周测评(五)一元函数导数及初步应用-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（B版）

2026一2027学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 3 4 5 6 答案 1.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)仍是关于x的函数，通常把导函数y=f'(x)的导数 叫作函数的二阶导数，记作y=f"(x),类似地，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导 数的导数叫作四阶导数，…，n一1阶导数的导数叫作n阶导数，函数y=f(x)的n阶导 数记为y=fm)(x),例如y=ex的n阶导数(er)m)=e.若f(x)=xer+cos2x,则 f(2026)(0)= () A.2026-22026 B.2026 C.2025-22026 D.2025 2.设函数f(x)=x3十ax2十bx(a,b∈R),则“a2>3b”是“f(x)有三个不同的零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数f(x)= n(x+1)+2cos工，则曲线y=f(x)在点(0，f0)处的切线与两坐标轴 2x+1 所围成的三角形的面积为 () A.6 B.3 c 4.下列函数中满足“对于定义域内任意两个实数x1,x2(x1≠x2),都有f(x1)十f(x2)≤ 2x1十2x2”的是 () A.f(x)=x+sin x B.f(x)=4x-x3 C.f(x)=2ln(x+1) D.f(x)=xx (In(a-x),x<0, 5.已知函数f(x)= 的图象上存在关于y轴对称的两点，则实数a的取 2-x,x≥0 值范围为 () A.(-∞，e) B.(-∞，e2) C.[0,e) D.0,e2) 学科素养周测评（五）数学第1页（共4页） 熬过书山题海的夜，终会迎来破隐的光 6.将曲线y=e2x绕坐标原点顺时针旋转0后第一次与x轴相切，则tan0= 班级 A.e B.e2 C.2e D.2e2 姓名 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 得分 题号 7 8 答案 7.物体甲、乙在时间0到1范围内，路程的变化情况如图所示，则 A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t。范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.当t=to时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D.当t=t。时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 8.已知定义在R上的函数fx)满足：对Vxy∈R,有f)+f0)=2f()r(2), f(x)不恒为0，f'(x)是f(x)的导函数，则 A.f(0)=4 B.f(x)为偶函数 C.f(2x)=f2() D.f2)-2ff) 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数y=f(x)在闭区 间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得 f(亿)一f(a)=f'(c)(b一a)成立，其中c叫作f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根 据这个定理，判断函数f(x)=5x3一3x在区间[-1,1]上的“拉格朗日中值点”的个数 为 学科素养周测评（五）数学第2页（共4页） B l0.某城市悬索桥的主缆设计采用改进悬链线模型，其方程为f(x)=a(er十er)(x∈R;a, b为待定系数，a>0,b>0),已知f(x)的最小值为4，且曲线y=f(x)在x=2ln3处切 8 线的斜率为3，则a= ,b= 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)已知函数f(x)=2lnx+(t-1)x2+1. (1)若=2证明：f)<1. (2)若t∈Z,且f(x)+2tx<0在(0，十∞)上恒成立，求t的最大值 B 学科素养周测评（五）数学第3页（共4页） 12.(20分)给定函数f(x)=(x+1)e2. (1)判断f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； (2)当x≤0时，求f(x)的值域； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数， 学科素养周测评（五）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 m(m+1)>0, 因此f(x+1)一2为奇函数，故f(x)的图象关 (1-2m)(2m+3)3, 则 化简得 3 -2<2m+1<2, 1 于点(1,2)成中心对称图形 (7分) 2<m<2 解得 1 2<m<-1或om<2, 2)解：由于a>1y=a,y=-。均为R上的 增函数， 放实数m的取值范围为-，-U0,2): 故g(x)=a一。=a-上为定义域内的增 (20分) 函数， (11分) 12.(1)证明：令g(x)=f(x+1)-2=a-ax,定 由于f(x)=g(x-1)+2,f(t2)+f(4-3t)< 义域为R, 4,可得g(t2-1)+2+g(3-3t)+2<4, 则g(-x)=ax-a=-(a-ax)=一g(x), 即g(t2-1)<-g(3-3t)=g(3t-3), 故g(x)为奇函数， 故t2-1<3t-3,解得1<t<2. (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 一、选择题 1.A【解析】由题意得f'(x)=(x+1)e-2sin2x, 切线与两坐标销的交点分别为号0小，0,2》，收孩 12 f"(x)=(x+2)e-22cos2x,f3)(x)=(x+3)e 2 三角形的面积为2X3X2= 3 3 +2sin2x,f(x)=(x+4)e+2cos2x,以此类 4.C【解析】对于A,令x1=一π，x2=-2π，则 推，f2026(x)=(x十2026)e-22026c0s2x,所以 f(x1)十f(x2)=一3π，2x1+2x2=一6π，不满足条 f2o26)(0)=(0+2026)e°-22026cos0=2026- 件，故A错误；对于B,令x1=0,x2=1,则f(x1)+ 22026 f(x2)=3,2x1十2x2=2,不满足条件，故B错误；对 2.B【解析】由题意可知，f(x)的定义域为R,则 于C,令g(x)=2ln(x十1)-2x(x>-1),求导得 f'(x)=3x2+2ax十b,若f(x)有三个不同的零 点，则f(x)必有两个极值点，即f'(x)=3x2十 g)=品-2=行-1<<0时， 2ax十b=0有两个不同的根，则△=4a2一12b> g'(x)>0,g(x)在(-1,0)上单调递增；当x>0 0,解得a2>3b,故必要性成立；例如a=-2,b= 时，g'(x)<0,g(x)在(0，十∞)上单调递减，所以 0,满足a2>3b,则f(x)=x3-2x2=x2(x-2), g(x)≤g(0),即2ln(x+1)-2x≤21ln(0+1)-2 此时f(x)只有两个不同的零点，即充分性不成 ×0=0,所以2ln(x+1)≤2x,即f(x)= 立，所以“a2>3b”是“f(x)有三个不同的零点”的 2ln(x+1)≤2x,所以f(x1)+f(x2)≤2x1+ 必要不充分条件 2x2,满足条件，故C正确；对于D,令x1=0,x2 3.D【解析】对f)=血+)士2os工求导，得 3,则f(x1)+f(x2)=9,2x1+2x2=6,不满足条 2x+1 件，故D错误. )（z+五2n22x+1)-2nx+1)+2osx] 5.D【解析】函数f(x)的图象上存在关于y轴对 (2x+1)2 称的两，点，则y=x十2与y=ln(a-x)在x<0 则k=f0)=1-2X2=-3,又f0)=2,则由线 上有交点，即x十2=ln(a一x)在x<0上有解，可 1 转化为a=x十e+2在(-∞，0)上有解.令g(x) y=f(x)在，点(0，f(0))处的切线为y=-3x十2，则x十e+2,x∈(-o∞，0)，则g'(x)=1十e+2>0,故 B ·8· ·数学· 参考答案及解析 g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以g(x)<g(0)= 10.2;2【解析】由于函数f(x)=a(e:十e加)(z 1 e2,且当x→-∞时，g(x)→-o∞，所以g(x)∈ (-∞，e2),则a<e,又a-x>0恒成立，即a>x, ∈R),则f'(x)=a(ber-ber)=ab(er x∈(-∞，0)，则a≥0，所以0≤a<e. er),令f'(x)=ab(er-er)=0,因为a>0, 6.C【解析】设直线y=x与曲线y=e2r相切，切 b>0,所以e虹-er=0,解得x=0,故当x∈ 点为(x0,yo).y'=2e24,则k=2e20,e2。=y0= (0,十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈ 1 (-o∞，0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以当x kx0=2e2。·xo,解得xo=2,所以k=2e,所以切 =0时，f(x)取得最小值，即f(0)=4,所以a(e°+ 点为（分，心，故将南线y=。绕坐标原点顺时针 e)=4,解得a=2.又曲线y=f(x)在x=2ln3 旋转0后第一次与工轴相切，则tan0=0=2e 龙切线的斜率为号，中了(2h3)-a6(:- 二、选择题 e6·23)=ab(32-3b)=3，又a=2,所以25. 7.BC【解析】在0到t。范围内，甲、乙的平均速度 都为。，故A错误，B正病：因为甲对应的曲线在1 30一3)-解得6= 2,又b>0,所以b 1 =t。处的切线的斜率大于乙对应的曲线在t=to 2 处的切线的斜率，故当t=t。时，甲的瞬时速度大 四、解答题 于乙的瞬时速度，故C正确，D错误。 11.(1)证明：f(x)的定义域为(0，+∞)， 8.ABD【解析】因为对Hx,y∈R,有f(x)十f(y)= 当=时fe)=2hx-女+1， 2任空）f2◆y=,得f f'(x)=2-x2 (2分) 2fx)f(0),因为fz)不恒为0，所以f(0)= 当x∈(0,2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 4,故A正确；令y=一x,得f(x)十f(一x)= 当x∈(W2,+o∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 2f0)fe),所以f(-x)=fe),散f)为 (5分) 所以f(x)≤f(2)=ln2<1. (7分) 偶函数，故B正确；令y=0,得f(x)十f(0)= (2)解：令g(x)=2lnx+(t-1)x2+2tx+1, 2f(侵），所以f2x)十4=2fe),故C错误： 则g(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 由f2x)+4=2Pa),得Paz)·2- g'(x)=2z+1)[u-1)x+1] 当t≥1时，g'(x)>0在(0，十∞)上恒成立，又 fe)f),令=1，得f②)=2f)f, g(1)=3t>0,不合题意，故舍去； (9分) 故D正确 当<1时，若x∈(0）ge)>0,g)单 三、填空题 调递增若x∈（已，十∞）g'x)<0,gx)单 9.2【解析】f)-f-D-2牛2=2，)= 1-(一1) 2 调递减， 15x-3,令15x2-3=2,解得x1=- 3,2= 所以ga)s=g(1是)=21n(1是)+，己1十 2t 3,又1x2∈[-1,1]，所以f(x)在[-1,1]上 +1=-2n1-+-1 的“拉格朗日中值点”的个数为2. 故只需-2h1-)+亡，1<0即可.(16分) ·9· B 2027 学科素养周测评 令h(x)=-2n1-x)+1-x 1 -1,x<1,则 (3)由上述分析可知，当x<一1时，f(x)<0;当 x=-1时，f(x)=0;当x>-1时，f(x)>0. 1 '(x)=x1-)2>0, 结合1D冲了C)的单调性和极小值f(一2》=一， 所以h(x)在（一∞，1）上单调递增， 又h(0)=0,所以当x<0时，h(x)<0恒成立， 作出f(x)的大致图象如图所示， 即t<0,又t∈Z,所以t的最大值为一1.(20分) A 12.解：(1)由于函数f(x)=(x+1)e, 则f'(x)=(x十2)e. y=f(x) 令f'(x)=0,得x=-2. -4-3-2- 当x<-2时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>一2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，(4分) e 故f)的极小值为f(-2)=- e,无极大值. 方程f(x)=a解的个数等价于函数y=f(x)的图 象与直线y=a的交点个数： (6分) (2)由(1)知，f(x)在(-∞，-一2)上单调递减，在 当a<-。时，无交点，即方程无解； (一2,0]上单调递增， 则于)在x=-2处取得最小值- 当-1 <a<0时，有2个交点，即方程有2个解； 又f(0)=1,当x>一∞时，f(x)→0， 当a-一或a≥0时，有1个交点，即方程有1 所以当<0时f)的值球为[(12分) 个解. (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 一、选择题 4.A【解析】函数f(x)=lnx一√E的定义域为(0， 1.C【解析】设高度h与时间t的函数关系式为h(t), 则h'(t)=o(t)=-9.8t+4.7,故可设h(t)=-4.9t 十0，又f)=1-12,E,则当0<< x 2x 2x +4.7t+k,因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+ 4时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>4时，f'(x) 4,7t十10，则该运动员在t=1秒时距离水面的高度 <0,f(x)单调递减，则f(2)<f(4),f(8)<f(4), 为h(1)=-4.9+4.7+10=9.8米. 又f(2)-f(8)=ln2-√2-ln8+√8=√2-2ln2 2.B【解析】由题意得f'(x)=lnx十1-a(x>0), ≈1.41-0.69×2>0，所以f(8)<f(2)<f(4). 显然f'(x)单调递增，又f(x)有极值，则f'(x)=0 有正根，不妨设为x=xo,则 nx十1-a=0,解得 5.D【解析】观察图象知，函数f(x)单调递减，即 f'(x)<0,于是a<0,又f(x)的图象与y轴相 (coln xo一axo=-e, 切，则当x从大于0的方向趋于0时，f'(x)趋于 [xo=e, 负无穷大，即1+bf(0)趋于0，又f(0)>0,因此b a=2. <0.综上，a<0,b<0. 3.A【解析】设函数f(x)=e-x(x>0),则f'(x) 6.B【解析】设函数f(x)=xlnx(x>l),g(x)= =e-1>0,所以f(x)=e*-x在(0，十∞)上单 调递增，所以f(x)>f(0)=1,所以e>x,x> 18-x)1nx(x≥10)，因为8-ha,?=ln6 a In 10'6In 11' lnx,所以命题p:Hx∈(0，十∞)，e>lnx为真 c=n12,所以alna=8ln10,blnb=71n11, 6 In c 命题.7p:]x∈(0，+∞)，e≤lnx. ·10·