第80卷 空间中两直线的位置关系（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第80卷 空间中两直线的位置关系 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在正方体中，与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．下列命题正确个数为（    ） ①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 4．设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ）. A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定 5．两条异面直线之间的距离是（ ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 6．在正方体中，与所成的角是（   ） A． B． C． D． 7．关于两条异面直线的说法，正确的是（     ） A．它们是不在同一个平面的两条直线． B．它们是在空间内不相交的两条直线． C．它们是分别位于两个平面内的两条直线． D．某一平面内的一条直线与平面外的另一条直线． 8．给出下列命题： ①若的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线； ②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线； ③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面； ④对于三条直线，若，，则. 其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 9．在正方体中，两异面直线与所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　 A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．正三棱锥中，，分别是的中点，则四边形的面积为__________. 12．已知异面直线a，b所成的角为，，则b与c所成的锐角是___________度． 13．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.    14．在空间四边形中，若，且异面直线与所成的角为，分别为的中点，则异面直线与所成的角为 __________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．如图，在长方体的棱所在的直线中，找出与棱所在直线异面的所有直线．    16．如图，在直三棱柱中，，.    (1)求三棱柱的体积； (2)求异面直线与所成角的大小 17．在三棱锥中，点分别是的中点，证明：四边形是平行四边形 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第80卷 空间中两直线的位置关系 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由正方体ABCD­-A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果． 【详解】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条． 故选：D． 2．如图，在正方体中，与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出异面直线等价平面角求出答案. 【详解】    由题意得连接,因为, 所以与所成角是, 在中,,所以. 故选:C. 3．下列命题正确个数为（    ） ①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平面、线面垂直、线线垂直与平行、正四棱锥的表面积等知识确定正确答案. 【详解】①，在一条直线上的三个点，不能确定一个平面，所以①错误. ②，若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线可能在这个平面内，所以②错误. ③，同时垂直于一条直线的两条直线可能异面，所以③错误. ④，正四棱锥的一个侧面对应的等腰三角形的高为， 所以正四棱锥的表面积为，所以④正确. 故正确的命题个数为个. 故选：B 4．设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ）. A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定 【答案】A 【分析】在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系. 【详解】如图，延长使， 因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处， 所以直线和直线的位置关系为相交. 故选：A. 5．两条异面直线之间的距离是（ ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 6．在正方体中，与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线与所成的角转化为与所成的角，即可解得. 【详解】    在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，即， 即与所成的角等于与所成的角， 是由正方体的面对角线组成，故为等边三角形， 所以与所成的角为，即与所成的角是． 故选：C. 7．关于两条异面直线的说法，正确的是（     ） A．它们是不在同一个平面的两条直线． B．它们是在空间内不相交的两条直线． C．它们是分别位于两个平面内的两条直线． D．某一平面内的一条直线与平面外的另一条直线． 【答案】A 【分析】利用空间中两直线的位置关系与异面直线的概念可判断. 【详解】不同在任一个平面内的两条直线，为异面直线概念，A正确； 空间两条不相交的直线，可能平行，故B错误； 分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行可能异面，故C错误； 一个平面内的一条直线与这个平面外的一条直线，可能相交可能平行可能异面，故D错误. 故选：A. 8．给出下列命题： ①若的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线； ②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线； ③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面； ④对于三条直线，若，，则. 其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，若的三条边所在直线分别交平面于三点， 可得且平面，所以三点必在两平面的交线上， 所以三点共线，所以①正确； 对于②中，若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线可能相交，平行或异面直线，所以②错误； 对于③中，若三条直线两两平行且分别交直线于三点，由公理3可得这四条直线共面，所以③正确； 对于④中，例如：若是过长方体一顶点的三条棱，则满足若，，此时与相交，所以④错误. 其中所有真命题的序号是①③. 故选：B. 9．在正方体中，两异面直线与所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用与的平行关系，转化为和之间的夹角，构造等边三角形即可求解. 【详解】如图，在正方体中，连接，， ，且 ，四边形是平行四边形，， 或其补角即为异面直线与所成的角. 设正方体的棱长为，则， 是等边三角形，， 异面直线与所成的角为 故选：B. 10．若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　 A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【答案】D 【分析】利用长方体模型，结合直线与直线的位置关系判断. 【详解】在长方体中，    ①若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线， 则满足和是异面直线，和是异面直线，此时和相交； ②若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，此时和平行； ③若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，此时和异面； 综上，和的位置关系是相交、平行或异面. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．正三棱锥中，，分别是的中点，则四边形的面积为__________. 【答案】3 【分析】根据正三棱锥的性质与中位线得出四边形为矩形，且,，即可计算得出答案. 【详解】 三棱锥为正三棱锥，,, ，,， 分别是的中点， ，，，，且, ， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 故答案为：3. 12．已知异面直线a，b所成的角为，，则b与c所成的锐角是___________度． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的概念易得答案. 【详解】异面直线a，b所成的角为，，则b与c所成的锐角是， 故答案为：. 13．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.    【答案】 【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为，    ∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， ∴在上扫过的面积为. 故答案为：. 14．在空间四边形中，若，且异面直线与所成的角为，分别为的中点，则异面直线与所成的角为 __________. 【答案】或 【分析】通过取中点构造三角形，利用三角形中位线定理找出异面直线所成角求解. 【详解】取的中点，连接、. 因为为中点，为中点，所以，且， 同理，因为为中点，为中点，所以，且， 由于，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角. 已知，则， 又因为异面直线与所成的角为，且，，所以或. 当时，因为，所以是等边三角形，那么， 当时，因为，根据等腰三角形的性质，. 故异面直线与所成的角为或. 故答案为：或. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．如图，在长方体的棱所在的直线中，找出与棱所在直线异面的所有直线．    【答案】，，DC，BC. 【分析】去掉长方体中与棱相交或平行的棱，再从余下的棱中结合异面直线的意义判断即可. 【详解】在长方体中，去掉和棱相交或平行的棱，剩下棱，，DC，BC， 观察棱BC所在直线，因为平面，平面，，平面，所以直线与BC是异面直线， 同理，直线，，DC都与直线异面， 所以与棱所在直线异面的所有直线为，，DC，BC． 16．如图，在直三棱柱中，，.    (1)求三棱柱的体积； (2)求异面直线与所成角的大小 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用柱体的体积公式可求得三棱柱的体积； （2）将直三棱柱补成正方体，分析可知异面直线与所成角为或其补角，分析出的形状，即可得解. 【详解】（1）解：在直三棱柱中，，， 则， 又因为，平面，故， 因此，三棱柱的体积为. （2）解：在直三棱柱中，，， 将该三棱柱补成正方体，如下图所示：    因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角， 易知是边长为的等边三角形，则. 因此，异面直线与所成角为. 17．在三棱锥中，点分别是的中点，证明：四边形是平行四边形 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理与空间中平行线的传递性证明即可. 【详解】分别是的中点， ，且， ，， 所以四边形为平行四边形. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $