周测评(五)一元函数导数及初步应用-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（A版）

2026一2027学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)仍是关于x的函数，通常把导函数y=f'(x)的导数 叫作函数的二阶导数，记作y=f"(x),类似地，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导 数的导数叫作四阶导数，…，n一1阶导数的导数叫作n阶导数，函数y=f(x)的n阶导 数记为y=f)(x),例如y=e的n阶导数(e)m)=e'.若f(x)=xe十cos2x,则 f2026)(0)= () A.2026-22026 B.2026 C.2025-22026 D.2025 2.设函数f(x)=x3十ax2十bx(a,b∈R),则“a2>3b”是“f(x)有三个不同的零点”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数∫(x)= In(x+1)+2cos x 2x+1 ,则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴 所围成的三角形的面积为 () 1 6 .3 C.2 D.3 4.下列函数中满足“对于定义域内任意两个实数x1,x2(x1≠x2),都有f(x1)十f(x2)≤ 2x1十2x2”的是 A.f(x)=x+sin x B.f(x)=4x-x3 C.f(x)=2ln(x+1) D.f(x)=xlx 5.若x>0,y>0,则y3+x2-2xy的最小值为 4 A.一27 B.0 C.-g 2 D 学科素养周测评（五）数学第1页（共4页） 熬过书山题海的夜，终会迎来破隐的光 6.将曲线y=e2x绕坐标原点顺时针旋转0后第一次与x轴相切，则tan0= 班级 A.e B.e2 C.2e D.2e2 姓名 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ------------- 得分 题号 7 6 答案 7.物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，则 S2 to A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t。范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.当t=to时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D.当t=t。时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f'(x),且f(x)十f'(x)=2e,则 () A.f'(x)为偶函数 B.f(x)在R上单调递增 C.Hx∈R,f(x)>f'(x) D.Yx>0,f(x)<xf'(x) 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9,.若当Ar0时，f+A,）-f)无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值 △x 为二元函数之=f(x,y)在点(xo,yo)处对x的偏导数，记为f(xo,y0),即f(xo,yo)= lim x+△r,）-fx）,若当Ay→0时，fxo+△》-fxv》无限趋近 △工+0 △x △y 于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数之=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏 f(zo,yo+Ay)-f(xo,yo) 导数，记为fy(xo,yo),即fy(xo,yo)=lim .已知二元函 △y→0 △y 数f(x,y)=x2一2xy+y3,则f'(m,n)+fy(m,n)的最小值为 学科素养周测评（五）数学第2页（共4页） A l0.某城市悬索桥的主缆设计采用改进悬链线模型，其方程为f(x)=a(er十er)(x∈R;a, b为待定系数，a>0,b>0),已知f(x)的最小值为4，且曲线y=f(x)在x=2ln3处切 线的斜率为3则a= ,b= 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.(20分)已知函数f(x）=x-2-2nxa∈R0. (1)若f(x)在x=3处取得极小值，求a的值； (2)对Vx≥1，不等式x一兰-2nx-1十a≥0恒成立，求a的取值范周. A 学科素养周测评（五）数学第3页（共4页） 12.(20分)给定函数f(x)=(x+1)e. (1)判断f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； (2)当x≤0时，求f(x)的值域； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数. 学科素养周测评（五）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 2026一2027学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 一、选择题 1.A【解析】由题意得f(x)=(x十1)e一2sin2x, 0,f)单调递瑞所以fx)m=f(层）= 27 f'"(x)=(x+2)e-22cos2x,f3)(x)=(x十3)e +23sin2x,fw(x)=(x+4)e+2cos2x,以此类 所以当且仅当x=y= 3时，y3+x2-2xy取得最 推，f2026(x)=(x十2026)e2-22026cos2x,所以 f2026)(0)=(0+2026)e°-2226c0s0=2026- 小维一急 22026 6.C【解析】设直线y=kx与曲线y=e2:相切，切 2.B【解析】由题意可知，f(x)的定义域为R,则 点为(x0yo).y'=2e2,则k=2e20,e20=yo= f'(x)=3x2+2ax+b,若f(x)有三个不同的零 1 点，则f(x)必有两个极值点，即f'(x)=3x2十 bx。=2e2·x0,解得x0=2,所以k=2e,所以切 2ax+b=0有两个不同的根，则△=4a2一12b> 0,解得a2>3b,故必要性成立；例如a=-2,b= 点为（份心小故将南线y=心绕坐标原点顺时针 0,满足a2>3b,则f(x)=x3-2x2=x2(x-2), 此时f(x)只有两个不同的零，点，即充分性不成 获转0后第一次与x轴相切，剥an日-28 立，所以“a2>3b”是“f(x)有三个不同的零，点”的 二、选择题 必要不充分条件. 7.BC【解析】在0到t。范围内，甲、乙的平均速度 3.D【解析】对fx)=nx+)t2cos严求导，得 2x+1 都为，故A错误，B正确；因为甲对应的曲线在1 ()(z12sin (2x+1)2[In(+1)+2cos z] =t。处的切线的斜率大于乙对应的曲线在t=to 处的切线的斜率，故当t=t。时，甲的瞬时速度大 (2x+1) 则=f0)=1一2X2=-3,又f0)=2,则尚线 于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 1 8.ABD【解析】对于A,由f(x)是定义在R上的 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线为y=-3x十2，则 奇函数，得f(一x)=一f(x),求导得一f'(一x) 切线与两坐标轴的文点分别为（侣。），0,2)，截演 =-f(x),即f'(-x)=f'(x),因此f'(x)为偶 函数，故A正确；由f(x)十f'(x)=2e,得f(-x) 三角衫的西酸软为宁×号×g一号 +f'(-x)=2e*,即-f(x)十f'(x)=2ex,解 31 得f(x)=e-ex,f'(x)=e+ex.对于B, 4.C【解析】对于A,令x1=一π，x2=一2π，则 f'(x)=e十ex>0,因此f(x)在R上单调递增， f(x1)+f(x2)=-3π，2x1十2x2=-6π，不满足条 故B正确；对于C,f(0)=0,f'(0)=2,即f(0)< 件，故A错误；对于B,令x1=0,x2=1,则f(x1)十 f'(0),故C错误；对于D,当x>0时，令g(x)= f(x2)=3,2x1十2x2=2,不满足条件，故B错误；对 xf'(x)-f(x)=x(e*+e-:)-(e*-e-*)= 于C,令g(x)=2ln(x十1)-2x(x>-1),求导得 (x-1)e+(x+1)ex,则g'(x)=x(e-ex)> ga)=异1-2=行当-1<<0时， 0,故g(x)在(0，十∞)上单调递增，g(x)>g(0) =0,因此f(x)<xf'(x),故D正确. g'(x)>0,g(x)在(-1,0)上单调递增；当x>0 三、填空题 时，g'(x)<0,g(x)在(0，十∞)上单调递减，所以 g(x)≤g(0),即2ln(x+1)-2x≤2ln(0+1)-2 9.-号【解标】依随意，可得f:(xy)=2x-2y, ×0=-0,所以2ln(x+1)≤2x,即f(x)= f(x,y)=-2x十3y2,则f(m,n)+f5(m,n) 2ln(x+1)≤2x,所以f(x1)+f(x2)≤2x1+ C2-2m2m+3m3=3m-2n=3h-) 2x2,满足条件，故C正确；对于D,令x1=0,x2= 3,则f(x1)十f(x2)=9,2x1十+2x2=6,不满足条 1 1 件，故D错误. 3,所以当n=3时，f(m,n)+f(m,n)取得最 5.A【解析】y3+x2-2xy=y3-y2+x2-2xy+ y2=y3-y2+(x-y)2≥y3-y2,当且仅当x=y 小位- 时，等号成立.设f(x)=x3一x2(x>0),则 fx)=3x-2z=x3x-2),当0<x< 10.2;2【解析】由于函数f(x)=a(e:+e)(z 3时， ∈R),则f'(x)=a(ber-ber)=ab(er f)0,f)单调递减：当x>号时，f)> er),令f'(x)=ab(er-er)=0,因为a>0, b>0,所以er一er=0,解得x=0,故当x∈ ·8· ·数学· 参考答案及解析 (0,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈ √1-a,当x∈(1,1+√1-a)时，g'(x)<0, (-,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以当x g(x)单调递减；当x∈(1+√/1-a,十o∞)时， =0时，f(x)取得最小值，即f(0)=4,所以a(e°+ e)=4,解得a=2.又曲线y=f(x)在x=2ln3 g'(x)>0,g（x)单调递增，故g(x)mn=g(1十 √1-a)<g(1)=0,与题意不符，舍去.(18分) 处切线的斜率为兮，即f(21n3)=ab(e:m8- 综上，a的取值范围为[1，十∞)， (20分) 12.解：(1)由于函数f(x)=(x+1)e, e6·m3)=ah(30-30)=3,又a=2,所以26. 则f'(x)=(x十2)e. 0-3）-8解得6=±又b≥0，所以么 令f'(x)=0,得x=-2. 当x<-2时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>-2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，(4分) 2 四、解答题 故了)的极小值为了（一2》=吉无极大值。 (6分) 11.解：(1)因为f(x)=x-a-21nx定义域为 x (2)由(1)知，f(x)在(-∞，一2)上单调递减，在 (0,十o), (一2,0]上单调递增， 则f(x)在x=一2处取得最小值一区 1 以f'(x)=1+2-名=x一 x2 因为f(x)在x=3处取得极小值，所以f'(3)= 又f(0)=1,当x→-∞时，f(x)→0， 9-6十a=0,解得a=-3. 17 (5分) 所以当x≤0时，f(x)的值域为 9 (12分) 此时f(x)=x+3 -2lnx,定义域为(0，+∞)， (3)由上述分析可知，当x<一1时，f(x)<0;当 f(x)-1-3-2--2x-3 x=-1时，f(x)=0;当x>-1时，f(x)>0. x2- 2 结合D中f(c)的单调性和极小值∫(-2)三一， x-3)x+1,当x∈(0,3)时，f(x)<0, 作出f(x)的大致图象如图所示， f(x)单调递减；当x∈(3，十∞)时，f'(x)>0, f(x)单调递增，故f(x)在x=3处取得极小值， 经验证符合题意，故a=一3. (8分) 2)因为z-2-2nx-1+a≥0对Vx∈1， y-f(x) -4-3-2- 十∞)恒成立， 令g)=x-至-2hx-1+ax[1,+m). 方程f(x)=a解的个数等价于函数y=f(x)的图 ,（）=1士2一二24 象与直线y=a的交点个数： x2 (x-1)2+a-1 (11分) 当a<-怎时，无交点，即方程无解； x 1 当a-1≥0，即a≥1时，g'(x)≥0恒成立，g(x) 当一。<a<0时，有2个交点，即方程有2个解； 在1，+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=0 恒成立，符合题意 (14分) 当a=-或a≥0时，有1个交点，即方程有1 1 当a-1<0,即a<1时，令g'(x)=0,得x=1+ 个解 (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（六）】 数学·一元函数导数的综合应用 一、选择题 2.B【解析】由题意得f'(x)=lnx十1-a(x>0), 1.C【解析】设高度h与时间t的函数关系式为h(t), 显然f'(x)单调递增，又f(x)有极值，则f'(x)=0 则h'(t)=v(t)=-9.8t十4.7，故可设h(t)=-4.9t 十4.7t+k,因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.92十 有正根，不妨设为x=xo,则 no十1-a=0,解得 xoln xo-axo=-e, 4.7t十10，则该运动员在t=1秒时距离水面的高度 xo=e, 为h(1)=-4.9十4.7+10=9.8米. a=2. ·9. A