第57卷 圆锥曲线综合-考点训练卷 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第57卷 圆锥曲线综合 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（   ） A． B．2 C． D． 2．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 3．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．长轴长为10，短轴长为8，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 5．椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知椭圆的焦点为和，离心率为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B．8 C． D． 8．抛物线上点P的横坐标为4，则P到抛物线焦点F的距离等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的标准方程为______. 12．已知抛物线方程，则准线方程为_________． 13．抛物线的焦点到准线的距离为4，则___________. 14．等轴双曲线： ________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率________，渐近线方程为________. 15．与双曲线有一条共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是________. 16．，，焦点在轴上的椭圆的标准方程是___________. 17．已知椭圆的长轴顶点为，且离心率，则椭圆的方程是_______． 18．若方程表示椭圆，则实数满足的条件是______． 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．求焦点在x轴上，实半轴长为2，且离心率为的双曲线方程． 20．指出下列椭圆中，，，的值，并说出焦点所在的坐标轴. (1)； (2). 21．如图，已知汽车前灯反射镜纵断面是抛物线的一部分，灯口直径为，灯深，灯泡要放在抛物线的焦点处，求灯泡到抛物线顶点的距离. 22．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5； 23．求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程． 24．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1和F2，在x轴上，离心率为，点在C上. (1)求C的方程； (2)设点M在C上，∠F1M F2＝90°，求△F1M F2的面积. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第57卷 圆锥曲线综合 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程得到焦点，双曲线的标准方程得到渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由抛物线可知,故焦点为， 双曲线可知， 故渐近线方程为，即， 由于渐近线关于 x轴对称，且焦点在 x轴上，到两条渐近线的距离相等. 不妨求焦点到渐近线的方程， 故. 故选：A. 2．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率公式以及渐近线公式求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，即， 因为，代入得，所以， 所以渐近线方程为， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以其两条渐近线所成的锐角为. 故选：A. 3．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的方程，然后根据渐近线的方程及离心率的公式求解． 【详解】由题意，设双曲线的方程为， 则该双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线经过点，则， 所以，， 则该双曲线的离心率． 故选：A． 4．长轴长为10，短轴长为8，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，的值，进而得解. 【详解】依题意，，，则，， 又焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为. 故选：D. 5．椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求解即可. 【详解】由椭圆知，，即， 所以椭圆的长轴长为. 故选：D 6．已知椭圆的焦点为和，离心率为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，，即可求出、，从而得解. 【详解】依题意可得，，所以，所以， 所以方程为. 故选：B 7．设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合图像分析可知的周长为，再由椭圆的标准方程可求出的值，由此便能求出的周长. 【详解】由可知，. 因为直线过交椭圆于两点， 根据椭圆的定义，可得，， . 故选：A. 8．抛物线上点P的横坐标为4，则P到抛物线焦点F的距离等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线方程得到，再根据定义求解即可. 【详解】易知抛物线中，， 由点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离可得：. 故选：C. 9．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程得到焦点位置及坐标即可. 【详解】易知抛物线的焦点在轴正半轴， 且，则焦点坐标为. 故选：C. 10．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解，再根据抛物线的标准方程即可求解准线方程. 【详解】因为抛物线为，，即， 抛物线开口向左， 所以. 故选：D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的标准方程为______. 【答案】 【分析】由椭圆的方程可得，其右焦点为，即抛物线的焦点为，设抛物线的标准方程为，则，据此可求解. 【详解】在椭圆中，， 所以，右焦点为. 即抛物线的焦点为. 设抛物线的标准方程为，则， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 12．已知抛物线方程，则准线方程为_________． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求准线. 【详解】∵抛物线方程， ∴， 解得：， 准线方程， 故答案为：. 13．抛物线的焦点到准线的距离为4，则___________. 【答案】 【分析】由抛物线方程结合题目条件直接求出即可. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4， 所以，. 故答案为：. 14．等轴双曲线： ________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率________，渐近线方程为________. 【答案】 实轴和虚轴等长 【分析】根据等轴双曲线的概念及性质可判断结果. 【详解】根据等轴双曲线的概念可知 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，即， 所以其离心率，渐近线方程为. 故答案为：①实轴和虚轴等长；②；③. 15．与双曲线有一条共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是________. 【答案】 【分析】根据有相同渐近线的双曲线方程设出双曲线方程，再将点代入方程即可求解. 【详解】设与双曲线有一条共同的渐近线的方程为， 将点代入方程，得，解得， 故所求双曲线方程为，可化为. 故答案为：. 16．，，焦点在轴上的椭圆的标准方程是___________. 【答案】 【分析】根据关系求出，再结合焦点位置求椭圆标准方程即可. 【详解】易知， 焦点在轴上的椭圆方程形如， 即满足题意的方程为：. 故答案为：. 17．已知椭圆的长轴顶点为，且离心率，则椭圆的方程是_______． 【答案】 【分析】由长轴顶点坐标确定及焦点位置，由离心率公式求得，进而可得，即可写出椭圆的方程. 【详解】∵椭圆的长轴顶点为，∴，且焦点在轴上， ∵离心率，∴，得， ∴， 又焦点在轴上，故所求椭圆方程为． 故答案为：. 18．若方程表示椭圆，则实数满足的条件是______． 【答案】且 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可. 【详解】由方程表示椭圆， 得，解得且， 则实数满足的条件是且. 故答案为：且. 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．求焦点在x轴上，实半轴长为2，且离心率为的双曲线方程． 【答案】 【分析】由焦点的位置，可设椭圆的标准方程为，根据题意可得，，从而可求c和，据此即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为：， 因为双曲线的实半轴长为2，且离心率为， 所以，， 所以，， 所以双曲线的标准方程为：. 20．指出下列椭圆中，，，的值，并说出焦点所在的坐标轴. (1)； (2). 【答案】(1)，，，椭圆的焦点在轴上 (2)，，，椭圆的焦点在轴上 【分析】（1）根据椭圆的标准方程形式求解即可. （2）根据椭圆的标准方程形式求解即可. 【详解】（1）因为，所以椭圆的焦点在轴上，并且，， 则，可求出，，. （2）因为，所以椭圆的焦点在轴上，并且，， 则，可求出，，. 21．如图，已知汽车前灯反射镜纵断面是抛物线的一部分，灯口直径为，灯深，灯泡要放在抛物线的焦点处，求灯泡到抛物线顶点的距离. 【答案】 【分析】设抛物线方程为，由抛物线过点，求得，从而得焦点坐标，即可得解. 【详解】由题意，灯口直径为，灯深，∴点． 设抛物线方程为， ∴抛物线过点，所以， ∴，，故焦点坐标为. 因此，灯泡到抛物线顶点的距离为. 22．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5； 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）由抛物线的准线方程可知抛物线的标准方程； （2）由抛物线的焦点到准线的距离和焦点的位置可知抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为抛物线的准线交轴于正半轴， 且，则， 所以所求抛物线的标准方程为 （2）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知， 所以满足条件的抛物线有两条， 它们的标准方程分别为和. 23．求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴、离心率的定义求解； （2）利用等轴双曲线的定义求解. 【详解】（1）因为长轴长等于，离心率等于， 所以，，， 又因为焦点在轴上， 所以椭圆标准方程； （2）设双曲线方程为， 代入点，得， 双曲线方程为． 24．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1和F2，在x轴上，离心率为，点在C上. (1)求C的方程； (2)设点M在C上，∠F1M F2＝90°，求△F1M F2的面积. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）通过椭圆的性质，利用离心率和点进而求解椭圆的标准方程即可. （2）利用向量垂直构建方程与椭圆方程联立求解点M坐标，进而求解三角形面积. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知， 点在椭圆上，即，即， 因为， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知， ， 所以由完全平方公式可得，， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $