截式方程：掌握直线的点斜式和斜截式方程。 4.直线的一般式方程：了解直线方程的一般式形式；掌握直线的点斜式方 程化为一般式方程的方法，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化。 5.两条相交直线的交点：掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 6.两条直线平行的条件：理解两条直线平行的条件；掌握两条直线平行的 判定方法。 7.两条直线垂直的条件：理解两条直线垂直的条件；掌握两条直线垂直的 判定方法。 8.点到直线的距离公式：了解点到直线的距离公式。 9.圆的方程：了解圆的定义；掌握圆的标准方程；了解二元二次方程表示 圆的条件和圆的一般方程。 10.直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌 握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 11.直线与圆的方程的应用：初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问 题的方法。 12.椭圆：理解椭圆的概念及标准方程；初步掌握椭圆的几何性质及应用。 13.双曲线：理解双曲线的概念及标准方程；初步掌握双曲线的几何性质及应用。 14.抛物线：理解抛物线的概念及标准方程；初步掌握抛物线的几何性质及应用。 考点01 直线方程与两条直线的位置关系 1. （2026年对口招生）设直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. （2024年对口招生）过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. （2024年对口招生）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. （2023年对口招生）过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5.（2022年职教师资和高职班对口考试）过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. （2022年职教师资和高职班对口考试）在平面直角坐标系中，当点不是坐标原点时，定义点的“映射点”为，那么点的“映射点”的坐标是_________. 考点02 圆的方程及应用 7. （2025年对口招生）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. （1）若点，求直线的方程； （2）若点在抛物线上，求的范围？ 8. （2024年对口招生）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. （1）求定点的坐标，并求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 9. （2023年对口招生）设圆：与直线相切，且被直线所截得的弦长为. （1）求的方程； （2）若与有且只有3个公共点，求实数的值. 考点03 圆锥曲线及几何性质 10. （2026年对口招生）若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. （2026年对口招生）设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 12. （2025年对口招生）若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 13. （2025年对口招生）已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 14. （2024年对口招生）已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 15. （2024年对口招生）已知抛物线过点，则__________. 16. （2023年对口招生）双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 17.（2022年职教师资和高职班对口考试）双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 18.（2022年职教师资和高职班对口考试）抛物线的焦点到准线的距离为_________. 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 19. （2026年对口招生）设抛物线：的焦点是圆的圆心． （1）求的方程； （2）设过的直线与相交于，两点，与该圆相交于，两点，且，在轴的上方，，在轴的下方，求的最小值． 20. （2023年对口招生）抛物线上的点到直线距离的最小值是_________. 21.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知圆：. （Ⅰ）若直线与椭圆相切于点，求直线的方程； （Ⅱ）过圆内一点的直线与圆相交于，两点，若过点，且与圆相切的两条直线相交于点，求点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解析几何 1.两点间距离公式和线段的中点坐标公式：掌握两点间的距离公式与线 段的中点坐标公式。 2.直线的倾斜角与斜率：理解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握直线斜率 的计算方法。 3.直线的点斜式和斜截式方程：掌握直线的点斜式和斜截式方程。 4.直线的一般式方程：了解直线方程的一般式形式；掌握直线的点斜式方 程化为一般式方程的方法，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化。 5.两条相交直线的交点：掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 6.两条直线平行的条件：理解两条直线平行的条件；掌握两条直线平行的 判定方法。 7.两条直线垂直的条件：理解两条直线垂直的条件；掌握两条直线垂直的 判定方法。 8.点到直线的距离公式：了解点到直线的距离公式。 9.圆的方程：了解圆的定义；掌握圆的标准方程；了解二元二次方程表示 圆的条件和圆的一般方程。 10.直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌 握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 11.直线与圆的方程的应用：初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问 题的方法。 12.椭圆：理解椭圆的概念及标准方程；初步掌握椭圆的几何性质及应用。 13.双曲线：理解双曲线的概念及标准方程；初步掌握双曲线的几何性质及应用。 14.抛物线：理解抛物线的概念及标准方程；初步掌握抛物线的几何性质及应用。 考点01 直线方程与两条直线的位置关系 1. （2026年对口招生）设直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，代入两点间斜率公式即可得解. 【详解】直线与直线，分别交于点，， 设， 因为线段的中点坐标为， 则，解得， 所以， 则直线的斜率为， 故选：. 2. （2024年对口招生）过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【解析】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 3. （2024年对口招生）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设与直线垂直的直线的方程为，再将点代入求值即可. 【解析】直线的斜率为，则与其垂直的直线斜率为， 设与直线垂直的直线的方程为， 将点代入得，解得，所以直线的方程为.故选：A. 4. （2023年对口招生）过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由倾斜角求得斜率，然后带入点斜式方程即可求得直线的方程,是基础题. 【解析】∵倾斜角为，∴， ∴过点且倾斜角为的直线的点斜式方程为， 整理得方程为， ∴选C. 5.（2022年职教师资和高职班对口考试）过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】因为两直线垂直, 所以两直线的斜率之积,进而得出所求直线的斜率,最后利用点斜式求得直线方程. 【解析】∵与直线垂直 ∴设直线方程为 ∵过点 ∴ ∴ ∴选C. 6. （2022年职教师资和高职班对口考试）在平面直角坐标系中，当点不是坐标原点时，定义点的“映射点”为，那么点的“映射点”的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据“映射点”定义,带入求值 【解析】∵点的“映射点”为 ∴点的“映射点” ∴点的“映射点” 考点02 圆的方程及应用 7. （2025年对口招生）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. （1）若点，求直线的方程； （2）若点在抛物线上，求的范围？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由题意，根据与圆相切找出三点满足的圆的方程，再与圆的方程作差即可求直线的方程. （2）先由题意求出点到圆心距离、切线长及切点弦的长度，建立的表达式，结合抛物线方程分析的范围，最后确定的范围即可求解. 【解析】（1）由题意，点距离圆圆心的距离为， 以点为圆心，为半径的圆方程为①， 又在圆②上， ②①得，即，所以直线的方程为. （2）点到圆心的距离为，切线长， 如图，在四边形中， 由得切点弦的长度为， 在中，利用余弦定理得， 又点在抛物线上，代入得， 配方得，当且仅当时，取得最小值， 当时，，因此，， 当时，；当时，. 因此的取值范围为. 8. （2024年对口招生）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. （1）求定点的坐标，并求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1），，（） （2） 【分析】（1）先利用直线定点的求法求得的坐标，再利用两直线垂直得到点的轨迹为圆，进而利用两点中点坐标公式与距离公式，结合圆的标准方程即可得解； （2）利用（1）中结论，结合三角换元与三角恒等变换、正弦函数的性质即可得解. 【解析】（1）由可得， 所以该线过定点，由易知该直线过定点， 又由直线与，可知， 所以两直线垂直，又两直线相交于，所以， 注意到直线不平行于轴，所以圆与轴的另一个交点不存在， 则点的轨迹为以线段为直径的圆（挖掉一点），则圆心为线段的中点，即， 半径为， 所以点的轨迹方程为（）. （2）因为，所以， 不妨设， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最大值. 9. （2023年对口招生）设圆：与直线相切，且被直线所截得的弦长为. （1）求的方程； （2）若与有且只有3个公共点，求实数的值. 【答案】（1）（2）实数的值为. 【分析】第（1）问中首先根据条件直线与圆相切得得与的一个方程，然后根据被直线所截得的弦长为利用勾股定理得与的另外一个方程，联立方程解得与。第（2）问中为折线，根据与有且只有3个公共点，所以的左半段图象与圆相交于两点，而右半段图象与圆相切于一点，进而根据直线与圆相切,即可解决. 【解析】（1）∵圆：与直线相切， ∴圆心到直线的距离，∴，∵，∴①， ∵被直线所截得的弦长为，∴根据勾股定理得②， ∴联立方程①②消去得，∴，∴将代入①式得， ∴的方程为. （2）∵与有且只有3个公共点， ∴的左半段图象与圆相交于两点，而右半段图象与圆相切于一点， ∴根据直线与圆相切可得 点到直线的距离等于半径3， ∴，∴，∴，∴， ∴. ∴实数的值为. 考点03 圆锥曲线及几何性质 10. （2026年对口招生）若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合离心率公式求出值，代入即可得解. 【详解】双曲线，则， 因为离心率为，则，解得， ，解得， 故选：. 11. （2026年对口招生）设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程及椭圆的定义求出，代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】 椭圆，则，， ，解得，则， 因为点在该椭圆上，且， 则， 解得， 所以的面积是， 故答案为：. 12. （2025年对口招生）若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意确定参数即可求解. 【解析】椭圆的焦点坐标为，则长轴在轴上， ，，根据椭圆参数关系可得，即. 所以离心率为. 故选：A. 13. （2025年对口招生）已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由点到直线的距离公式求值即可. 【解析】已知抛物线，其中， 所以焦点为， 到直线的距离为， 故答案为：. 14. （2024年对口招生）已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】直接利用椭圆的性质，转化求解即可得解. 【解析】因为椭圆的左焦点为， 所以，解得， 故选：. 15. （2024年对口招生）已知抛物线过点，则__________. 【答案】 【分析】将点代入解析式，求出即可. 【解析】将点代入抛物线，则，；故答案为：. 16. （2023年对口招生）双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查双曲线的渐近线方程是,是基础题. 【解析】∵.双曲线方程为， ∴，， ∴，， ∴渐近线方程是， ∴选A. 17.（2022年职教师资和高职班对口考试）双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】确定焦点位置后，利用求解 【解析】∵双曲线的标准方程, ∴双曲线的焦点在轴上, ,, ∴,, ∴双曲线的焦点坐标是. ∴选C. 18.（2022年职教师资和高职班对口考试）抛物线的焦点到准线的距离为_________. 【答案】1 【分析】抛物线的焦点到准线的距离为p，根据标准方程求得2p，进而求得焦准距p 【解析】∵抛物线为 ∴2p=2 ∴p=1 ∴抛物线的焦点到准线的距离为1 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 19. （2026年对口招生）设抛物线：的焦点是圆的圆心． （1）求的方程； （2）设过的直线与相交于，两点，与该圆相交于，两点，且，在轴的上方，，在轴的下方，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心，即为抛物线的焦点，进而求解； （2）利用焦半径和圆半径化简，结合抛物线的性质和均值不等式求解. 【小问1详解】 已知圆， 所以该圆的圆心坐标为，半径， 因为抛物线：的焦点是该圆的圆心， 所以， 抛物线：的焦点为， 所以抛物线方程为：， 【小问2详解】 设点， 已知抛物线方程：， 根据抛物线的焦半径公式：， 已知，在轴的上方，A在F，M之间，圆半径， 则， 同理， B，在轴的下方，B在F，N之间， ， ， 则， 设过焦点的直线l：， 联立方程， 由韦达定理：， 又因为， 且， 根据基本不等式， ， 等号成立条件：， 又因为， 此时取等号， 所以的最小值为4. 20. （2023年对口招生）抛物线上的点到直线距离的最小值是_________. 【答案】 【分析】法一：首先设出与平行且与相切的直线为,联立方程与，消去y后，得出，然后利用相切条件得出△=0，求得平行线，然后得出两平行线间的距离为抛物线上的点到直线距离的最小值。 法二直接根据点到直线的距离公式得出关于x的函数，利用二次函数求最值得出最小值。 【解析】法一：转化法 设与平行且与相切的直线为， 联立方程消元得，即. ∵与相切，∴，∴， ∴，∴与相切的直线为. ∴抛物线上的点到直线距离的最小值是两平行线与之间的距离， ∴抛物线上的点到直线距离的最小值是. 法二：二次函数法 抛物线上的点（x，-x2）到直线的距离. ∴当时，. 21.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知圆：. （Ⅰ）若直线与椭圆相切于点，求直线的方程； （Ⅱ）过圆内一点的直线与圆相交于，两点，若过点，且与圆相切的两条直线相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(Ⅰ)当时, 的方程:; 当时,的方程: ; 当时,的方程: ; （Ⅱ） 【解析】由题可得该圆的圆心坐标为 ，半径为 3. （Ⅰ）设过点与的直线为 ，可得直线的斜率, ∵直线与圆相切, ∴ ∴直线的斜率, ∴当时, 的方程: ,即; ∴当时,的方程: ; ∴当时,的方程: ; （Ⅱ）当直线过圆圆心时，过点，且与圆相切的两条直线相互平行，则点不存在； 当直线不过圆圆心时，过点，且与圆相切的两条直线不平行，则点存在； 设点,,坐标分别为,, 可得直线方程： ，直线方程：, 点过直线和直线 ， 于是有，， 而,是圆上的点，故直线满足 ， 由于直线过点(2,1),于是有， 而点坐标为 ， ， 故点的轨迹方程为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $