第76卷 球（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第76卷 球 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若两球的体积之比，那么两球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．球体是旋转体 B．圆柱的母线平行于轴 C．斜棱柱的侧面中没有矩形 D．用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台 3．下列说法中正确的是（    ） A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段 B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段 C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形 D．球不可以用表示球心的字母表示 4．关于球体的性质正确的是（    ）. A．任何平面截球面得到的截面都是矩形. B．球体是空间中到定点距离等于定长的所有点的集合 C．任何通过球的直线都是对称轴. D．球的切线垂直于过球点的半径. 5．用刀切一个近似球形的西瓜，切下的较小部分高度为，圆面直径为，则西瓜的半径为（   ） A． B． C． D． 6．边长为1的正方体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（    ）． A． B． C． D． 8．若球的半径为，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 9．高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为（ ）． A． B． C． D． 10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的个数是（    ） ①圆柱的侧面积为；            ②圆锥的侧面积为； ③圆柱的侧面积与球面面积相等；      ④圆锥的表面积最小. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．球心到截面圆心的距离为5，球的半径为13，则该截面圆的面积为________. 12．已知球O的表面积是其体积的3倍，则球O的半径为__________． 13．如图所示，弧长为，半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为___________. 14．正方体的全面积为54，一个球内切于该正方体，则这个球的体积是______． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．（1）已知球的表面积为，求它的体积． （2）已知球的体积为，求它的表面积． 16．已知球的表面积为，求球的半径和体积. 17．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形. (1)求该几何体的体积（单位：）； (2)求该几何体的表面积（单位：）. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第76卷 球 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若两球的体积之比，那么两球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两球的半径分别为，，由题可得，故两球的表面积之比为. 【详解】设两球的半径分别为，，由题得 ， 故. 所以两球的表面积之比为. 故选：B 2．下列说法错误的是（    ） A．球体是旋转体 B．圆柱的母线平行于轴 C．斜棱柱的侧面中没有矩形 D．用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台 【答案】C 【分析】利用球体的定义判断A；利用圆柱的结构特征判断B；举例说明判断C；利用正棱台的定义判断D． 【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A正确； 由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确； 如图，斜平行六面体中，若平面， 因平面，则，侧面四边形是矩形，C不正确；    由正棱台的定义知，D正确. 故选：C 3．下列说法中正确的是（    ） A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段 B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段 C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形 D．球不可以用表示球心的字母表示 【答案】A 【分析】根据球的定义及性质，逐项判断即可. 【详解】解：根据球的定义知A正确； 因为球的直径必过球心，所以B错误； 因为球的任何截面都是圆面，所以C错误； 球常用表示球心的字母表示，故D错误. 故选：A. 4．关于球体的性质正确的是（    ）. A．任何平面截球面得到的截面都是矩形. B．球体是空间中到定点距离等于定长的所有点的集合 C．任何通过球的直线都是对称轴. D．球的切线垂直于过球点的半径. 【答案】D 【分析】根据球体的定义以及性质求解即可. 【详解】选项A.任何平面截球面得到的截面都是圆形，错误. 选项B.所有到定点（球心）距离等于定长（半径）的点的集合，为球面，错误. 选项C.任何通过球心的直线都是对称轴，但通过球的直线不一定通过球心，错误. 选项D.球面的切线在切点处垂直于从球心到切点的半径，所以球的切线垂直于过球点的半径，正确. 故选：D. 5．用刀切一个近似球形的西瓜，切下的较小部分高度为，圆面直径为，则西瓜的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】球的半径、圆面的半径和球心到平面的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设球的半径为，球心到平面的距离为，圆面的半径为15， 球的半径、圆面的半径和球心到平面的距离构成直角三角形， 则，解得． 故选：D． 6．边长为1的正方体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体对角线的即为其外接圆的直径，由此求得半径，再根据球体的体积公式求解即可. 【详解】因为正方体的对角线为， 正方体的对角线即为其外接圆的直径， 所以外接球的半径为， 故边长为1的正方体外接球的体积为. 故选：C. 7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用圆的面积公式和球的截面圆的性质，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为，因为圆M的面积为，可得，解得， 设球O的半径为，由截面圆的性质，可得，即， 解得，所以球的表面积为． 故选：C． 8．若球的半径为，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的体积公式即可求解. 【详解】因为球的半径为，所以球的体积为. 故选：C. 9．高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出直观图进行求解，由题意可知该圆锥的底面即为其外接球的大圆，即可求出圆锥底面的半径，再根据圆锥的体积公式进行求解. 【详解】如图所示，由题可知该圆锥的底面为其外接球的大圆， 圆锥的高，底面圆的半径， 所以该圆锥的体积为. 故选：B. 10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的个数是（    ） ①圆柱的侧面积为；            ②圆锥的侧面积为； ③圆柱的侧面积与球面面积相等；      ④圆锥的表面积最小. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥、球的表面积计算公式，即可判断求解. 【详解】由题意，圆柱、圆锥的高、底面直径均为，则底面半径为, 所以圆柱的侧面积，故①错误； 所以圆锥的母线长为， 所以侧面积，故②错误； 因为球面面积，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故③正确； 所以圆锥的表面积，圆柱的表面积， 又球面面积，故圆锥的表面积最小，故④正确； 所以正确的结论有2个. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．球心到截面圆心的距离为5，球的半径为13，则该截面圆的面积为________. 【答案】/ 【分析】利用球的半径、截面圆的半径及球心到该截面的距离的关系，求出截面圆的半径，据此可求解. 【详解】如图所示，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R， 则有， 所以该截面圆的面积为. 故答案为： 12．已知球O的表面积是其体积的3倍，则球O的半径为__________． 【答案】1 【分析】设球的半径，求得体积和表面积，即可求解. 【详解】设球的半径为R，由题意得，解得． 故答案为：1. 13．如图所示，弧长为，半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为___________. 【答案】 【分析】旋转得半球进而可得表面积. 【详解】根据题意可得得到一个半径为1的半球， 所以表面积为半个球的表面积和一个底面圆. 故答案为：. 14．正方体的全面积为54，一个球内切于该正方体，则这个球的体积是______． 【答案】 【分析】先根据正方体的全面积求解棱长，再根据棱长求解球的半径，再求解球的体积即可. 【详解】根据正方体的表面积公式，设棱长为a， 所以，解得棱长， 又因为一个球内切于该正方体， 所以正方体的棱长等于球的直径d， 所以球的直径， 所以球的半径， 所以球的体积为. 故答案为: . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．（1）已知球的表面积为，求它的体积． （2）已知球的体积为，求它的表面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用球的表面积公式求出半径，再用球的体积公式求出体积即可. （2）利用球的体积公式求出半径，再用球的表面积公式求出表面积即可. 【详解】（1）由球的表面积为以及得：， 再用球的体积公式：，得. （2）由球的体积为以及得：， 再用球的表面积公式：，得：. 16．已知球的表面积为，求球的半径和体积. 【答案】半径为，体积为 【分析】利用球的面积公式与体积公式即可得解. 【详解】依题意，设球的半径为 ， 因为球的表面积为，所以，解得， 则该球的体积为， 所以球的半径为，体积为. 17．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形. (1)求该几何体的体积（单位：）； (2)求该几何体的表面积（单位：）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出球体的半径，圆锥的底面半径、母线长以及高，利用球体与锥体的体积公式可求得该几何体的体积； （2）利用球体的表面积以及圆锥的侧面公式可求得该几何体的表面积. 【详解】（1）解：球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高， 所以，该几何体的体积为. （2）解：该几何体的表面积为. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $