11.1复数的概念及几何意义（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 复数 11.1 复数的概念及几何意义 【复习目标】 1.理解复数及有关概念； 2.了解复平面内复数的几何意义，会求复数的模； 3.会判断复数是否相等，是否互为共轭复数. 【知识梳理内容】 考点1 复数的概念 1.虚数单位:规定i的平方等于-1，即 ，并称i为虚数单位. 2.复数 (1)定义:形如a+ bi(a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数的 ，b称为复数的 . (2)复数集:所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝ ． (3)分类: ①当b=0时，复数a+ bi就是 .虚数 ②当b≠0时，复数a+ bi就是 .纯虚数 实数 ③a=0且b≠0时，复数bi就称为 .复数 复数通常用小写英文字母z，w，…来表示，如z=a+bi. 3.复数相等 (1)定义:两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2. (2)复数相等的充要条件:如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ 且 ． (3)复数等于0的充要条件:当a，b都是实数时，a＋bi＝0⇔ 且 ． 【即时训练】 1.复数的虚部为(  ) A.6 B. C. D.-6 2.的实部是(  ) A.1 B. C. D.0 3.若，求x与y的值(  ) A. B. C. D. 4.i是虚数单位，则(  ) A.0 B.1 C. D.2 5.已知x，y∈R，且，则的值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知a，b∈R，则“复数是纯虚数”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.实数m取什么值时，复数 (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数? 考点2 复数的几何意义 1.复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内，x轴通常称为 ，y轴称为 ． 2.复数的几何意义 由于复数z=a+ bi与点Z(a，b)是一一对应的，点Z(a，b)与向量也是一一对应的.因此，复数z=a+ bi既可以用点Z(a，b)表示，也可以用向量 表示. 3.复数的模 一般地，向量的长度称为复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|. 即|z|=|+ bi|= (ab∈R) 4.共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用 表示.若复数z=a+bi则其共轭复数为= . 【即时训练】 8.复数的共轭复数为(  ) A. B. C. D. 9.已知复数的共轭复数是，则实数的值是(  ) A.3 B. C.7 D. 10.若复数，则(  ) A. B.4 C.2 D. 11.复数在复平面内对应的点位于(  ) A.第二象限 B.第三象限 C.第一象限 D.第四象限 12.在复平面中，点A(0，-3)，B(9，-4)，则向量对应的复数是(  ) A. B. C. D. 13.在复平面内，复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 14.已知复数的虚部为，模为2，实部为正数，求这个复数(  ) A. B. C. D. 15.已知平行四边形的三个顶点A,B,C分别对应的复数为，则第四个顶点D对应的复数为(  ) A. B. C. D. 16.已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P(  ) A.在虚轴上 B.不在虚轴上 C.在实轴上 D.不在实轴上 17.满足的点的轨迹是(  ) A.以原点为圆心、3为半径的圆 B.x轴上两点 C.半径为9的圆 D.一条直线 18.已知，若在复平面内复数，对应的两点之间的距离为4，则等于(  ) A.4 B.5 C.6 D.8 19.若复数z的共轭复数记作，且复数满足，其中i为虚数单位，所以的虚部为(  ) A. B. C. D.2 20.在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线y=x上，分别求实数m的取值范围． 1.(2025年山东省春季高考数学真题)已知复数为纯虚数，则实数的值是( ) A.2 B.1 C.0 D. 2.(2026年山东省春季高考数学真题)已知复数，则复平面内对应的点的坐标是( ) A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(1,2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 复数 11.1 复数的概念及几何意义 【复习目标】 1.理解复数及有关概念； 2.了解复平面内复数的几何意义，会求复数的模； 3.会判断复数是否相等，是否互为共轭复数. 【知识梳理内容】 考点1 复数的概念 1.虚数单位:规定i的平方等于-1，即，并称i为虚数单位. 2.复数 (1)定义:形如a+ bi(a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部. (2)复数集:所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． (3)分类: ①当b=0时，复数a+ bi就是实数.虚数 ②当b≠0时，复数a+ bi就是虚数.纯虚数 实数 ③a=0且b≠0时，复数bi就称为纯虚数.复数 复数通常用小写英文字母z，w，…来表示，如z=a+bi. 3.复数相等 (1)定义:两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2. (2)复数相等的充要条件:如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a=c且b=d． (3)复数等于0的充要条件:当a，b都是实数时，a＋bi＝0⇔a=0且b=0． 【即时训练】 1.复数的虚部为(  ) A.6 B. C. D.-6 【答案】A 【分析】根据复数虚部的定义即可得解． 【详解】复数的虚部为6. 故选:A. 2.的实部是(  ) A.1 B. C. D.0 【答案】D 【分析】根据复数的实部与虚部的定义即可得解. 【详解】复数的实部是0. 故选:D 3.若，求x与y的值(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】分别令2x+1=0，y-1=0求值即可. 【详解】已知，则2x+1=0，y-1=0，解得， 故选:A. 4.i是虚数单位，则(  ) A.0 B.1 C. D.2 【答案】A 【分析】根据复数的概念计算即可. 【详解】，故选:A. 5.已知x，，且，则x-y的值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【分析】利用复数相等结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，，解得，所以. 故选:D. 6.已知a,b∈R，则“复数是纯虚数”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若复数是纯虚数，则且，故充分性成立； 若，则复数不一定是纯虚数，如且，不是纯虚数，故必要性不成立， 则“复数是纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选:A． 7.实数m取什么值时，复数 (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】(1)令虚部为0，解方程即可. (2)令虚部不为0，解不等式即可. (3)令实部为0，虚部不为0，求解即可. 【详解】(1)当复数为实数时， 则，即，解得或. (2)当复数为虚数时， 则，即，解得且. (3)当复数为纯虚数时，则实部为 0，虚部不为 0， 由(2)可得，，解得且， 且，即，解得或(舍去)，所以. 考点2 复数的几何意义 1.复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内，x轴通常称为实轴，y轴称为虚轴． 2.复数的几何意义 由于复数z=a+ bi与点Z(a，b)是一一对应的，点Z(a，b)与向量也是一一对应的.因此，复数z=a+ bi既可以用点Z(a，b)表示，也可以用向量表示. 3.复数的模 一般地，向量的长度称为复数z=a+ bi的模，记作|z|或|a+bi|. 即|z|=|+ bi|=(ab∈R) 4.共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示.若复数z=a+bi则其共轭复数为= 【即时训练】 8.复数的共轭复数为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选:C. 9.已知复数的共轭复数是，则实数的值是(  ) A.3 B. C.7 D. 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为复数的共轭复数是，所以，解得， 故选:A. 10.若复数，则(  ) A. B.4 C.2 D. 【答案】C 【分析】根据复数的模长公式即可解得. 【详解】因为，所以. 故选:C. 11.复数在复平面内对应的点位于(  ) A.第二象限 B.第三象限 C.第一象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】复数对应复平面内点，据此即可选出正确答案. 【详解】复数对应复平面内点，则复数对应复平面内点， 横纵坐标都大于0，在第一象限， 故选:C 12.在复平面中，点A(0，-3)，B(9，-4)，则向量对应的复数是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先求解向量的坐标，再求解对应的复数即可. 【详解】∵点，，∴向量， 则向量对应的复数是. 故选:B. 13.在复平面内，复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】求出复数对应点的坐标即可得解. 【详解】因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，实数的取值范围是， 故选:D. 14.已知复数的虚部为，模为2，实部为正数，求这个复数(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据复数的虚部设出复数，再根据模求出复数实部即可. 【详解】易知复数的虚部为，设， 则模，即，且实部，所以，所以. 故选:A. 15.已知平行四边形的三个顶点A,B,C分别对应的复数为，则第四个顶点D对应的复数为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据复平面上的复数得出三个点的坐标，设，再根据平行四边形的对角线互相平分可知，与的中点相同，由此列方程求解即可. 【详解】已知复平面上分别对应的复数为， 所以，设， 则中点为，即.中点为，因为为平行四边形， 所以与的中点相同，即，即， 解得，所以D对应的复数为. 故选:D. 16.已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P(  ) A.在虚轴上 B.不在虚轴上 C.在实轴上 D.不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选:D. 17.满足的点的轨迹是(  ) A.以原点为圆心、3为半径的圆 B.x轴上两点 C.半径为9的圆 D.一条直线 【答案】A 【分析】根据复数的模长表示即可. 【详解】设，其中， 因为，则，即， 故满足的点的轨迹是以原点为圆心、3为半径的圆. 故选:A. 18.已知，若在复平面内复数，对应的两点之间的距离为4，则等于(  ) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】B 【分析】先由题意确定两复数在复平面对应的两点，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】由题知，在复平面内对应的点分别为， 根据两点间距离公式得，解得. 故选:B. 19.若复数z的共轭复数记作，且复数满足，其中i为虚数单位，所以的虚部为(  ) A. B. C. D.2 【答案】D 【分析】设出复数，用设的复数表示共轭复数利用复数相等易得答案. 【详解】设，则， ， 所以，，所以，故，所以的虚部为2. 故选:D. 20.在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线y=x上，分别求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】(1)当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； (2)当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； (3)当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； (4)当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. (1)复数的实部为，虚部为， 由题意可得，解得或； (2)由题意可得，解得； (3)由题意可得，或； (4)由题意可得，解得． 1.(2025年山东省春季高考数学真题)已知复数为纯虚数，则实数的值是( ) A.2 B.1 C.0 D. 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】∵复数为纯虚数， ∴，解得，∴实数的值是1. 故选:B. 2.(2026年山东省春季高考数学真题)已知复数，则复平面内对应的点的坐标是( ) A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(1,2) 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念和复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，所以， 则复平面内对应的点的坐标是(-1,-2). 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $