周测评(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（A版）

2026一2027学年度学科素养周测评（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.已知幂函数f(x)=(m2一5m+7)xm是定义在R上的奇函数，则m的值为 A.0 B.2 C.3 D.2或3 2.设a=log38,b=2.1,c=log8,则a,b,c的大小关系是 A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b x十6，x≤2， 3.若函数f(x) 的值域是[4，十∞)，则实数a的取值范围为() 3+logax,x>2,a>1 A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,十∞) 4.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的 规律.某同学根据自已记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自已的遗忘曲 线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）y与初次记忆经过的时间 x(单位：h)的函数关系式为y=1一0.5x.6,则当其记住的单词仅剩25个时，x≈（参考 数据：lg2≈0.30,1g3≈0.48) () A.100 B.300 C.1000 D.2000 5.已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=1og2x图象上不同的两点，则 A.y1十y<1og2 x1十x2 B.log x1十x2 2 2 2 x1+x2 x1+x2 C.yi+y2<log2 2 D.y1+y:>log 学科素养周测评（四）数学第1页（共4页）】 熬过无人问津的寒冬，自有繁花似锦的盛夏 6.已知函数f(x)=(1-2a-x)(e-1),若f(x)≤0恒成立，则ab的最大值为() 班级 1 1 A.一2 B.一4 姓名 1 1 C. 0.2 得分 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 答案 1.已知函数f)-(分”-1，则 A.f(x)的值域为(-1，十∞) B.f(x十1)>1的解集为(-2，+∞) C.f(x)的图象与g(x)=2x一1的图象关于y轴对称 D.函数y=f(x)一f(一x)是偶函数 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x+1)为奇函 数，则 () A.f(1)+f(0)=2 B.f(x)+f(-x)=2 C.f(f(x))=x D.f(2024)=-2024 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.如图，矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=log号x,y=x,y= 的图象 上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 n十lnn=3, 10.已知实数m,n满足 则mn= 1+In m=e2-Inm, 学科素养周测评（四）数学第2页（共4页） A 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)函数y=g(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是g(x)+ 23 g(2a-x)=2b.已知函数f(x)=2-1十1： (1)判断f(x)的单调性，并利用定义证明， (2)证明：函数y=f(x)的图象关于点(1,1)中心对称. (3)若Hx1,x2∈R,且x1+x2>2,f(x1)+f(x2)-m2+m>0,求实数m的取值 范围. A 学科素养周测评（四）数学第3页（共4页） 12.(20分)已知函数f(x)=log2(x2-ax+2),a∈R. (1)若a=3,求f(x)的定义域； (2)若f(x)在[2，+∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)设函数g(x)=4-2z+1,若Hx1∈(0,1)，3x2∈[-1,1)，使得不等式f(x1)≥g(x2), 求a的取值范围. 学科素养周测评（四）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 又fm)<f(分）-0，所以fa)∈fm,此 [0,m],不符合题意 (19分) 时不满足f(x)∈[0，m],也不满足f(x) 综上，m的取值范围为(0,2 1 (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 2a-x<0,e--1<0,不符合题意，所以1 1.C【解析】因为f(x)-(m2-5m十7)x是暴函 数，所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当 2a-名，即6=2-4a,则a6=a2-4a)- b m=2时，f(x)=x2是定义在R上的偶函数，不 满足题意；当m=3时，f(x)=x3是定义在R上 -4。-)+<音a= 4,b=1时等号成 的奇函数，满足题意. 1 2.C【解析】易知√27<8<√125，所以1og3√27= 立，故ab的最大值为4 logtog./ 3 二、选择题 7.AC【解折】对于A,国为（分） >0,所以f(x)= >≥2>a>3 >c. 3.A【解析】当x≤2时，一x十6≥4，要使得函数f(x) (份)-1>-1，眸f)的值越为(-1，+)，故 的值域为[4，十∞)，只需f(x)=3+logx(x>2, a>1)的值域包含于[4，十∞)，所以3十log。2≥4， A正确：对于B,因为f+1D=(分)”-1，由f 解得1<a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]. 4.C【解折】报影题意得-1一0.5z,鉴里行 +1>1,得)≥2，（分》”二（侣》'，因为画 到xa6=3 3 数y=(号厂为减函数，所以x+1<-1,则x<-2, ,所以0.061gx=lg2,即0.061gx= 故f(x十1)>1的解集为（一∞，一2），故B错误；对于 lg3-lg2,又lg2≈0.30，lg3≈0.48，所以lgx C,由fx)=(（2》广-1，可得f(-x)=(号)-1= 840-83得到10 2-1=g(x), 5,A【解析】由题意不妨设0<x1<x2,因为y =log2x是增函数，所以log2x1<1og2x2,即y1<y2 e+e4=be)白到，则 y=fx) y=g(x) x1十2，故A 中<2a,p2<e2 2 -3-2米丈23x 正确，B错误；取x1=1,x2=2,则y1=0,y2=1, 3 x十x2,故C 由图知，f(x)的图象与g(x)=2-1的图象关于y轴 y+y:=1=l0g:2>log:2=log2 2 对称，故C正确；对于D,设h(x)=f(x)一f(一x)= 错送取2-制y1-2=1, 2x一2，函数的定义域为R,关于原点对称，且h(一x) =2-2=一h(x),故函数y=f(x)一f(-x)为奇 y3log.loglog,D 1 函数，故D错误 8.BC【解析】对于A,由f(x十1)为奇函数，得 错误. f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(1)=0,由f(x) 6.C【解析】令1-2a-x=0,解得x=1-2a.令 的图象关于直线y=x对称，得f(0)=1,因此f(1) e-1=0,解得x=名当1-2a>名时，z6 +f(0)=1,故A错误；对于C,点(x,f(x)关于 y=x的对称点是(f(x),x),由f(x)的图象关于 (台，1-2a),则1-2a-x>0,e-1>0,不将 y=x对称，得点(f(x),x)在f(x)的图象上，即 f(f(x)=x,故C正确；对于B,由A得f(x十 合题意；当1-2a<名时，xe(1-2a,),则1 1)+f(-x+1)=0,则f(2-f(x)+f(f(x)= 0,于是f(2-f(x)=一x,即点(2-f(x),-x) ·6 ·数学· 参考答案及解析 在f(x)的图象上，则点（一x,2一f(x))在f(x) 所以f(x)的图象关于点(1,1)中心对称.(14分) 的图象上，因此f(一x)=2一f(x),即f(x)+ (3)解：因为x1十2>2，所以x1>2-x2, f(-x)=2,故B正确；对于D,由f(x+1)十 由(1)可知，f(x)在定义域R内单调递增， f(-x+1)=0,得f(x+2)+∫(-x)=0,而 所以f(x1)>f(2-x2), (16分) f(x)+f(-x)=2,则f(x十2)-f(x)=一2，因 由(2)可知，f(x)十f(2-x)=2,即f(2-x)= 此f(2024)=f(2024)-f(2022)+f(2022) 2-f(x),可得f(x1)>f(2-x2)=2-f(x2), f(2020)+…+f(4)-f(2)+f(2)-f(0)十f(0) 即f(x1)+f(x2)>2, =一2X1012+1=一2023，故D错误」 由f(x1)+f(x2)-m2+m>0,可得f(x1)+f(x2) 三、填空题 >m2-m,所以m2-m≤2， 9.(兮，》【解析】由复意可知，点A,2)在画 即m2-m-2≤0，解得-1≤m≤2， 即实数m的取值范围为[-1,2]· (20分) 数y=logx的图象上，所以2=log A,即xA 12.解：(1)由题意得x2-3x+2>0,因式分解得 =(图)=日放A(分2由于点Bu2在通 (x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2, 故f(x)的定义域为(-∞，1)U(2,+∞). 数y=x言的图象上，所以2=xB言，即xB=4,故 (4分) (2)因为y=1og2x在(0，十∞)上单调递增， B(4,2),则点C(4,yc)在函数y=（ ）的图象 所以当f(x)=log2(x2一ax十2)在[2，+∞)上 单调递增时，函数y=x2-ax十2在[2，十c∞)上 上，所以=()=故C,》,又= 单调递增且y>0, 2y0=yc=子故点D的垒标为（公，） 因为y=2-ax十2的对称轴为直线x-号，且 是开口向上的二次函数， 10.e2【解析】由1十lnm=e2-am,可得1+lnm= e3-1+hm),由n十lnn=3得n=e3-.记g(x)= ∠2， 所以2 解得a<3, x一e3-x,因为y=e在R上单调递增，t=3一x 22-2a+2>0, 在R上单调递减，根据复合函数性质可知y= 所以a的取值范围为（一∞，3）. (10分) e3-r在R上单调递减，所以g(x)=x一e3-z在 (3)Hx1∈(0,1)，3x2∈[-1,1]，使得不等式f(x1) R上单调递增.由n=e3-”可得g(n)=n一e3-" ≥g(x2),即Hx1∈(0,1)，g(x2)m≤f(x1)恒成立， =0,又g(1+lnm)=1+lnm-e3-a+nm)=0, (12分) 因此1+lnm=n,由n+lnn=3可得lnn=3- 由g(x)=4-2x+1=(2)2-2·2r=(2-1)2 n,所以lnn+lnm=(3-n)+(n-1)=2,可得 1,且当x∈[-1，]时，24∈ 「1 mn=e2. 22,得gx) 四、解答题 [-1,0],所以g(x2)mn=-1, 11.(1)解：函数f(x)在定义域R内单调递增. 可得Vx1∈(0,1)，f(x1)≥-1恒成立， (4分) 即log2(x-a.x1+2)≥-1恒成立， 年明如下f)=-2子2 2 等价于log(号-ax1+2)≥log2恒成立. 任取xa,x4∈R,不妨令xg<x4,则2十2>0,2 因为y=log2x在(0，十∞)上单调递增， +2>0,2*3一24<0， 故f）-f-2-2-2-是2 所以x2-ax+2≥2在(0,1)上恒成立， 2+2)2,+2)<0,即fx)<fx,), 4(2*3-24) 即a<x十是在0，D上权成立， 所以f(x)在定义域R内单调递增， (8分) 由对勾函数的性质可知函数y=x十 2在(0,1)上 (2)证明：因为f(x)的定义域为R, 单调递减， 3 所以x十2 >1+ 3.5 22 fe-0-21-23-2)-20-2+）》 即当a≤时，a< 3在0,1)上恒成立， 2 所以a的取值范围为 (20分) A