第三单元 用字母表示（二）「期中复习知识清单〈真题汇编讲练〉」导图知识卡片+知识梳理+5个考点讲练+实战演练 共40题-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册知识清单培优讲义

2026-2027学年北师大版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 第三单元 用字母表示（二）「期中复习知识清单〈真题汇编讲练〉」 （知识梳理卡片+知识清单+5个重难点考点讲练+实战演练 共40题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】用字母表示数量关系（2个未知数） 4 【重难点考点二】用字母表示规律 6 【重难点考点三】利用等式的性质求未知数 8 【重难点考点四】含有字母式子的化简与求值 10 【重难点考点五】数表中的规律 13 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 知识点一 代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 知识点二 关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 1. 定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二 含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】用字母表示数量关系（2个未知数） 【典型例题】（24-25六年级下·四川眉山·期末）陕西西安是闻名世界的历史名城，张老师今年暑假准备去西安旅游，费用支出预计如下表。 单程动车票（元/张） 住宿费（元/天） 伙食费（元/天） 其他开支（元） 296 a b 500 (1)张老师计划在西安住宿3天，伙食费按5天计算，用含有字母的式子表示他这次西安之行往返所需费用( )。 (2)如果住宿费预计180~280元/天，伙食费80~120元/天，按最低的费用，张老师本次西安之行预计2200元，够吗？( )。（填“够”或“不够”） 【答案】(1)（3a＋5b＋1092）元 (2)够 【思路引导】（1）每天住宿费×住宿天数＋每天伙食费×天数＋每张单程动车票钱数×2＋其他开支＝总费用； （2）当a＝180，b＝80，代入字母表示的算式求值，比较即可。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】（1）a×3＋b×5＋296×2＋500 ＝3a＋5b＋592＋500 ＝（3a＋5b＋1092）元 （2）当a＝180，b＝80时。 3a＋5b＋1092 ＝3×180＋5×80＋1092 ＝540＋400＋1092 ＝2032（元） 2032＜2200，因此张老师本次西安之行预计2200元，够。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·甘肃庆阳·期末）如果均大于0），那么。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先把等式里的除法转化为乘法，再推导A和B的倍数关系，比较A、B的大小，据此进行判断。 【规范解答】 原等式变为：， 等式两边同时乘5：， 因为A、B均大于0，A是B的30倍，所以； 原题说法正确。 故答案为：√ 【举一反三练习2】（24-25六年级下·甘肃陇南·期末）小明买了6斤苹果，每斤元，原有元，小明还剩（    ）元。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】先算出买苹果的总花费（6×a），再用原有钱数减去花掉的钱数，就能得到剩余的钱数。 【规范解答】买苹果的总花费： 剩余钱数： 【举一反三练习3】（24-25六年级下·浙江金华·期末）在数线图上有两个数和，观察图，计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据图可知，a和b在0和1之间，且a＜b，根据赋值法，设a＝0.2，b＝0.8，分别求出各个选项的结果，再进行比较。 【规范解答】设a＝0.2，b＝0.8； A．1÷0.2＝5 B．1÷0.8＝1.25 C．0.2÷0.8＝0.25 D．0.8÷0.2＝4 5＞4＞1.25＞0.25，结果最大的是1÷a。 【重难点考点二】用字母表示规律 【典型例题】（25-26六年级上·福建南平·期中）把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，每个圆的直径都为3厘米。（π取3.14） (1)上图的第①组需要( )厘米长的绳子； (2)像这样继续捆下去，第④组至少需要( )厘米长的绳子； (3)按照这样的方法继续捆下去，捆第n组至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】(1)21.42 (2)57.42 (3)9.42＋12n 【思路引导】绳子长度＝四个角圆弧总长（合起来正好1个整圆周长）＋外侧直线段总长，而外侧直线段与圆的直径有关，圆的周长公式为C＝πd。通过观察可以发现：第1组绳子的长度等于一个圆的周长加4条直径的长度，第2组绳子的长度等于一个圆的周长加（2×4）条直径的长度，第3组绳子的长度等于一个圆的周长加（3×4）条直径的长度，第4组绳子的长度等于一个圆的周长加（4×4）条直径的长度，第n组绳子的长度等于一个圆的周长加（n×4）条直径的长度，据此作答。 【规范解答】（1）3.14×3＋4×3 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 因此上图的第①组需要21.42厘米长的绳子。 （2）3.14×3＋4×4×3 ＝9.42＋16×3 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） 因此第④组至少需要57.42厘米长的绳子。 （3）3.14×3＋n×4×3 ＝9.42＋4n×3 ＝（9.42＋12n）厘米 因此捆第n组至少需要（9.42＋12n）厘米长的绳子。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）妍妍发现许多中式建筑的窗格图案都是有规律的（如下图所示）。图1中有5个◇，图2中有8个◇，图3中有( )个◇，那么图n中有( )个◇。 【答案】 11 3n＋2 【思路引导】观察图形：图1：5＝3×1＋2；图2：8＝3×2＋2；图3：11＝3×3＋2……规律：每往后一幅图，菱形数量增加3个，图n中有：3×n＋2。 【规范解答】图3： 3×3＋2 ＝9＋2 ＝11（个） 图n中有：3×n＋2＝3n＋2（或2＋3n） 【举一反三练习2】（23-24六年级上·江西南昌·期中）如图，下列各图形中三个数之间均有相同的规律，根据此规律，图形中与、的关系是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察前三个图形可知，每个图形中上面的数乘左下角的数再加上上面的数得右下角的数，据此规律解答。 【规范解答】 所以 【举一反三练习3】（24-25六年级下·广东中山·期末）用小棒照下图的规律摆图形，摆第3个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒。 【答案】 16 5n＋1 【思路引导】观察小棒摆出的图形，先分别数出前3组图形的小棒数，两个六边形共用1根小棒，判断摆第个图形的规律， 【规范解答】第一个图形是六边形，有6根小棒，5＋1＝6（根），可以写成5×1＋1＝6（根） 第二个图形有： 5＋5＋1 ＝10＋1 ＝11（根） 可以写成5×2＋1＝11（根） 第三个图形： 5＋5＋5＋1 ＝10＋5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 可以写成5×3＋1＝16（根） 发现每增加1个六边形，就增加5根小棒，第n个图形的小棒数为：5n＋1。 【重难点考点三】利用等式的性质求未知数 【典型例题】（24-25六年级下·河北保定·期末）下面是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么( )，( )，( )。 【答案】 4 5 10 【思路引导】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2－2－2”结构，折叠成正方体后，“8”面对“2a”面；“10”面对“c”面；“15”面对“3b”面，据此求出a、b、c的值。 【规范解答】根据分析可知，“8”面对“2a”面；“10”面对“c”面；“15”面对“3b”面。 2a＝8 a＝8÷2 a＝4 3b＝15 b＝15÷3 b＝5 c＝10 【举一反三练习1】（24-25六年级下·浙江湖州·期末）已知，则( )，( )。 【答案】 8 12 【思路引导】由推理可得：。设，，代入，求出未知数，表示出和即可。 【规范解答】由， 可得， 即， 设，， 可得：， 解： ， ， 。 【举一反三练习2】（25-26六年级下·贵州黔东南·期末）已知○＋○＝□＋□＋□，□＋○＝△＋△＋△＋△，若○＝12，□＝( )，△＝( )。 【答案】 8 5 【思路引导】已知○的具体数值，首先将○代入第一个等式“○＋○＝□＋□＋□”，计算出□的值；然后将求得的□和已知的○代入第二个等式“□＋○＝△＋△＋△＋△”，计算出△的值。 【规范解答】12＋12＝□＋□＋□ 24＝3□ 3□＝24 □＝24÷3 □＝8 8＋12＝△＋△＋△＋△ 20＝4△ 4△＝20 △＝20÷4 △＝5 【举一反三练习3】（25-26六年级下·甘肃天水·期末）、各代表一个数，如果＋＝20，＋＋＝，那么＝15。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先根据“3个△相加等于□”，把□用△的倍数表示，再代入“□＋△＝20”这个等式，把式子转化为只含有△的方程，先求出△代表的数，再计算出□代表的数，最后判断题目说法是否正确。 【规范解答】已知□＋△＝20， △＋△＋△＝□，即□＝3△ 把□＝3△代入□＋△＝20： 3△＋△＝20 4△＝20 △＝20÷4＝5 再把△＝5代入□＝3△： □＝3×5＝15 所以题目中“□＝15”的说法是正确的。 故答案为：√ 【重难点考点四】含有字母式子的化简与求值 【典型例题】（26-27五年级上·山东·周测）芳芳和姐姐一起折千纸鹤，芳芳每小时折13只千纸鹤，姐姐每小时折x只纸鹤，芳芳和姐姐2个小时能折( )只千纸鹤。 【答案】 【思路引导】用字母表示数，分别表示出芳芳和姐姐两小时折的数量，然后将数量相加即可。 【规范解答】芳芳2小时折的数量： 姐姐2小时折的数量： 两人共 【举一反三练习1】（25-26六年级上·福建龙岩·期中）如果x和y互为倒数，那么“”的计算结果是( )。 【答案】 / 【思路引导】如果两个数的乘积为，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数。根据题意可知。将这个结果代入算式计算即可。 【规范解答】 【举一反三练习2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 m－0.5n 1 2 大纸盒 3m－n 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m＝3，n＝2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（a＞10），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 【答案】(1)（36m－13n＋16）平方厘米 (2)98平方厘米 (3)（0.5a＋14）元；（0.4a＋15.2）元；12 【思路引导】（1）长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目要求计算一个大纸盒和一个小纸盒的总用料，即求这两个长方体的表面积之和。 （2）将给定的m和n的值代入第一问求出的代数式中进行计算即可。 （3）需要分别根据 A、B 两家商店的优惠规则计算总费用。 A 商店：买10个大纸盒会赠送10个小纸盒。因为总共需要a个小纸盒且 a＞10，所以还需要额外购买（a－10）个小纸盒。 B商店：所有纸盒（10个大纸盒和a个小纸盒）的总价打八折（即乘0.8）。 最后令两家商店的费用相等，即可求出a的值。 【规范解答】（1）做一个小纸盒用料： 做一个大纸盒用料： 答：制作一大一小两个纸盒共用料（36m－13n＋16）平方厘米。 （2）当m＝3，n＝2时 答：制作一大一小两个纸盒共用料98平方厘米。 （3）由题意得，A商店应付款： B商店应付款： 当时，到两家商店购买付款一样多 解： 答：到A商店付款，到B商店付款，当a为12时，到两家商店购买付款一样多。 【举一反三练习3】（24-25六年级下·江苏盐城·期中）将小棒按如下图方式摆图形。 (1)第5个图形需要( )根小棒。 (2)第n个图形需要( )根小棒。 【答案】(1)21 (2)4n＋1 【思路引导】观察图形可知，摆第一个图形需要5根小棒，第二个需要9根小棒，以后每多一个五边形，就多用4根小棒； 根据图形发现，第1个图形需要5根小棒，可以写成：4×1＋1； 第2个图形需要9根小棒，可以写成：4×2＋1； 第3个图形需要13根小棒，可以写成：4×3＋1；据此解答。 【规范解答】（1）4×5＋1 ＝20＋1 ＝21 第5个图形需要21根小棒。 （2）当第n个图形需要的小棒可写成：（4n＋1）根。 【重难点考点五】数表中的规律 【典型例题】根据百数表，填一填。 【答案】 ； 【思路引导】这道题用的是百数表的规律：横着看（同一行）：从左往右，数依次加1（右边的数比左边大1）；竖着看（同一列）：下面的数比上面的数大10。 【规范解答】左边的表格：先看43右边的格子：同一行，右边比左边大1，43＋1＝44，所以43的右边填44。再看54左边的格子：同一行，左边比右边小1，54－1＝53，所以54的左边填53。 表略。 右边的表格：先看57上面的格子：同一列，上面比下面小10，57－10＝47，所以57的上面填47。 再看57左边的格子：同一行，左边比右边小1，57－1＝56，所以57的左边填56。 最后看57下面的格子：同一列，下面比上面大10，57＋10＝67，所以57的下边填67。 表略。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·山西晋城·期末）下面是一个整数表。认真观察正方形框内正中间的数与其他8个数的关系。 (1)正方形框内正中间的数比左边的数大( )，比正上方的数大( )。 (2)如果正方形框内正中间的数是m，右边的数是( )，正下方的数是( )，左下方的数是( )。 (3)如果正方形框内正中间的数是m，那么正方形框内9个数的和为( )。 【答案】(1) 1 9 (2) m＋1 m＋9 m＋8 (3)9m 【思路引导】（1）观察正方形方框，选中间数21做例子。左边是同一行紧邻的数字，上下两行相差9个数，所以正上方数字和中间数相差9，直接做减法求出差值。 （2）同一行，右边数字比中间数多1；数表里每行有9个数，正下方一行的数字比上一行同位置大9；左下方就是正下方数字往左边减1。中间数用字母m表示，写出对应式子。 （3）把方框里全部9个数都用中间数m表示出来，全部相加，正负抵消，算出9个数总和。 【规范解答】（1）方框正中间数是21，左边的数是20。 21－20＝1，所以比左边的数大1。 正上方的数是12。 21－12＝9，所以比正上方的数大9。 （2）右边的数：同一行往右加1，是m＋1； 正下方的数：往下一行，加9，是m＋9； 左下方的数：正下方数字再往左减1，（m＋9）－1＝ m＋9－1＝m＋8 （3）9个数分别是： 第一行：m－10、m－9、m－8 第二行：m－1、m、m＋1 第三行：m＋8、m＋9、m＋10 （m－10）＋（m－9）＋（m－8）＋（m－1）＋m＋（m＋1）＋（m＋8）＋（m＋9）＋（m＋10） ＝m－10＋m－9＋m－8＋m－1＋m＋m＋1＋m＋8＋m＋9＋m＋10 ＝9m 【举一反三练习2】（24-25六年级下·河南商丘·期末）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（    ）。 A．48 B．74 C．52 D．66 【答案】B 【思路引导】根据前三个正方形中数字排列的规律：左下比左上数字大2，右上比左上数字大4，且左下数字×右上数字－左上数字＝右下数字，据此规律解答即可。 【规范解答】第一个正方形中：左下，右上，右下； 第二个正方形中：左下，右上，右下； 第三个正方形中：左下，右上，右下； 综上可知，规律是：左下比左上数字大2，右上比左上数字大4，且左下数字×右上数字－左上数字＝右下数字； 第四个正方形中：左下，右上，右下即 。 【举一反三练习3】（25-26六年级下·浙江台州·期末）如下图，某次框出的4个数的图形是，用式子表示m左边的数是( )；当m＝32时，m下面的数是( )。 【答案】 m－1 39 【思路引导】先观察数表的排列规律：每行有7个数，同一行中相邻的数，右边的数比左边大1；上下相邻的数，下一行的数比上一行同列的数大7。根据这个规律，m左边的数比m小1即（m－1），m下面的数比m大7即（m＋7），再代入m＝32计算即可。据此解答。 【规范解答】当m＝32时，m＋7＝ 用式子表示m左边的数为（m－1）；当m＝32时，m下面的数是39。 模块四 优选真题 实战演练 1．（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）如果m，下面式子计算结果最大的是（    ）。 A．m× B．m÷ C．m－ D．m＋ 【答案】B 【思路引导】先排除结果小于m的选项，再用求差值的方法比较剩余选项的大小。 【规范解答】排除小于m的选项：A选项：，一个非0数乘小于1的数，结果小于原数，故。C选项：一个数减去正数，结果小于原数，故，排除A、C。 比较B、D选项：B选项转化为乘法：；D选项为。两式作差：，当m＝2时，，是假分数，是真分数，，B，当时，m越大差值越大，所以B的结果最大。 2．（25-26六年级下·湖北襄阳·期末）观察下图，每一个黑色圆周围都有6个白色圆，照这样的规律继续画下去，当画第个黑色圆时，一共画了（    ）个白色圆。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】当n＝1（1个黑圆）：白色圆＝6个 当n＝2（2个黑圆）：两个黑圆相邻，中间共用2个白圆，总数＝6＋4＝10个 当n＝3（3个黑圆）：再加4个白圆，总数＝6＋4＋4＝14个 每增加1个黑圆，只增加4个白色圆； 首项n＝1时为6，可拆分：6＝4×1＋2 n＝2：4×2＋2＝10 n＝3：4×3＋2＝14 因此通用式子：4n＋2。 【规范解答】A．6n：n＝2时得12，实际只有10，错误； B．6n－2：n＝1得4，实际6个，错误； C．4n＋2：符合题意，正确。 D．4n－2：n＝1得2，实际6个，错误。 3．（25-26五年级上·河北邢台·阶段检测）一盒记号笔有m支，一盒水笔有n支，已知m＋4＝n，那么下列等式成立的是（    ）。 A．m＝n＋4 B．m－4＝n－4 C．2m＝2n－4 D．m＋4－4＝n－4 【答案】D 【思路引导】根据等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个数（0除外）等式仍然成立。据此判断即可。 【规范解答】A.从能推出的是，不是，错误。 B.如果，说明m和n相等，但原式里n比m大4，错误。 C.给原式两边同时乘2，应该得到，也就是，不是减4，错误。 D.已知，等式两边同时减4，可得：，D选项正确。 4．（25-26六年级上·河南南阳·期中）如图，按照前面四幅图的规律，第五幅图中的正方形里共有( )个圆，第七幅图中的正方形里共有( )个圆。 【答案】 【思路引导】先统计前四幅图各自的圆的数量，确定每幅图的序号和对应圆数量的关系。 分析序号与每行圆个数、每列圆个数的对应关系，因为每幅图的圆是按行列整齐排列的，所以总个数为每行个数乘每列个数。 【规范解答】根据图形可知： 第一幅图，正方形里共有个圆； 第二幅图，正方形里共有个圆； 第三幅图，正方形里共有个圆； 第四幅图，正方形里共有个圆； 第五幅图，正方形里共有个圆，…… 第七幅图，正方形里共有个圆 第五幅图中的正方形里共有个圆，第七幅图中的正方形里共有个圆。 5．（25-26五年级上·新疆喀什·阶段检测）练习本的单价是b元，小红买了4本，又买了3支钢笔，用了a元，小红一共付了( )元。 【答案】4b＋a 【思路引导】分析思路：根据总价＝单价×数量，先求出买4本练习本需要4b元，买钢笔付了a元，把两部分钱相加，就是一共付的钱。 【规范解答】4×b＋a＝（4b＋a）元 6．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）一辆汽车每小时行驶a千米，上午行驶5小时，下午行驶b千米，这辆汽车一天行驶了( )千米。 【答案】5a＋b 【思路引导】路程＝速度×时间，用速度乘上午行驶的时间得到上午行驶的路程，再加上下午行驶的路程，即可表示出一天行驶的路程。 【规范解答】a×5＋b＝（5a＋b）千米 因此这辆汽车一天行驶了（5a＋b）千米。 7．（25-26六年级下·河北唐山·期末）如图，强强用小棒搭“房子”，照这样搭下去，搭5间房子要用( )根小棒；搭( )间房子要用301根小棒。 【答案】 26 60 【思路引导】观察图形可知： 搭1间房子要用6根小棒，6＝5×1＋1； 搭2间房子要用11根小棒，11＝5×2＋1； 搭3间房子要用16根小棒，16＝5×3＋1； …… 规律：搭n间房子要用（5n＋1）根小棒； 据此规律解答。 【规范解答】规律：搭n间房子要用（5n＋1）根小棒。 当n＝5时 5n＋1 ＝5×5＋1 ＝25＋1 ＝26（根） 5n＋1＝301 解：5n＋1－1＝301－1 5n＝300 5n÷5＝300÷5 n＝60 8．（25-26六年级上·广东江门·期中）如下图，图中的数字是按一定规律排列下去的，按照规律，第100行左起第三个数是______。 【答案】4950 【思路引导】每行首尾数字都是1； 第n行左起第3个数，等于的和； 求第100行左起第3个数，需计算的和。 第n行左起第3个数 【规范解答】 【考点剖析】这道题的核心是抓“第n行左起第3个数”的求和规律，推出对应的通项公式，代入即可快速得出结果。 9．（26-27五年级上·山东·周测）小明家有大米x千克，每天吃2千克，已经吃了b天。 (1)用含有字母的式子表示剩余的大米的千克数。 (2)如果小明家原有大米20千克，已经吃了7天，用上面的式子求出剩余的大米的千克数。 【答案】(1)（x－2b）千克 (2)6千克 【思路引导】（1）根据题意，用每天吃的千克数乘吃的天数，就是吃了多少千克。再用小明家有大米的千克数减去吃了的千克数，就是还剩的千克数。 （2）把x＝20，b＝7，代入上面的式子算出结果即可。 【规范解答】（1）x－2×b＝x－2b 答：剩余的大米的千克数是（x－2b）千克。 （2）当x＝20，b＝7时，x－2b＝20－2×7＝20－14＝6（千克） 答：剩余的大米有6千克。 10．（24-25六年级上·山东青岛·期中）根据分数乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题。 ① ② ③ …… (1)请写出第4个等式，并画出相应的图形。 ④______________ (2)请写出第n个等式：______________。 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查分数乘法的规律探究，通过观察已知等式的结构，总结出数字之间的变化规律，进而推导第4个等式和第n个等式。 【规范解答】（1）观察已知等式： 第①个：，其中整数是1，分数的分子是1，分母是； 第②个：，其中整数是2，分数的分子是2，分母是； 第③个：，其中整数是3，分数的分子是3，分母是； 由此可推出，第4个等式中，整数是4，分数的分子是4，分母是，即。 答：第4个等式是。 图形规律：第1个图形阴影部分表示，第2个图形阴影部分可以理解为2个的累加，第3个图形阴影部分可以理解为3个的累加，因此第4个图形阴影部分可以理解为4个的累加。 答：第4个等式是④。 画图略。 （2）根据前面的规律，整数是n，分数的分子是n，分母是，因此第n个等式为： 答：第n个等式是。 11．（24-25六年级上·河南新乡·期中）填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 【答案】；；； （1）发现见详解 （2） 【思路引导】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。 【规范解答】     （1）发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相加的和等于最后一个分数乘7。用字母表示规律是：，其中n为非零自然数。 （2） 12．（24-25六年级上·山东济宁·期中）规定一种新运算：a☆b＝ab－a－b2，例如3☆（﹣4）＝3×（﹣4）－3－（﹣4）2＝﹣12－3－16＝﹣31，请计算下列各式的值： （1）2☆5； （2）（﹣2）☆（﹣5）。 【答案】（1）﹣17 （2）﹣13 【思路引导】（1）计算2☆5，根据新运算a☆b＝ab－a－b2，这里a＝2，b＝5，将其代入可得：2☆5＝2×5－2－52，然后依次计算即可。 （2）计算（﹣2）☆（﹣5），根据新运算a☆b＝ab－a－b2，这里a＝﹣2，b＝﹣5，将其代入计算即可。 【规范解答】（1）把a＝2，b＝5，代入a☆b＝ab－a－b2计算： 2☆5 ＝2×5－2－52 ＝2×5－2－25 ＝10－2－25 ＝8－25 ＝﹣17 答：2☆5＝﹣17。 （2）把a＝﹣2，b＝﹣5，代入a☆b＝ab－a－b2计算： （﹣2）☆（﹣5） ＝（﹣2）×（﹣5）－（﹣2）－（﹣5）2 ＝（﹣2）×（﹣5）－（﹣2）－25 ＝10＋2－25 ＝12－25 ＝﹣13 答：（﹣2）☆（﹣5）＝﹣13。 13．（23-24六年级上·江西南昌·期中）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 【答案】77个；第50个图形 【思路引导】观察图形可知，第①个图形有4×1－3＝4－3＝1个三角形，第②个图形有4×2－3＝8－3＝5个小三角形，第③个图形有4×3－3＝12－3＝9个小三角形，……，则第n个图形有4×n－3＝4n－3个三角形，据此规律进行解答即可。 【规范解答】第n个图形有三角形：4×n－3＝4n－3（个） 当n＝20时，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77 当4n－3＝197，则： 4n－3＋3＝197＋3 4n＝200 4n÷4＝200÷4 n＝50 答：第20个图形有77个三角形，第50个图形里有197个三角形。 14．（24-25六年级下·河北保定·期末）发现、实践、探索规律。 (1)我发现：第1个图形有1个黑色圆点，有8个白色圆点； 第2个图形有4个黑色圆点，有12个白色圆点； 第3个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点； (2)我来画：请按发现的规律画出第4个图形。第4个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点， (3)我探索：按此规律继续画下去，第n个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点。（用含有n的式子表示） (4)我应用：第10个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点。 【答案】(1) 9 16 (2) 16 20 (3) (4) 100 【思路引导】观察并且数一数：第个图形黑色圆点，第个图形黑色圆点，因此第个图形黑色圆点为。规律为第几个图形，黑色圆点就是几的平方。观察白色圆点：第个图形白色圆点，第个图形白色圆点，因此第个图形白色圆点为。规律为第个图形，白色圆点就是个。据此解答各题。 【规范解答】（1）略 （2）（个） （个） （3）第个图形有个黑色圆点，有个白色圆点。 （4）（个） （个） 15．（25-26六年级下·河南鹤壁·期末）下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 【答案】(1)17 (2)3n＋2； 规律：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 【思路引导】（1）观察可知，第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，可见每增加一个图形，“○”的数量就增加3个，因此用第3个图“○”的数量连续加2个3，即可求出第5个图中“○”的数量。 （2）根据（1）中分析，将每个图形的数量写成3×n＋2的形式，总结出第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并写出规律。 【规范解答】（1）第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，依次多3个“○”，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为： 11＋3＋3＝17（个） （2）第1个图有5个“○”，5＝3×1＋2； 第2个图有8个“○”，8＝3×2＋2； 第3个图有11个“○”，11＝3×3＋2； …… 第n个图中“○”的个数为3×n＋2，即（3n＋2）个。 规律为：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 16．（24-25六年级下·河南郑州·期末）同学们先从1开始报数，然后依次按如下的规则排成五列： ①    ②    ③    ④    ⑤ 1    2    3    4    5 6    7    8    9    10 11    12    13    14    15 …… (1)报77的应站在第几行第几列？（写出算式） (2)站在第12行第4列的那位同学报的是几？（写出算式）（小提示：第12行站了多少人？） 【答案】(1)； ； 第16行第2列 (2)；59 【思路引导】观察数表可知，数字从1开始依次排列，每行有5个数，这是一个周期问题。 第（1）题，求77的位置，用77除以每行的个数5，商表示完整的行数，余数表示在第几列，当余数为0时实际行数等于商且列数为5；当余数非零时实际行数为商加1。 第（2）题，求第12行第4列的数，先计算前11行的总数，再加上第12行的4个数。 【规范解答】（1） 答：报77的应站在第16行第2列。 （2） 答：站在第12行第4列的那位同学报的是59。 17．（25-26六年级上·山东济南·期末）中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】(1) 18 48 (2)75幅 【思路引导】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【规范解答】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 18．（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。” (1)请用数学的眼光观察数与形，在方框里接着画一画，填一填（如图）。 (2)如果不画，这样排列下去，第10个数是( )。 【答案】(1) (2)37 【思路引导】解答这道题的关键是通过前四个图的点数，总结出点数变化的规律，并确定相对应的数值。 （1）第1个图有1个点，数值为1；第二个图有个点，数值为5；第三个图有个点，数值为9；第四个图有个点，数值为13，则第五个图有个点，据此求出数值并画图即可。 （2）根据（1）中的分析，每一个图的点都比前一个图多4个，点数和下面的数值是相等的，且增加的4的个数比图形的序号少1。则第n个图的点数为：。求第10个数是多少，将10代入公式解答即可。 【规范解答】（1） 所以，第五个图的数值为17。 图略。 （2） 所以，这样排列下去，第10个数是37。 19．（25-26六年级上·江西鹰潭·期末）计算的值，并在下面的正方形中画图表示。 【答案】； 【思路引导】把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，其中的1份就表示，用算式表示为1－；再把看作单位“1”， 把它平均分成2份，其中的1份就表示的，也就是，用算式表示为－；再把看作单位“1”，把它平均分成2份，其中的1份就表示，用算式表示为－；再把看作单位“1”，把它平均分成2份，其中的1份就表示，用算式表示为－； 计算时把原式化为1－＋－＋－＋－，通过消项进行简算。 【规范解答】图略 ＝1－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ 20．（25-26六年级上·北京房山·期末）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处及圆柱管壁厚度忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示： (1)观察并思考图中绳子长度与圆柱管根数之间的关系，完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） 31.4 (2)按照这样的方法，捆10根圆柱管需要的绳子长度是多少厘米？ (3)按照这样的方法，所需绳子长度（l）与圆柱管的根数（n）之间有什么关系？ (4)结合上面的研究，请你再提出一个感兴趣的问题。 【答案】(1)51.4；71.4； (2)211.4厘米； (3)； (4)按照这样的方法，捆100根圆柱管需要的绳子长度是多少厘米。（答案不唯一） 【思路引导】捆1根圆柱管，需要绳子的长度是这个圆柱管的周长； 捆2根圆柱管，跟第一个图进行对比，结合下图可知：捆2根圆柱管需要的绳子长度比捆1根圆柱管的绳子多两条直径长；捆2根圆柱管绳子的长度＝1根圆柱管的周长＋2条直径的长度； 捆3根圆柱管，跟前一个图进行对比，结合下图可知：捆3根圆柱管需要的绳子长度比捆2根圆柱管的绳子又多两条直径长；捆3根圆柱管绳子的长度＝1根圆柱管的周长＋（2×2）条直径的长度； 分析可知：也就是从一个圆柱管开始，以后每增加一个圆柱管，绳子的长度就增加2个直径长，捆n根圆柱管需要绳子的长度＝一个圆柱管的周长＋2（n－1）个直径； 每根圆柱管的直径都是10厘米，结合圆的周长公式：，代入数据计算。 （1）2根圆柱管时，绳子长度为31.4＋2×10； 3根圆柱管时，绳子长度为31.4＋2×10＋2×10； （2）捆10根圆柱管与捆1根圆柱管相比，需增加18个直径，绳子长度为31.4＋18×10； （3）绳子长度（l）＝31.4＋2（n－1）×直径长（10），将代数式化简； （4）结合上面的研究结论，提出一个相关问题即可，如：捆100根圆柱管需要的绳子长度是多少厘米。 【规范解答】（1）3.14×10＝31.4（厘米） 31.4＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 31.4＋2×10＋2×10 ＝31.4＋20＋20 ＝51.4＋20 ＝71.4（厘米） 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） 31.4 51.4 71.4 （2）2×（10－1） ＝2×9 ＝18（厘米） 捆10根圆柱管与捆1根圆柱管相比，需增加18个直径。 31.4＋18×10 ＝31.4＋180 ＝211.4（厘米） （3）若有n根圆柱管，则 31.4＋2×（n－1）×直径长 ＝31.4＋2×（n－1）×10 ＝31.4＋20（n－1） ＝31.4＋20n－20 ＝31.4－20＋20n ＝11.4＋20n 所以所需绳子长度（l）与圆柱管的根数（n）之间关系为：。 （4）捆100根圆柱管需要的绳子长度是多少厘米。（答案不唯一） 【考点剖析】关键在于：从第一个图形开始，每增加一个圆柱管，绳子的长度就增加2个直径长。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 第三单元用字母表示（二）「期中复习知识清单（真题汇编讲练〉」 (知识梳理卡片+知识清单+5个重难点考点讲练+实战演练共40题●yⅵ版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】用字母表示数量关系(2个未知数) 【重难点考点二】用字母表示规律.. 【重难点考点三】利用等式的性质求未知数 【重难点考点四】含有字母式子的化简与求值 【重难点考点五】数表中的规律..... …7 模块一 知识梳理导图指引 斜1.用字母表示数量关系 ☆练一练 2.探索规律 1.用字母表示散 表示数 中表音宋个5 1,三角形推小棒 探究方法： △△△ 动手摆一摆 通以限清字母表不数量关系和运算定律， 人A人八人△套中得2分 数一教 之.用字母表示数量关系 △△1人A中5分 三角形个数n12345购 →找规律 小棒根数根357911… 总分=2a+5b 一用字母表示 小棒根数=2n+1 总人数=6b+4a 2.王叔权卖早餐：包子一届8元 小米据一碗2元， 2.桌子与人数的关系 营业额：8a+2a=10a(元) 5 大船：6人 如：总人数 6×大船条数+4小相条 第三单元 =6a+4b 用字母表示（二） 知识清单 人数=2n+2 小船：4人 甲车每小时行驶a千米。 想一想 乙车每小时行驶b千米， 口，b位置互绕，式子是香或变？ 城 3.日历中的数量关系 改查！6b+4a≠6a+4b 40+(a+b)(小) 2023年10月 赏4.探索规律（几何与整数） 仪5.解决问题的策略 89101121314 2用字母表示 15161718192021 1.美术作品：作品数量与磁扣数量的关系 3.立体图形：小正方体个数与写在外面的面 眉①画图：用图形帮助理解数量关系 上垂的数是a。制 22232425262728 醉阀离 293031 国②列表：用表格寻找规律。 aa+1 第1个第2个第3个 a+7a+8 习③猜想：根据已有数据进行猜测。 8日 小正方体个数/个123 ②④验证：用更多数据或实制检验精想 3扇溪运用： 关系：作品数=磁知数(1个作品需1个磁扣) 露在外面的面1个610144+2 Q,b,n…用字母表示发现的规律 ()已知一个数，写出相银。同行、同列的数. (2)根据规律解决实际阿题 2.摆小棒（小房子) 规律：露在外面的面数=4n+2 1个小房子用5根小棒】 4.点阵图形：图形个数与点的个数 每增加1个小房子用4根小棒。 。解题技巧 A易错点拨 合合合品 第2个 ①先选懂题意，找出已知量和去知量 ①忽略字母的意义，随意代入数值， ©找出数量之间 关系 列出等式 ②写错等式关系，混涌加减桑。 日用宇母表示数量关系或运算规律 ③字母位置互换导致结果改变（如6b+4a≠6a+4b】 ④代入具体数据验证，确保正确。 ④找规律时，样本数量太少导玫错误结论。 小棒根数=4n+1 规律：点的个数=n(n+1)÷2 Θ结合图形、表格帮助理解和计算. ⑤未验证规律，得出错误答案。 ☆用宇母表示，让数学更简洁！发现规律，让思考更有趣！ 第1页共13页 模块二 知识清单温故知新 知识点一代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“”表示或省略不写，例如：AXB可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：BXB可写成B,BXBXB可写成B。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5.关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a写作3，不要写成5÷a。 6.关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加 减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了(5+a)本。 知识点二关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 第2页共13页 知识点六用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方 法求解。 知识点七五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八五种新型题型其二：定义新运算 1.定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2.解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入 算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3.注意事项 (1)定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：米、▲、。、©等，它们并不表示实际意义。 (2)在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号 里的，再算中括号里的。 知识点九五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过 计算就可以求出含有字母的式子的值。 模块三 重难点讲练能力提升 第3页共13页 【重难点考点一】用字母表示数量关系(2个未知数) 【典型例题】(24-25六年级下·四川眉山·期末)陕西西安是闻名世界的历史名城，张老师今年暑假准备 去西安旅游，费用支出预计如下表。 单程动车票（元/张) 住宿费（元/天） 伙食费（元/天） 其他开支（元） 296 a b 500 (1)张老师计划在西安住宿3天，伙食费按5天计算，用含有字母的式子表示他这次西安之行往返所需费用 ( )。 (2)如果住宿费预计180280元/天，伙食费80~120元/天，按最低的费用，张老师本次西安之行预计2200 元，够吗？( )。(填“够”或“不够”) 【举一反三练习1】(24-25六年级下·甘肃庆阳·期末)如果A×号=B÷4、B均大于0)，那么A>B。 ( ）(判断对错) 【举一反三练习2】(24-25六年级下·甘肃陇南·期末)小明买了6斤苹果，每斤a元，原有b元，小明还 剩( )元。 A.6a+b B.6a-b C.b-6a 【举一反三练习3】(24-25六年级下·浙江金华·期末)在数线图上有两个数a和b,观察图，计算结果最 大的是( )。 0 a b 1 A.1÷a B.1÷b C.a÷b D.b÷a 【重难点考点二】用字母表示规律 【典型例题】(25-26六年级上·福建南平·期中)把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方 向看)的形状，每个圆的直径都为3厘米。（π取3.14） 第①组 第②组 第③组 (1)上图的第①组需要( )厘米长的绳子； (2)像这样继续捆下去，第④组至少需要( )厘米长的绳子； 第4页共13页 (3)按照这样的方法继续捆下去，捆第n组至少需要( )厘米长的绳子。 【举一反三练习1】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)妍妍发现许多中式建筑的窗格图案都是有规律的 (如下图所示)。图1中有5个◇，图2中有8个◇，图3中有( )个◇，那么图n中有( 个◇。 o ◇ 图1： 图2： 图3： … ◇◇ ◇ 【举一反三练习2】(23-24六年级上·江西南昌·期中)如图，下列各图形中三个数之间均有相同的规律， 根据此规律，图形中m与a、b的关系是( m A.m=ab B.m=a(b+1) C.m=ab+1 D.m=b(a+1) 【举一反三练习3】(24-25六年级下·广东中山·期末)用小棒照下图的规律摆图形，摆第3个图形需要 )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。 【重难点考点三】利用等式的性质求未知数 【典型例题】(24-25六年级下·河北保定·期末)下面是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的面 上标注的数值相等，那么a=( ),b=( ),c=( )。 83b 102a 15c 【举一反三练习1】(24-25六年级下·浙江湖州·期末)已知口+口+★+★+★=52，☐+口+口= ★+★，则口=( ),★=()。 【举一反三练习2】(25-26六年级下·贵州黔东南·期末)已知O+O=口+口+口，口十O=△十△十 △十△，若0=12，口=( ),△=( ）。 第5页共13页 【举一反三练习3】(25-26六年级下·甘肃天水·期末) 各代表个数，如果☐+。 20, △△+△□. 那么 =15。( )(判断对错) 【重难点考点四】含有字母式子的化简与求值 【典型例题】(26-27五年级上·山东·周测)芳芳和姐姐一起折千纸鹤，芳芳每小时折13只千纸鹤，姐 姐每小时折x只纸鹤，芳芳和姐姐2个小时能折( )只千纸鹤。 【举一反三练习1】(25-26六年级上·福建龙岩·期中)如果x和y互为倒数，那么“2y÷”的计算结 果是( )。 【举一反三练习2】(23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下： (单位：cm,接头处忽略不计) 长 宽 高 小纸盒 m-0.5n 1 2 大纸盒 3m-n 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m=3,n=2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个(a>10),现从A,B两家商店了解到；两家商店的纸盒价 格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒， B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含的式子表 示)？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 第6页共13页 【举一反三练习3】(24-25六年级下·江苏盐城·期中)将小棒按如下图方式摆图形。 ① ② ③ (1)第5个图形需要( )根小棒。 (2)第n个图形需要( )根小棒。 【重难点考点五】数表中的规律 【典型例题】根据百数表，填一填。 43 57 58 54 【举一反三练习1】(24-25六年级下·山西晋城·期末)下面是一个整数表。认真观察正方形框内正中间 的数与其他8个数的关系。 123456789 101112131415161718 192021222324252627 2829303132333435 36 373839404142434445 464748495051525354 555657585960616263 ●●●●●● (1)正方形框内正中间的数比左边的数大( ),比正上方的数大( )。 (2)如果正方形框内正中间的数是m,右边的数是( ),正下方的数是( ),左下方的数是 ) (3)如果正方形框内正中间的数是m,那么正方形框内9个数的和为( )。 【举一反三练习2】(24-25六年级下·河南商丘·期末)下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律， 根据此规律，m的值是( 04 2 6 4 8 6 28 422 644 城m A.48 B.74 C.52 D.66 第7页共13页 m 【举一反三练习3】(25-26六年级下·浙江台州·期末)如下图，某次框出的4个数的图形是 用式子表示m左边的数是( );当m=32时，m下面的数是()。 1 2 3 4 5 6 7 9 1011 12 13 15 16 1> 18 19 20 21 22 23 2425 2627 … 模块四 优选真题实战演练 1.(25-26六年级上·湖南永州·阶段检测)如果m≥2，下面式子计算结果最大的是( AmX日 B.8 C.m-8 D.m叶号 2.(25-26六年级下·湖北襄阳·期末)观察下图，每一个黑色圆周围都有6个白色圆，照这样的规律继 续画下去，当画第n个黑色圆时，一共画了( )个白色圆。 A.6n B.6n-2 C.4n+2 D.4n-2 3.(25-26五年级上·河北邢台·阶段检测) 一盒记号笔有m支，一盒水笔有n支，已知m十4=n,那么 下列等式成立的是( )。 A.m=n+4 B.m-4=n-4 C.2m=2n-4 D.m+4-4=n-4 4.(25-26六年级上·河南南阳·期中)如图，按照前面四幅图的规律，第五幅图中的正方形里共有( 个圆，第七幅图中的正方形里共有( )个圆。 第一幅第二幅 第三幅 第四幅 第五幅 5.(25-26五年级上·新疆喀什·阶段检测)练习本的单价是b元，小红买了4本，又买了3支钢笔，用 了a元，小红一共付了( )元。 6.(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)一辆汽车每小时行驶千米，上午行驶5小时，下午行驶b 千米，这辆汽车一天行驶了( )千米。 第8页共13页 7.(25-26六年级下河北唐山期末)如图，强强用小棒搭“房子”，照这样搭下去，搭5间房子要用( 根小棒；搭( )间房子要用301根小棒。 69 8.(25-26六年级上·广东江门·期中)如下图，图中的数字是按一定规律排列下去的，按照规律，第100 行左起第三个数是 11 第1行 121 第2行 1331 第3行 14641 第4行 15101051 第5行 9.(26-27五年级上·山东·周测)小明家有大米x千克，每天吃2千克，己经吃了b天。 (1)用含有字母的式子表示剩余的大米的千克数。 (2)如果小明家原有大米20千克，己经吃了7天，用上面的式子求出剩余的大米的千克数。 10.(24-25六年级上·山东青岛·期中)根据分数乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题。 ①1×3=1 ②2x=2- ③3x2=3- … (1)请写出第4个等式，并画出相应的图形。 第9页共13页 ④ (2)请写出第n个等式： 11.(24-25六年级上·河南新乡·期中)填一填，并探索规律。 1-2 18 1 6 1 12 1 6 12 4 6 +1+1= 4816 (1)观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ (2)你能应用你发现的规律计算“兮++右”吗？ 12.（24-25六年级上·山东济宁·期中)规定一种新运算：a☆b=ab一a一b,例如3☆(-4)=3×(- 4)-3-(-4)=-12-3-16=-31,请计算下列各式的值： (1)2☆5： (2)(-2)☆(-5)。 第10页共13页 13.(23-24六年级上·江西南昌·期中)图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②， 再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图 形里有197个三角形？ …n个 2 ③ 14.(24-25六年级下·河北保定·期末)发现、实践、探索规律。 00000 0000 88888 000 0●●o 0●●●0 0●0 0●●0 0●●●0 000 0000 00000 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 (1)我发现：第1个图形有1个黑色圆点，有8个白色圆点： 第2个图形有4个黑色圆点，有12个白色圆点： 第3个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点： (2)我来画：请按发现的规律画出第4个图形。第4个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点， (3)我探索：按此规律继续画下去，第n个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点。（用含有 n的式子表示) (4)我应用：第10个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点。 15.(25-26六年级下·河南鹤壁·期末)下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“O”代表窗格上所贴 的剪纸。 转职钟 ① ② ③ (1)第5个图中所贴剪纸“O”的个数是( (2)第n个图中所贴剪纸“O”的个数是多少？请写出你发现的规律。 第11页共13页 16. (24-25六年级下·河南郑州·期末)同学们先从1开始报数，然后依次按如下的规则排成五列： ① ② ③ ④ ⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 (1)报77的应站在第几行第几列？（写出算式） (2)站在第12行第4列的那位同学报的是几？（写出算式）（小提示：第12行站了多少人？) 17.(25-26六年级上·山东济南·期末)中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交 叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展 现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 K 图1 图2 图3 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律， 第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 第12页共13页 18.(24-25六年级上·贵州铜仁·期末)数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数 形结合百般好，隔离分家万事休。” (1)请用数学的眼光观察数与形，在方框里接着画一画，填一填（如图）。 13 (2)如果不画，这样排列下去，第10个数是( 19.(2526六年级上·江西鹰潭·期末)计算+++言的值，并在下面的正方形中画图表示。 1111 2+4+8+6 20.(25-26六年级上·北京房山·期末)在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头 处及圆柱管壁厚度忽略不计)，每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示： 图1 图2 图3 (1)观察并思考图中绳子长度与圆柱管根数之间的关系，完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） 31.4 (2)按照这样的方法，捆10根圆柱管需要的绳子长度是多少厘米？ (3)按照这样的方法，所需绳子长度(1)与圆柱管的根数(n)之间有什么关系？ (4)结合上面的研究，请你再提出一个感兴趣的问题。 第13页共13页 2026-2027学年北师大版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 第三单元 用字母表示（二）「期中复习知识清单〈真题汇编讲练〉」 （知识梳理卡片+知识清单+5个重难点考点讲练+实战演练 共40题●yj 版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】用字母表示数量关系（2个未知数） 4 【重难点考点二】用字母表示规律 4 【重难点考点三】利用等式的性质求未知数 5 【重难点考点四】含有字母式子的化简与求值 6 【重难点考点五】数表中的规律 7 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 知识点一 代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 知识点二 关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 1. 定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二 含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】用字母表示数量关系（2个未知数） 【典型例题】（24-25六年级下·四川眉山·期末）陕西西安是闻名世界的历史名城，张老师今年暑假准备去西安旅游，费用支出预计如下表。 单程动车票（元/张） 住宿费（元/天） 伙食费（元/天） 其他开支（元） 296 a b 500 (1)张老师计划在西安住宿3天，伙食费按5天计算，用含有字母的式子表示他这次西安之行往返所需费用( )。 (2)如果住宿费预计180~280元/天，伙食费80~120元/天，按最低的费用，张老师本次西安之行预计2200元，够吗？( )。（填“够”或“不够”） 【举一反三练习1】（24-25六年级下·甘肃庆阳·期末）如果均大于0），那么。( )（判断对错） 【举一反三练习2】（24-25六年级下·甘肃陇南·期末）小明买了6斤苹果，每斤元，原有元，小明还剩（    ）元。 A． B． C． 【举一反三练习3】（24-25六年级下·浙江金华·期末）在数线图上有两个数和，观察图，计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【重难点考点二】用字母表示规律 【典型例题】（25-26六年级上·福建南平·期中）把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，每个圆的直径都为3厘米。（π取3.14） (1)上图的第①组需要( )厘米长的绳子； (2)像这样继续捆下去，第④组至少需要( )厘米长的绳子； (3)按照这样的方法继续捆下去，捆第n组至少需要( )厘米长的绳子。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）妍妍发现许多中式建筑的窗格图案都是有规律的（如下图所示）。图1中有5个◇，图2中有8个◇，图3中有( )个◇，那么图n中有( )个◇。 【举一反三练习2】（23-24六年级上·江西南昌·期中）如图，下列各图形中三个数之间均有相同的规律，根据此规律，图形中与、的关系是（    ）。 A． B． C． D． 【举一反三练习3】（24-25六年级下·广东中山·期末）用小棒照下图的规律摆图形，摆第3个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒。 【重难点考点三】利用等式的性质求未知数 【典型例题】（24-25六年级下·河北保定·期末）下面是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么( )，( )，( )。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·浙江湖州·期末）已知，则( )，( )。 【举一反三练习2】（25-26六年级下·贵州黔东南·期末）已知○＋○＝□＋□＋□，□＋○＝△＋△＋△＋△，若○＝12，□＝( )，△＝( )。 【举一反三练习3】（25-26六年级下·甘肃天水·期末）、各代表一个数，如果＋＝20，＋＋＝，那么＝15。( )(判断对错） 【重难点考点四】含有字母式子的化简与求值 【典型例题】（26-27五年级上·山东·周测）芳芳和姐姐一起折千纸鹤，芳芳每小时折13只千纸鹤，姐姐每小时折x只纸鹤，芳芳和姐姐2个小时能折( )只千纸鹤。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·福建龙岩·期中）如果x和y互为倒数，那么“”的计算结果是( )。 【举一反三练习2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 m－0.5n 1 2 大纸盒 3m－n 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m＝3，n＝2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（a＞10），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 【举一反三练习3】（24-25六年级下·江苏盐城·期中）将小棒按如下图方式摆图形。 (1)第5个图形需要( )根小棒。 (2)第n个图形需要( )根小棒。 【重难点考点五】数表中的规律 【典型例题】根据百数表，填一填。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·山西晋城·期末）下面是一个整数表。认真观察正方形框内正中间的数与其他8个数的关系。 (1)正方形框内正中间的数比左边的数大( )，比正上方的数大( )。 (2)如果正方形框内正中间的数是m，右边的数是( )，正下方的数是( )，左下方的数是( )。 (3)如果正方形框内正中间的数是m，那么正方形框内9个数的和为( )。 【举一反三练习2】（24-25六年级下·河南商丘·期末）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（    ）。 A．48 B．74 C．52 D．66 【举一反三练习3】（25-26六年级下·浙江台州·期末）如下图，某次框出的4个数的图形是，用式子表示m左边的数是( )；当m＝32时，m下面的数是( )。 模块四 优选真题 实战演练 1．（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）如果m，下面式子计算结果最大的是（    ）。 A．m× B．m÷ C．m－ D．m＋ 2．（25-26六年级下·湖北襄阳·期末）观察下图，每一个黑色圆周围都有6个白色圆，照这样的规律继续画下去，当画第个黑色圆时，一共画了（    ）个白色圆。 A． B． C． D． 3．（25-26五年级上·河北邢台·阶段检测）一盒记号笔有m支，一盒水笔有n支，已知m＋4＝n，那么下列等式成立的是（    ）。 A．m＝n＋4 B．m－4＝n－4 C．2m＝2n－4 D．m＋4－4＝n－4 4．（25-26六年级上·河南南阳·期中）如图，按照前面四幅图的规律，第五幅图中的正方形里共有( )个圆，第七幅图中的正方形里共有( )个圆。 5．（25-26五年级上·新疆喀什·阶段检测）练习本的单价是b元，小红买了4本，又买了3支钢笔，用了a元，小红一共付了( )元。 6．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）一辆汽车每小时行驶a千米，上午行驶5小时，下午行驶b千米，这辆汽车一天行驶了( )千米。 7．（25-26六年级下·河北唐山·期末）如图，强强用小棒搭“房子”，照这样搭下去，搭5间房子要用( )根小棒；搭( )间房子要用301根小棒。 8．（25-26六年级上·广东江门·期中）如下图，图中的数字是按一定规律排列下去的，按照规律，第100行左起第三个数是______。 9．（26-27五年级上·山东·周测）小明家有大米x千克，每天吃2千克，已经吃了b天。 (1)用含有字母的式子表示剩余的大米的千克数。 (2)如果小明家原有大米20千克，已经吃了7天，用上面的式子求出剩余的大米的千克数。 10．（24-25六年级上·山东青岛·期中）根据分数乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题。 ① ② ③ …… (1)请写出第4个等式，并画出相应的图形。 ④______________ (2)请写出第n个等式：______________。 11．（24-25六年级上·河南新乡·期中）填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 12．（24-25六年级上·山东济宁·期中）规定一种新运算：a☆b＝ab－a－b2，例如3☆（﹣4）＝3×（﹣4）－3－（﹣4）2＝﹣12－3－16＝﹣31，请计算下列各式的值： （1）2☆5； （2）（﹣2）☆（﹣5）。 13．（23-24六年级上·江西南昌·期中）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 14．（24-25六年级下·河北保定·期末）发现、实践、探索规律。 (1)我发现：第1个图形有1个黑色圆点，有8个白色圆点； 第2个图形有4个黑色圆点，有12个白色圆点； 第3个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点； (2)我来画：请按发现的规律画出第4个图形。第4个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点， (3)我探索：按此规律继续画下去，第n个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点。（用含有n的式子表示） (4)我应用：第10个图形有( )个黑色圆点，有( )个白色圆点。 15．（25-26六年级下·河南鹤壁·期末）下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 16．（24-25六年级下·河南郑州·期末）同学们先从1开始报数，然后依次按如下的规则排成五列： ①    ②    ③    ④    ⑤ 1    2    3    4    5 6    7    8    9    10 11    12    13    14    15 …… (1)报77的应站在第几行第几列？（写出算式） (2)站在第12行第4列的那位同学报的是几？（写出算式）（小提示：第12行站了多少人？） 17．（25-26六年级上·山东济南·期末）中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 18．（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。” (1)请用数学的眼光观察数与形，在方框里接着画一画，填一填（如图）。 (2)如果不画，这样排列下去，第10个数是( )。 19．（25-26六年级上·江西鹰潭·期末）计算的值，并在下面的正方形中画图表示。 20．（25-26六年级上·北京房山·期末）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处及圆柱管壁厚度忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示： (1)观察并思考图中绳子长度与圆柱管根数之间的关系，完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） 31.4 (2)按照这样的方法，捆10根圆柱管需要的绳子长度是多少厘米？ (3)按照这样的方法，所需绳子长度（l）与圆柱管的根数（n）之间有什么关系？ (4)结合上面的研究，请你再提出一个感兴趣的问题。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null