4.2.2.1 二次函数 y=a(x-h)² 的图象与性质 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 y = a(x－h)² 的 图象与性质 湘教·九年级上册 探究新知 把二次函数 的图象 (Ⅰ) 向右平移 1 个单位， 得到图象 (Ⅱ)，如图 4.2-6 所示. 图象(Ⅱ)可以表示哪个函数的图象呢？ Ⅰ l Ⅱ l′ 图4.2-6 图象 (Ⅱ) 可以表示哪个函数的图象呢？ 在向右平移 1 个单位后 P Q Ⅰ Ⅱ l′ l 这表明：点 Q 在函数 的图象上． 由此得出，图象 (Ⅱ) 是函数 的图象. 记 s ＝ d + 1， 则 d＝s－1， 点 Q 的坐标为 图象 (Ⅱ) 可以表示哪个函数的图象呢？ P Q Ⅰ Ⅱ l′ l 由于平移保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变，因此平移不改变图形的形状和大小，从而将图象 (I) 向右平移 1 个单位长度后，其原像与像之间的关系如下表： 原 像 像 抛物线: 顶点是点O (0，0) 对称轴是直线 l (与 y 轴重合) 开口向上 顶点是 O′ (1，0) 对称轴是直线 l′ (过点 O′与 y 轴平行) 开口向上 函数 的图象是一条抛物线，它的开口_____， 顶点是 _______， 对称轴是过点 O′(1，0) 且平行于 y 轴的直线 l′．直线 l′ 是由横坐标为 1 的所有点组成的，我们把直线 l′ 记作___________． 向上 O′(1，0) 直线 x ＝ 1 由此得出 二次函数 y ＝ a(x－h ) 2 的图象是抛物线， 它的对称轴是直线 x ＝ h ， 它的顶点坐标是 (h，0) ． 当 a ＞ 0 时，抛物线的开口向上； 当 a ＜ 0 时，抛物线的开口向下． 类似地，可以证明下述结论： ① 画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分， ② 利用对称性， 再画出图象在对称轴左边的部分。 如何画 y ＝ a (x－h ) 2的图象？ 想一想 注意：在画图象右边部分时， 只需“列表、描点、连线” 三个步骤. 针对训练 1. 将抛物线 向右平移 2 个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为 ( ) D 2. 由抛物线 y = x2 平移得到抛物线 y = (x + 3)2，下列平移方式正确的是 ( ) A. 向上平移 3 个单位 B. 向下平移 3 个单位 C. 向左平移 3 个单位 D. 向右平移 3 个单位 C 二次函数 y = a(x－h)2 与 y = ax2 的图象间的关系。 抛物线 y = ax2 抛物线 y = a (x－h) 2 h > 0 时 向右平移 |h| 个单位长度 h < 0 时 向左平移 |h| 个单位长度 h > 0 时 向左平移 |h| 个单位长度 h < 0 时 向右平移 |h| 个单位长度 例3 画出函数 y ＝ (x － 2)2 的图象． 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 2 开始取值. x 2 3 4 ··· y = (x－2)2 0 1 4 ··· 解 抛物线 y = (x－2)2 的对称轴是 x = 2，顶点坐标是 (2，0). 描点和连线： ①画出图象在对称轴右边的部分． ②利用对称性， 画出图象在对称轴 左边的部分． y ＝( x－2 )2 图4.2 - 7 x 2 3 4 ··· y = (x－2)2 0 1 4 ··· 1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并根据图象回答下列问题： 针对训练 (1) 的图象开口向______，对称轴是____________，顶点坐标是____________. 上 直线 x =－1 (－1，0) (2) ，当 x_____时，y 随 x 的增大而减小；当 x_____时，y 有最____值，最____值是_____. > 1 = 1 大 大 0 2. 画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点以及随着 x 的增大，y 的变化情况： 图象开口向下； 对称轴为 x =－1； 顶点为 (－1，0)； 当x<－1时，y 随 x 的增大而增大； 当x>－1时，y 随 x 的增大而减小。 练习 1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (1) ； (2) y ＝ － 3( x ＋ 2 )2. (1) 对称轴 x = 5，顶点坐标 (5，0)，开口向上。 (2) 对称轴 x = －2，顶点坐标 (－2，0) ，开口向下。 【选自教材P144 练习 第1题】 2.分别画出二次函数 y ＝ －( x – 1 )2 ， 的图象. y ＝ -( x – 1 )2 【选自教材P144 练习 第2题】 3. 画出函数 y＝－4(x － 5)2 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大(小)值． 抛物线开口向下， 对称轴为直线 x＝5， 顶点坐标为(5，0)， 当x ＝ 5 时，y 有最大值 0． 课堂小结 抛物线 y = a(x－h)2(a>0) y = a(x－h)2(a<0) 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 (h，0) (h，0) 直线 x = h 直线 x = h 向上 向下 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而增大 在对称轴的左侧，y 随 x的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小 当 x = h 时，最小值为 0 当 x = h 时，最大值为 0 $