第84卷 空间中两平面的位置关系（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第84卷 空间中两平面的位置关系 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，，，，，，则直线m与n的位置关系是（ ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【答案】C 【分析】根据题意结合面面垂直的性质即可得解. 【详解】因为，，，，所以， 又因为，所以， 故选：C. 2．已知平面，，及直线，满足：，，，，则由此推出①，②，③中的（   ） A．①② B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据题意作出图像，结合面面垂直的性质即可得解. 【详解】    如图所示，，又，，且，，故②正确的， 但不一定垂直于，也不一定垂直于，故①③错误， 故选：. 3．下列有关空间中直线与平面的关系一定正确的是（　　） A．平行同一直线的两平面一定平行 B．平行同一直线的两直线一定平行 C．垂直同一平面的两平面一定平行 D．垂直同一直线的两直线一定平行 【答案】B 【分析】由直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系及直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】选项，平行同一直线的两平面平行或相交，故错误 选项，平行同一直线的两直线平行，故正确 选项，垂直同一平面的两平面平行或相交，故错误 选项，垂直同一直线的两直线平行，相交或异面，故错误 故选： 4．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若是异面直线，，则与不一定平行 【答案】C 【分析】根据三棱柱中即可找反例判断AB,由线面垂直的性质可判断C，由线面平行的性质，结合直线反证法即可判断D. 【详解】如图，在直三棱柱中，是锐角三角形，    对于， 分别为，直线为直线，满足， 而与不垂直，不正确； 对于，平面与平面分别为，平面为平面， 满足，而平面与不垂直，不正确； 对于，由线面垂直的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知正确； 对于，假若与不平行，则存在直线，使得， 由于 ，同理可得，由平行线的传递性可知， 这与是异面直线矛盾，故假设不成立， 故，D不正确. 故选：C. 5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（    ） A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 【答案】A 【详解】空间面面平行性质的应用 故选：A 6．如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论．    ①AB与是相交直线；            ②平面﹔ ③平面平面﹔        ④平面， 其中正确的结论是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据线线平行即可求解①②，根据线面垂直即可求解④，根据平面有公共点即可求解③. 【详解】由于,与相交，所以AB与是异面直线，故①错误， 连接,由于均为中点，所以, 平面,平面,平面,故②正确， 由于平面平面,所以平面与平面相交，故③错误， 由于且三棱柱为直三棱柱，所以平面, 平面,故,又，进而， 由，可知四边形为正方形，所以, ，平面，所以平面，④正确， 故选：D    7．设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可. 【详解】A：若，则或a与b互为异面直线，故A错误； B：若，则或a与b互为异面直线，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，则或或a与b互为异面直线或a与b相交，故D错误. 故选：C 8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】    如图所示正方体， 对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误； 对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误； 对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误； 对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确. 故选：D 9．已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（ ） ①，则            ②，则 ③，则            ④，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线，线面，面面位置关系的判定定理及性质定理，即可判断. 【详解】若，由线面垂直的性质，垂直同一个平面的两条直线平行，则，故①正确； 若，则，m与n相交或异面都有可能，故②错误； 若，又是两个不同的平面，则，故③正确； 若，由线面垂直和线面平行的性质可得，故④正确. 故选：C. 10．已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（ ） A．内有无数条直线与平行 B． C．直线，且 D．内任何直线都与平行 【答案】D 【分析】由平面与平面平行的判定定理逐项分析即可得解. 【详解】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若直线，且，则与相交或平行，故C错误； 对于D，若内任何直线都与平行，则与平行，故D正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________. 【答案】/ 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解. 【详解】取中点为，连接, 由于是等边三角形，所以 因为平面平面，其交线为,平面, 所以平面，是直线与平面所成角． 不妨设， 在等边中，，，所以， 故 故直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 12．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为__________． 【答案】 【分析】由二面角的定义及勾股定理即可得解. 【详解】 取的中点，连接. 在正方形中，． 则为二面角的平面角. 所以. 因为边长为，则. 所以. 在中， 所以. 故答案为：. 13．如果一个二面角的平面角大小为，那么从一个平面内任一点到另一个平面的距离与该点到棱的距离之比为__________． 【答案】 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】由题意得:距离之比为． 故答案为： 14．如图，在三棱锥中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，若，则与的面积之比为______ .    【答案】 【分析】根据面面平行的性质即可解答. 【详解】由平面平面， 平面分别截平行平面，于， 所以，且，所以， 所以平面分别截平行平面，于， 所以，同理，所以， 所有， 所以∽， 则面积之比为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，四棱锥就是阳马结构，平面，，连接，，分别是，的中点，证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】根据题意取CD中点为H，连接HE，HF，通过证明面面平行，从而得到线面平行. 【详解】如图，取CD中点为H，连接HE，HF. 因为E，F分别是PC，BD的中点， H为CD的中点， 所以，. 又因为， 所以. 因为平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD. 同理可得，平面PAD， 因为平面EFH，平面EFH，， 所以平面平面PAD， 因为平面EFH，所以平面PAD. 16． 如图，已知，在与的交线上取线段，且AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，，求CD的长. 【答案】13 【分析】连接BC，由，，可得是直角三角形，在中，求出, 然后在中利用勾股定理即可求解. 【详解】如图， 连接BC.因为，直线AB是两个互相垂直的平面和的交线， 所以.因为，所以. 所以是直角三角形. 在中，. 在中，. 所以CD长为13. 17．如图所示，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，且，，．求：二面角的余弦值．    【答案】 【分析】取BC的中点E，连接PE，DE．易得，，故是二面角的平面角，在中，利用余弦定理可求解； 【详解】如图所示，取BC的中点E，连接PE，DE． ，     底面ABCD为菱形，且 ，．     是二面角的平面角． 在等边三角形和， ，， 二面角的余弦值为；      试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第84卷 空间中两平面的位置关系 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，，，，，，则直线m与n的位置关系是（ ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 2．已知平面，，及直线，满足：，，，，则由此推出①，②，③中的（   ） A．①② B．② C．①③ D．②③ 3．下列有关空间中直线与平面的关系一定正确的是（　　） A．平行同一直线的两平面一定平行 B．平行同一直线的两直线一定平行 C．垂直同一平面的两平面一定平行 D．垂直同一直线的两直线一定平行 4．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若是异面直线，，则与不一定平行 5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（    ） A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 6．如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论．    ①AB与是相交直线；            ②平面﹔ ③平面平面﹔        ④平面， 其中正确的结论是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 7．设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 9．已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（ ） ①，则            ②，则 ③，则            ④，则 A． B． C． D． 10．已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（ ） A．内有无数条直线与平行 B． C．直线，且 D．内任何直线都与平行 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________. 12．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为__________． 13．如果一个二面角的平面角大小为，那么从一个平面内任一点到另一个平面的距离与该点到棱的距离之比为__________． 14．如图，在三棱锥中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，若，则与的面积之比为______ .    三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，四棱锥就是阳马结构，平面，，连接，，分别是，的中点，证明：平面.    16．如图，已知，在与的交线上取线段，且AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，，求CD的长. 17．如图所示，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，且，，．求：二面角的余弦值．    试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $