11.2复数的运算及应用（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 复数 11.2 复数的运算及应用 【复习目标】 1.会进行复数的加法、减法和乘法运算； 2.会在复数范围内解实系数一元二次方程. 【知识梳理内容】 考点1 复数的加法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ . 【注】①两个复数的和仍然是复数； ②复数的加法运算满足交换律与结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 2.复数的减法 一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作-z，并规定-z＝-(a＋bi)＝ ． 复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(-z2). 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ． 3.复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝ ． 【注】①两个复数的积仍然是复数； ②复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. ③共轭复数的性质:根据复数乘法的定义可得，. 4.复数幂的运算 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，记作zn. 当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝z1nz2n. 【注】完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即 (z1＋z2)2＝z12＋2z1z2＋z22，z12-z22＝(z1＋z2)(z1－z2). 5.复数运算的常用结论 (1)i1＝i，i2＝ ，i3＝－i，i4＝ (n∈N). 【注】(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. 【即时训练】 1.复数(  ) A. B. C. D. 2.(  ) A. B. C. D. 3.(  ) A.3 B.5 C. D. 4.(  ) A. B. C. D. 5.(  ) A. B. C. D. 6.设，()，若它们的和为实数，差为纯虚数，则(  ) A. B.0 C.1 D.4 7.若，则为(  ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 8.设复数，，则(  ) A.4 B.5 C.7 D.9 9.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.设为虚数单位，则1+i+i2+i3=(  ) A.0 B.1 C. D.-i 11.已知复数，则(  ) A. B.14 C. D. 12.已知复数，则等于(  ) A.3 B.2 C. D. 13.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数(  ) A. B.0 C.1 D.2 14.定义运算，则符号的复数对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.如图，在复平面内，若复数、对应的向量分别是、，则复数所对应的点的坐标为(  ) A. B. C. D. 【知识梳理内容】 考点2 复数的应用 1.实系数一元二次方程 一般地，当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，记△＝ ，称它为方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式． 2.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内求解 (1)当△≥0时，方程在实数集R中有解，即x＝ ； (2)当△<0时，方程在实数集R中无解，但在复数集C中有解，即x＝ ，显然，这两个根是一对共轭复数． 3.实系数一元二次方程根与系数的关系 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系x1＋x2＝ ；且x1x2＝ ，不仅在△≥0时成立，而且在△<0时也成立． 【即时训练】 16.若实系数一元二次方程有非实复数根，则其判别式满足(  ) A. B. C. D. 17.实系数一元二次方程有根，则另一根为(  ) A. B. C. D. 18.方程在复数范围内的解为(  ) A. B. C. D. 19.已知是方程的一个根，则实数m的值是(  ) A.2 B. C.1 D. 20.若，则为(  ) A. B. C. D. 21.“”是“实系数一元二次方程没有实根”的(  ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 复数 11.2 复数的运算及应用 【复习目标】 1.会进行复数的加法、减法和乘法运算； 2.会在复数范围内解实系数一元二次方程. 【知识梳理内容】 考点1 复数的加法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a+c)+(b+d)i. 【注】①两个复数的和仍然是复数； ②复数的加法运算满足交换律与结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 2.复数的减法 一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作-z，并规定-z＝-(a＋bi)＝-a-bi． 复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(-z2). 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i． 3.复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac-bd)+(ad+bc)i． 【注】①两个复数的积仍然是复数； ②复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. ③共轭复数的性质:根据复数乘法的定义可得，. 4.复数幂的运算 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，记作zn. 当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝z1nz2n. 【注】完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即 (z1＋z2)2＝z12＋2z1z2＋z22，z12-z22＝(z1＋z2)(z1－z2). 5.复数运算的常用结论 (1)i1＝i，i2＝-1，i3＝－i，i4＝1(n∈N). 【注】(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. 【即时训练】 1.复数(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据复数的加法运算法则进行计算. 【详解】. 故选:B. 2.(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据复数减法的运算法则即可求解. 【详解】， 故选:D 3.(  ) A.3 B.5 C. D. 【答案】B 【分析】根据复数的乘法法则计算． 【详解】. 故选:B. 4.(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，以及虚数单位的幂运算性质进行化简． 【详解】. 故选:A 5.(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选:. 6.设，()，若它们的和为实数，差为纯虚数，则(  ) A. B.0 C.1 D.4 【答案】C 【分析】由复数的加减运算和复数的分类求解即可. 【详解】由题意，， 因为为实数，则，解得； ， 因为为纯虚数， 则，解得， 因此. 故选:C. 7.若，则为(  ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B 【分析】左边展开，由复数相等实部、虚部分别相等，即可得出结果. 【详解】因为， 所以.解得 故选: 8.设复数，，则(  ) A.4 B.5 C.7 D.9 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则及模长公式即可得解. 【详解】复数，， 则，所以， 故选:. 9.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的代数运算化简后，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，对应的点位于第二象限. 故选:B. 10.设为虚数单位，则1+i+i2+i3=(  ) A.0 B.1 C. D.-i 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】 故选:A． 11.已知复数，则(  ) A. B.14 C. D. 【答案】B 【分析】由复数的混合运算即可得解. 【详解】因为复数， 所以. 故选:B. 12.已知复数，则等于(  ) A.3 B.2 C. D. 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算及复数模的运算可求. 【详解】，则； 故选:D. 13.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数(  ) A. B.0 C.1 D.2 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则和纯虚数的定义，求解即可 【详解】， ∵复数是纯虚数，∴， 解得:，，所以实数， 故选:A. 14.定义运算，则符号的复数对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】根据题意求出，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】定义运算， 则符号， 化简得，复平面对应的点为，在第三象限， 故选:. 15.如图，在复平面内，若复数、对应的向量分别是、，则复数所对应的点的坐标为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义和复数的加减运算即可求解. 【详解】由图可知，点坐标为，点坐标为，则， 所以，，，所以对应点的坐标为. 故选:B. 【知识梳理内容】 考点2 复数的应用 1.实系数一元二次方程 一般地，当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，记△＝，称它为方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式． 2.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内求解 (1)当△≥0时，方程在实数集R中有解，即x＝； (2)当△<0时，方程在实数集R中无解，但在复数集C中有解，即x＝，显然，这两个根是一对共轭复数． 3.实系数一元二次方程根与系数的关系 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系x1＋x2＝；且x1x2＝，不仅在△≥0时成立，而且在△<0时也成立． 【即时训练】 16.若实系数一元二次方程有非实复数根，则其判别式满足(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程有非实复数根的条件即可得解. 【详解】实系数一元二次方程有非实复数根，则， 故选:. 17.实系数一元二次方程有根，则另一根为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据实系数方程虚根共轭即可得出结果. 【详解】因为实系数方程虚根共轭，实部不变，虚部变号.所以另一根是. 故选: 18.方程在复数范围内的解为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】通过移项，再利用虚数单位的定义来求解方程. 【详解】将方程进行移项，得到， 由，可得，所以，则. 故选:C. 19.已知是方程的一个根，则实数m的值是(  ) A.2 B. C.1 D. 【答案】A 【分析】利用实系数方程虚根共轭的性质结合韦达定理计算即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以是方程的一个根， 故，则，所以实数的值是2. 故选:A. 20.若，则为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据实系数一元二次方程的解法求解. 【详解】方程的判别式， 所以. 故选:C． 21.“”是“实系数一元二次方程没有实根”的(  ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由实系数一元二次方程没有实根求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为实系数一元二次方程没有实根， 所以，解得， 所以“”是“实系数一元二次方程没有实根”的充要条件. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $