周测评(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（B版）

2026一2027学年度学科素养周测评（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.已知幂函数f(x)=(m2一5m十7)xm是定义在R上的奇函数，则m的值为 A.0 B.2 C.3 D.2或3 2.设a=log38,b=2.1,c=logs8,则a,b,c的大小关系是 A.b<a<o B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<6 -x十6，x≤2， 3.若函数f(x) 的值域是[4，十∞)，则实数a的取值范围为() 3+logax,x>2,a>1 A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,十∞) 4.若正数a,6满足2+1og,a=3+1bg6=1oga+6),则2+ A.128 B.108 C.2 D.1 5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的 规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲 线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）y与初次记忆经过的时间 x(单位：h)的函数关系式为y=1一0.5x.o6,则当其记住的单词仅剩25个时，x≈（参考 数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48) 学科素养周测评（四）数学第1页（共4页） 熬过无人问津的寒冬，自有繁花似锦的盛夏 A.100 B.300 班级 C.1000 D.2000 6.已知函数f(x)=(1-2a-x)(e--1),若f(x)≤0恒成立，则ab的最大值为() 姓名 B.、1 4 得分 C. D.2 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 答案 7.已知函数fx)=(分) -1,则 () A.f(x)的值域为(-1，+∞) B.f(x+1)>1的解集为(-2，+∞) C.f(x)的图象与g(x)=2r一1的图象关于y轴对称 D.函数y=f(x)一f(一x)是偶函数 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x十1)为奇函 数，则 () A.f(1)+f(0)=2 B.f(x)+f(-x)=2 C.f(f(x))=x D.f(2024)=-2024 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.设函数f(x)=loga(x-2)+6过定点P(m,n),则log(m+n)= n++ln n=3, 10.已知实数m,n满足 则mn= 1十lnm=e2-hm, 学科素养周测评（四）数学第2页（共4页） B 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)已知函数f(x)=ln(2-x)+ln(2+x). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性，并加以证明； (3)若f(2m+1)<1n3,求实数m的取值范围. B 学科素养周测评（四）数学第3页（共4页） 12.(20分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x) 为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充 要条件是函数y=f(x十m)-n为奇函数.已知函数f(x)=ax-1-a1-x十2(a>1) (1)证明：f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称图形 (2)判断f(x)的单调性，若f(t2)+f(4一3t)<4,求实数t的取值范围. 学科素养周测评（四）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 因为x1,x2∈[0,2]，且x1<x2, 可得f(a)+f(b)=f(ab). 所以x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0, 在上式中，令b=-1,得f(a)+f(-1)=f(-a), x1-x2 则fx)-f,)=,+1+i<0,即fa) 即对Va∈R且a≠0，f(a)=f(-a)恒成立， 所以f(x)是偶函数， (9分) <f(x2), 所以f(x)在[0,2]上单调递增， (15分) 《3)对yx1x2∈(0，+∞)且x1<x2,有>1y (3)由(2)知∫(x)在[0,2]上单调递增，且f(x)为 定义在[-2,2]上的奇函数，故f(x)为[-2,2]上 所以f)>0, 的增函数 由2)知f)=(货xx)=f(盟） +f(x1)> 由f(2a+1)+f(2-a2)>0,得f(2a+1)>-f(2 f(x1), -a2)=f(a2-2), 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. (14分) 于是2≥2a+1>a2-2≥-2，解得-1<a≤2' 又f(2)=1,所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4), 即实数。的取值范围为-1， 所以f(x+2)-f(x-1)<2,即f(x+2)< (20分) f(x-1)+2=f(x-1)+f(4)=f(4x-4), 12.解：(1)因为对Hx,y∈R且|x|≠|y,f(x+y) 因为f(x)是定义域为（一∞，0）U(0,十∞)的偶 +f(x-y)=f(x2-y2)恒成立， 函数，且在区间(0，十∞)上单调递增， 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1), 所以原不等式转化为0<|x+2<|4x一4|， 所以f(1)=0, (2分) 解得x<-2或-2<x<或x>2, 令x=-1,y=0,得f(-1)+f(-1)=f(1)=0, 所以f(-1)=0. (4分) 所以原不等式的解集为(-©，-2)U(2,)U (2)对任意非零实数a,b,令x= a+b a-b 2,y= 2 (2,十∞). (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 a>1)的值域包含于[4，十∞)，所以3十+log.2≥4， 1.C【解析】因为f(x)=(m2-5m+7)xm是幂函 解得1<a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]. 数，所以m2一5m十7=1，解得m=2或m=3.当 4.B【解析】令2+log2a=3+log3b=log6(a十b) m=2时，f(x)=x2是定义在R上的偶函数，不 =1og24a=1og327b=t,则4a=2,27b=3,a+b 满足题意；当m=3时，f(x)=x3是定义在R上 =6,因为2×3=6，所以4a×27b=a+b,所以 的奇函数，满足题意。 + a 6=108. 2.C【解析】易知√27<8<√125，所以log√27= 子<1og8<2<21,lbV1a5-2>1bg8,即6 5,C【解标】根指题意得部-1-0,5x,餐里容 到x0o6=3 3 ≥2>g> ,所以0.06lgx=lg2,即0.06l1gx= lg3-lg2,又lg2≈0.30，lg3≈0.48，所以lgx 3.A【解析】当x≤2时，一x十6>4，要使得函数f(x) ≈0.48-0.300.18 的值域为[4，+o∞)，只需f(x)=3十logax(x>2, 0.060.06 =3,得到x≈1000 B ·6· ·数学· 参考答案及解析 6.C【解析】令1-2a-x=0,解得x=1-2a.令 十f(0)=1,故A错误；对于C,点(x,f(x)关于 b e-1=0,解得x=2当1-2a>2时x∈ y=x的对称点是(f(x),x),由f(x)的图象关于 y=x对称，得点(f(x),x)在f(x)的图象上，即 (台，1-2a),则1-2a-x>0,c-1>0,不符 f(f(x)=x,故C正确；对于B,由A得f(x十 1)+f(-x+1)=0,则f(2-f(x)+f(f(x)= 合题意；当1-2a<名时，x1-2a,名)则1- 0,于是f(2-f(x)=-x,即点(2-f(x),-x) 2a-x<0,e--1<0,不符合题意，所以1- 在f(x)的图象上，则点（一x,2-f(x)在f(x) 的图象上，因此f(-x)=2-f(x),即f(x)十 2a=2,即b=2-4a,则ab=a(2-4a)= b f(-x)=2,故B正确；对于D,由f(x十1)+ f(-x+1)=0,得f(x+2)+f(-x)=0,而 f(x)十f(-x)=2,则f(x+2)-f(x)=-2,因 立，故b的最大值为4 此f(2024)=f(2024)-f(2022)+f(2022) f(2020)+…+f(4)-f(2)+f(2)-f(0)+f(0) 二、选择题 =-2X1012+1=-2023,故D错误. 7.AC【解折】对于A,因为（分）>0，所以f)= 三、填空题 9.4【解析】由f(x)=log(x-2)+6过定，点P(m, (份》广-1>-1，即f(x)的值城为(-1，十∞)，故 m=3, n),可知 m-2=1,解得 故logs(m+n) A岳确：对于B.因为x+1=(分)1，由f loga 1+6=n, n=6, =logs9=41og33=4. +1>1,得()》>2，即(2)">()厂，因为函 10.e2【解析】由1十lnm=e2-am,可得1+lnm= 数y=()广为减函数，所以x十1<-1，则<-2， e3-1+iam),由n十lnn=3得n=e3-".记g(x)= x-e3-x,因为y=e在R上单调递增，t=3一x 故f(x十1)>1的解集为（一∞，一2），故B错误；对于 在R上单调递减，根据复合函数性质可知y= c由f)=(分)”-1，可得f-x)=(份)‘-1 e3-x在R上单调递减，所以g(x)=x一e3在 R上单调递增.由n=e3"可得g(n)=n一e3-m 2-1=g(x), =0,又g(1+lnm)-1+lnm-e3-1+iam)=0, 4 因此1+lnm=n,由n+lnn=3可得lnn=3- 3 n,所以lnn+lnm=(3-n)+(n-1)=2,可得 y=Ax) 2 y=g(x) mn-e2. -3-26 丈23衣 四、解答题 -I 11.解：(1)由题意得2-x>0且2+x>0, 由图知，f(x)的图象与g(x)=2一1的图象关于y轴 解得-2<x<2, 对称，故C正确；对于D,设h(x)=f(x)-f(一x)= 所以f(x)的定义域为(-2,2). (6分) 2x一2，函数的定义域为R,关于原点对称，且h(一x) (2)f(x)为偶函数. (7分) =2-2x=-h(x),故函数y=f(x)-f(-x)为奇 证明如下：因为f(x)的定义域为（一2,2），关于 函数，故D错误 原点对称，又f(-x)=ln(2十x)+ln(2-x)= 8.BC【解析】对于A,由f(x十1)为奇函数，得 f(x),所以f(x)为偶函数， (12分) f(x十1)+f(-x+1)=0,则f(1)=0,由f(x) (3)f(2m+1)=ln(1-2m)+ln(2m+3) 的图象关于直线y=x对称，得f(0)=1,因此f(1) =ln[(1-2m)(2m+3)]<ln3, (16分) 。7· B 2027 学科素养周测评 m(m+1)>0, 因此f(x+1)一2为奇函数，故f(x)的图象关 (1-2m)(2m+3)3, 则 化简得 3 -2<2m+1<2, 1 于点(1,2)成中心对称图形 (7分) 2<m<2 解得 1 2<m<-1或om<2, 2)解：由于a>1y=a,y=-。均为R上的 增函数， 放实数m的取值范围为-，-U0,2): 故g(x)=a一。=a-上为定义域内的增 (20分) 函数， (11分) 12.(1)证明：令g(x)=f(x+1)-2=a-ax,定 由于f(x)=g(x-1)+2,f(t2)+f(4-3t)< 义域为R, 4,可得g(t2-1)+2+g(3-3t)+2<4, 则g(-x)=ax-a=-(a-ax)=一g(x), 即g(t2-1)<-g(3-3t)=g(3t-3), 故g(x)为奇函数， 故t2-1<3t-3,解得1<t<2. (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 一、选择题 1.A【解析】由题意得f'(x)=(x+1)e-2sin2x, 切线与两坐标销的交点分别为号0小，0,2》，收孩 12 f"(x)=(x+2)e-22cos2x,f3)(x)=(x+3)e 2 三角形的面积为2X3X2= 3 3 +2sin2x,f(x)=(x+4)e+2cos2x,以此类 4.C【解析】对于A,令x1=一π，x2=-2π，则 推，f2026(x)=(x十2026)e-22026c0s2x,所以 f(x1)十f(x2)=一3π，2x1+2x2=一6π，不满足条 f2o26)(0)=(0+2026)e°-22026cos0=2026- 件，故A错误；对于B,令x1=0,x2=1,则f(x1)+ 22026 f(x2)=3,2x1十2x2=2,不满足条件，故B错误；对 2.B【解析】由题意可知，f(x)的定义域为R,则 于C,令g(x)=2ln(x十1)-2x(x>-1),求导得 f'(x)=3x2+2ax十b,若f(x)有三个不同的零 点，则f(x)必有两个极值点，即f'(x)=3x2十 g)=品-2=行-1<<0时， 2ax十b=0有两个不同的根，则△=4a2一12b> g'(x)>0,g(x)在(-1,0)上单调递增；当x>0 0,解得a2>3b,故必要性成立；例如a=-2,b= 时，g'(x)<0,g(x)在(0，十∞)上单调递减，所以 0,满足a2>3b,则f(x)=x3-2x2=x2(x-2), g(x)≤g(0),即2ln(x+1)-2x≤21ln(0+1)-2 此时f(x)只有两个不同的零点，即充分性不成 ×0=0,所以2ln(x+1)≤2x,即f(x)= 立，所以“a2>3b”是“f(x)有三个不同的零点”的 2ln(x+1)≤2x,所以f(x1)+f(x2)≤2x1+ 必要不充分条件 2x2,满足条件，故C正确；对于D,令x1=0,x2 3.D【解析】对f)=血+)士2os工求导，得 3,则f(x1)+f(x2)=9,2x1+2x2=6,不满足条 2x+1 件，故D错误. )（z+五2n22x+1)-2nx+1)+2osx] 5.D【解析】函数f(x)的图象上存在关于y轴对 (2x+1)2 称的两，点，则y=x十2与y=ln(a-x)在x<0 则k=f0)=1-2X2=-3,又f0)=2,则由线 上有交点，即x十2=ln(a一x)在x<0上有解，可 1 转化为a=x十e+2在(-∞，0)上有解.令g(x) y=f(x)在，点(0，f(0))处的切线为y=-3x十2，则x十e+2,x∈(-o∞，0)，则g'(x)=1十e+2>0,故 B ·8·