第三章 单元素养测评卷(三)[范围：第三章]（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

单元素养测评卷(三)[范围:第三章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数f(x)=则f[f(1)]的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.7 B.3 C.9 D.8 2.已知集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},在下列四个图形中,能表示集合M到N的函数关系的有 (　 ) ① ② ③ ④ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.[2026·咸阳高一质检] 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 (　 ) A.f(x)=x2 B.f(x)=x3 C.f(x)= D.f(x)=|x| 4.下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.y=与y= B.y=x与y= C.y=|x|与y= D.y=|x|与y=()2 5.已知f(x)=xα是幂函数,则“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.[2026·蚌埠高一期末] 已知函数f=+1,则f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=x2+1(x≠0) B.f(x)=x2+1(x≠1) C.f(x)=x2-2x+2(x≠0) D.f(x)=x2-2x+2(x≠1) 7.函数f(x)=x(|x|-4)在[m,n]上的最小值为-4,最大值为5,则n-m的最大值为 (　 ) A.7+2 B.7-2 C.6 D.7 8.若函数f(x)=的值域为R,则实数m的取值范围为 (　 ) A.[-3,4] B.[-2,0] C.[-5,0] D.[-5,4] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)的定义域为(2,+∞),值域为R,则下列说法错误的是 (　 ) A.函数f(x2+2)的定义域为R B.函数f(x2+2)-2的值域为R C.函数f(x2+2x+3)的定义域和值域都是R D.函数f[f(x)]的定义域和值域都是R 10.[2026·山西怀仁高一期中] 已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm,则 (　 ) A.当f(x)为奇函数时,m=-1 B.当f(x)为偶函数时,m=-2 C.当f(x)为奇函数时,f(x)在(0,+∞)上单调递减 D.当f(x)为偶函数时,f(x)在(-∞,0)上单调递减 11.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(0)=0 B.f(x+6)=f(x) C.f(x)≥-3 D.f(2x+1)的图象关于直线x=对称 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数f(x)=|x2-3x|的单调递增区间是　　　　　　　.  13.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=2,则满足-2≤f(x)≤0的x的取值范围是　　　　.  14.定义||x||(x∈R)为与x距离最近的整数(当x为两相邻整数算术平均数时,||x||取较大整数),令函数f(x)=||x||,如:f=1,f=2,f=2,f=2,则++…+=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)= (1)若f(a)=12,求a的值; (2)若f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,求b的取值范围. 16.(15分)[2026·湖南邵阳高一期末] 已知函数f(x)=(a∈R)是奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明. 17.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间; (3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值. 18.(17分)[2026·山西忻州一中高一质检] 某公司为提高经济效益,大力进行新产品研发,现计划投入100万元,全部用于甲、乙两种产品的研发,每种产品至少要投入10万元,对市场进行调研分析后发现,甲产品的利润P,乙产品的利润Q与研发投入a(单位:万元)分别满足P=Q=a+35(10≤a≤90). 设甲产品的投入为x(单位:万元),两种产品的总利润为f(x)(单位:万元). (1)求f(x)的解析式; (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入,才能使总利润最大,最大总利润是多少万元?(结果保留一位小数) 19.(17分)对于定义在R上的函数f(x),若其在区间[p,q]上存在最小值m和最大值M,且满足p≤m<M≤q,则称f(x)是区间[p,q]上的“聚集函数”.给定函数f(x)=-ax+. (1)当a=2时,求函数f(x)在[-1,4]上的最大值和最小值,并判断f(x)是否是“聚集函数”; (2)若函数f(x)是[-1,4]上的“聚集函数”,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(三) 1.D　[解析] 由题得f(1)=-1+4=3,则f[f(1)]=f(3)=3×3-1=8.故选D. 2.C　[解析] 由函数定义可知,符合M中任意元素在N中有唯一确定的元素与之相对应的图象是②④.故选C. 3.B　[解析] 对于A,f(x)=x2的定义域为R,又f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)=x2为偶函数,故A错误;对于B,f(x)=x3的定义域为R,又f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)=x3是奇函数,易知f(x)=x3在R上单调递增,故B正确;对于C,f(x)=的定义域为{x|x≠0},又f(-x)==-f(x),所以f(x)=是奇函数,但是f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故C错误;对于D,f(x)=|x|的定义域为R,又f(-x)=|-x|=|x|=f(x),所以f(x)=|x|为偶函数,故D错误.故选B. 4.C　[解析] 对于A,y=的定义域为{x|x≠1},y=的定义域为{x|x≠±1},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故A错误;对于B,y=x的定义域为R,y=的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故B错误;对于C,y=|x|的定义域为R,y=的定义域为R,且y==|x|,所以y=|x|与y=是同一个函数,故C正确;对于D,y=|x|的定义域为R,y=()2的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故D错误.故选C. 5.A　[解析] 当α是正偶数时,显然f(x)=xα≥0,则f(x)的值域为[0,+∞).当f(x)=时,f(x)的值域为[0,+∞),但α不是正偶数.故“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充分不必要条件.故选A. 6.D　[解析] 令t=1+,则x=,由题意得x≠0,则t≠1,因为f=+1(x≠0),所以f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2(t≠1),所以f(x)=x2-2x+2(x≠1).故选D. 7.A　[解析] 作出函数f(x)=x(|x|-4)=的图象如图所示.当x≥0时,由x2-4x=5,解得x1=5,x2=-1(舍去);当x<0时,由-x2-4x=-4,解得x3=-2-2,x4=-2+2(舍去).故n-m的最大值为x1-x3=7+2.故选A. 8.C　[解析] 令x2-x-4=-2x-4,整理得x2+5x=0,解得x=-5或x=0,即函数y=x2-x-4和y=-2x-4的图象的交点的横坐标为-5和0.作出函数y=x2-x-4和y=-2x-4的图象,如图所示,要使函数f(x)的值域为R,则-5≤m≤0,所以实数m的取值范围为[-5,0].故选C. 9.ACD　[解析] 对于A选项,令x2+2≥2,可得x≠0,所以函数f(x2+2)的定义域为{x|x≠0},故A选项中说法错误;对于B选项,因为f(x)的值域为R,x2+2≥2,所以f(x2+2)的值域为R,则函数f(x2+2)-2的值域也为R,故B选项中说法正确;对于C选项,令x2+2x+3=(x+1)2+2,得x≠-1,所以函数f(x2+2x+3)的定义域为{x|x≠-1},故C选项中说法错误;对于D选项,若函数f[f(x)]的值域为R,则f(x)>2,此时无法判断其定义域,故D选项中说法错误.故选ACD. 10.ACD　[解析] 由幂函数的定义可知m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=为奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,故A,C正确;当m=2时,f(x)=x2为偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,故B错误,D正确.故选ACD. 11.BC　[解析] 令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),又f(1)=,所以f(0)=3,故A错误;令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x),用x+1代换x,得f(x+2)+f(x)=f(x+1),两式相加得f(x+2)+f(x)+f(x+1)+f(x-1)=f(x+1)+f(x),即f(x+2)+f(x-1)=0,用x+1代换x,得f(x+3)+f(x)=0,即f(x+3)=-f(x),用x+3代换x,得f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),故B正确;令y=x,得f(2x)+f(0)=[f(x)]2,即f(2x)=[f(x)]2-3,又[f(x)]2≥0,所以f(2x)≥-3,所以f(x)≥-3,故C正确;对于f(x+2)+f(x)=f(x+1),令x=0,得f(2)+f(0)=f(1),则f(2)=f(1)-f(0)=-3=-,令x=1,得f(3)+f(1)=f(2),则f(3)=f(2)-f(1)=--=-3,令g(x)=f(2x+1),假设g(x)的图象关于直线x=对称,则g(0)=g(1),但g(0)=f(1)=,g(1)=f(3)=-3,即g(0)≠g(1),所以假设不成立,所以f(2x+1)的图象不关于直线x=对称,故D错误.故选BC. 12.和(3,+∞)　[解析] 作出f(x)的图象,如图所示,由图可知,f(x)的单调递增区间为和(3,+∞). 13.[-1,0]　[解析] 因为定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,因为f(1)=2,所以f(-1)=-f(1)=-2,又f(0)=0,所以-2≤f(x)≤0即f(-1)≤f(x)≤f(0),解得-1≤x≤0,故x的取值范围是[-1,0]. 14.19　[解析] ==∈(,),==∈(,),==∈(,),==∈(,),==∈(,),==∈(,),==∈(,),==∈(,),==∈(,),所以f(1)=f()=1,f()=…=f()=2,f()=…=f()=3,f()=…=f()=4,f()=…=f()=5,f()=…=f()=6,f()=…=f()=7,f()=…=f()=8,f()=…=f()=9,f()=…=f()=10,所以++…+=2+4×+6×+8×+10×+12×+14×+16×+18×+10×=19. 15.解:(1)当a>0时,f(a)=a=12;当a≤0时,f(a)=-a(a+4)=12,无解. 综上可得,a=12. (2)作出f(x)=的图象,如图. 由图可知,当0<b<4时,函数f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点. 16.解:(1)因为f(x)=是奇函数,f(x)的定义域为(-∞,-a)∪(-a,+∞),所以a=0, 所以f(x)==x-. 此时f(-x)=-x+=-f(x),则f(x)为奇函数,满足题意.故a=0. (2)f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下: ∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2), 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,1+>0, 所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0, 即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 17.解:(1)当x≤0时,f(x)=x2+2x,当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x, 又函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)=f(-x)=x2-2x. 综上所述,f(x)= (2)当x≤0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,函数f(x)在[-1,0]上单调递增; 当x>0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,函数f(x)在[1,+∞)上单调递增. 综上所述,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞). (3)g(x)=x2-(2+2a)x+2,x∈[1,2],函数y=x2-(2+2a)x+2的图象的对称轴方程为x=a+1. 当a+1≤1,即a≤0时,g(x)的最小值为g(1)=1-2a; 当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(x)的最小值为g(a+1)=-a2-2a+1; 当a+1>2,即a>1时,g(x)的最小值为g(2)=2-4a. 综上,g(x)min= 18.解:(1)由甲产品的投入为x(单位:万元),得乙产品的投入为100-x(单位:万元), 则乙产品的利润Q=(100-x)+35=135-x. 当10≤x≤27时,P=10+45,所以f(x)=10+45+(135-x)=10-x+180; 当27<x≤90时,P=-+130, 所以f(x)=-+130+(135-x)=--x+265. 综上所述,f(x)= (2)当10≤x≤27时,令t=,则t∈[3,],x=t2+1, 所以f(x)=g(t)=10t-(t2+1)+180=-t2+10t+179, 当t=5时,函数g(t)取得最大值, 即当x=26时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(26)=10×-26+180=204. 当27<x≤90时,f(x)=--x+265=-+266≤-2+266=266-40≈209.4,当且仅当=x+1,即x=20-1≈27.3时等号成立. 因为204<209.4,所以当甲投入27.3万元,乙投入72.7万元时,才能使总利润最大,最大总利润是209.4万元. 19.解:(1)由题得f(x)=-2x+1=(x-2)2-1在[-1,4]上的取值范围为, 所以函数f(x)的最大值M=,最小值m=-1,满足p≤m<M≤q,所以f(x)是“聚集函数”. (2)当a≤-1时,f(x)在[-1,4]上的最大值为f(4)=8-4a+,最小值为f(-1)=+a+, 由-1≤+a+<8-4a+≤4, 即-4≤2+4a+a2<32-16a+a2≤16,解得8-4≤a<,显然不满足a≤-1; 当-1<a≤时,f(x)在[-1,4]上的最大值为f(4)=8-4a+,最小值为f(a)=-, 由-1≤-<8-4a+≤4, 即-4≤-a2<32-16a+a2≤16,解得8-4≤a≤2, 又-1<a≤,所以8-4≤a≤; 当<a≤4时,f(x)在[-1,4]上的最大值为f(-1)=+a+,最小值为f(a)=-, 由-1≤-<+a+≤4,即-4≤-a2<2+4a+a2≤16,解得-2≤a≤2, 又<a≤4,所以<a≤2; 当a>4时,f(x)在[-1,4]上的最大值为f(-1)=+a+,最小值为f(4)=8-4a+, 由-1≤8-4a+<+a+≤4, 即-4≤32-16a+a2<2+4a+a2≤16,解得<a≤3-2,显然不满足a>4. 综上可得,实数a的取值范围为[8-4,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $