30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 教学目标 　　1．了解直线和圆相交、相切、相离等概念． 　　2．会判断直线和圆的位置关系． 　　3．经历直线和圆的位置关系的探索过程，体会分类讨论、数形结合的思想． 教学重点 　　会判断直线和圆的位置关系． 教学难点 　　利用数形结合的思想探究直线和圆的位置关系． 教学过程 知识回顾 　　1．点和圆的位置关系都有哪些？我们如何进行判断？ 　　点C在圆外⇔ d＞r ； 　　点A在圆上⇔ d＝r ； 　　点B在圆内⇔ d＜r ． 　　2．直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫作点到直线的距离．如图，点C到直线AB的距离是线段 CD 的长度． 　　【设计意图】引导学生回忆点和圆的位置关系及点到直线的距离，为探究直线和圆的位置关系做准备． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，在移动钥匙环的过程中，圆与直线l会有几种位置关系？它们的公共点个数又是如何变化的？ 　　【师生活动】学生操作、观察、思考，得出答案，教师展示动画． 【答案】可以发现，直线和圆有三种位置关系． 如图． 　　【设计意图】从生活中直线和圆的位置关系的实例（太阳升起过程）以及动手探索直线和圆的位置关系（移动钥匙环）出发，由直线和圆的相对运动引出直线和圆的三种位置关系． 【新知】　　如图，直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离． 　　直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点． 　　如图，直线l是⊙O的切线，A是切点． 　　直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线． 　　如图，直线l是⊙O的割线，A，B为交点． 　　【思考】生活中有很多直线和圆相交、相切或相离的实例，你能再举出其他的例子吗？ 　　【师生活动】学生独立思考，举出实例，教师展示动图． 　　【答案】 　　【设计意图】通过生活中的实例，帮助学生加深对直线和圆相交、相切、相离等概念的理解． 　　【问题】直线和圆会不会有三个公共点？ 　　【师生活动】教师引导学生独立思考，根据前面所学的知识：直线和圆相交时有两个公共点；直线和圆相切时只有一个公共点；直线和圆相离时没有公共点，归纳出直线和圆至多有两个交点． 【设计意图】通过问题，考查学生对直线和圆的三种位置关系的掌握情况． 　　【问题】我们知道，平面内一点P与⊙O的位置关系，可以根据点到圆心的距离OP与⊙O的半径r的大小关系来确定．类似地，如何确定直线l与⊙O的位置关系呢？ 　　【问题】如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．在直线与圆的三种位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？ 　　【师生活动】教师引导学生分类讨论，学生小组交流，得出答案． 　　【新知】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 　　（1）直线l与⊙O相离⇔d＞r． 　　（2）直线l与⊙O相切⇔d＝r． 　　（3）直线l与⊙O相交⇔d＜r． 　　【设计意图】通过观察、思考，让学生由直线和圆的三种位置关系，得到圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系． 　　【师生活动】观察动图，进一步理解直线和圆的位置关系． 　　【设计意图】借助动图，让学生知道直线和圆的位置关系既可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离和半径的数量关系区分，它们是一致的． 二、典例精讲 【例题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12．以边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D．若r=2.5，分别判断AC，BC与⊙D的位置关系． 【分析】要判断AC，BC与⊙D的位置关系，只需求出圆心D到AC，BC的距离，再根据其与半径的大小关系作出判断． 【答案】解：如图，过圆心D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，则DE，DF的长分别为圆心D到AC，BC的距离． 连接CD，由D为AB的中点，得CD=AD=BD，因而E，F分别为AC，BC的中点．所以DE=BC，DF=-AC． ∵BC=12，AC=5，r=2.5， ∴DE＞r，DF＜r． ∴AC与⊙D相离，BC与⊙D相切． 　　【设计意图】结合问题判断直线和圆的位置关系，加深学生对所学知识点的认识． 课堂小结 板书设计 　　一、直线和圆的位置关系 　　二、直线和圆的位置关系的判定方法 学科网（北京）股份有限公司 $