第75卷 球（教师讲解卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第75卷 球 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．半径为的球，其直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的性质即可得解. 【详解】半径为的球，其直径为， 故选：. 2．若球的大圆周长为，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由球的体积公式即可得解. 【详解】设球的半径为R. 球的大圆周长为，. . ． 故选：. 3．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求出球心到截面圆心的距离即可. 【详解】由得截面圆的半径为， ∴球心到截面圆心的距离． 故选：C. 4．已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据体积与表面积体积公式求解. 【详解】由题意，设三个球的半径分别为，，， 则， 故，故表面积之比为． 故选：. 5．如果两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式求解即可. 【详解】设这两个球的表面积分别为，半径分别为， 则． 故选：A. 6．下列几何体中，多面体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多面体与旋转体的定义即可得解. 【详解】选项，为多面体； 选项，为旋转体， 故选：. 7．已知球的大圆周长为，则它的表面积和体积分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据球的大圆周长得到球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式求解. 【详解】设球的半径为R，则球的大圆周长，∴. 则球的表面积， 球的体积. 故选：B. 8．球的体积为，则球半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，设球的半径为， 因为球的体积为，所以， 解得. 故选：A. 9．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1cm，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的体对角线的长就是外接球的直径，求出外接球的半径，再利用球的表面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，该球为正方体的外接球，正方体的棱长为1cm， 所以球的半径cm， 则 . 故选：C. 10．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的（    ） A．3倍 B．倍 C．9倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据球的体积与表面积公式分析求解即可. 【详解】设球的半径为，表面积为，体积为， 体积扩大到原来的27倍后，其半径为，表面积为，体积为， 则，，所以， 又，. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为__________． 【答案】 【分析】根据正方体的对称性，球的对称性，球的体积公式即可求解. 【详解】 设正方体的棱长为a，则，得. 设球的半径为R，则正方体得体对角线即为外接球的直径. 所以，即. 所以. 故答案为：. 12．已知球的半径为6，点均在球的表面上，且外接圆的面积为，则点到平面的距离为______． 【答案】 【分析】外接圆即为球的一个截面，点到平面的距离即为点到外接圆圆心的距离，利用球的截面的性质即可求解. 【详解】设外接圆的半径为，如图即， 则外接圆的面积为， 所以外接圆的半径为，又球的半径， 则点到平面的距离为． 故答案为：. 13．如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 【答案】 【分析】根据球的表面积公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的直径为___________. 【答案】 【分析】根据截面圆的面积求出截面圆的半径，再利用球心到截面圆的距离、截面圆的半径和球的半径之间的关系，结合勾股定理求出球的半径即可. 【详解】设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，球的半径为， 由题意可知，，解得：， 则， 故球的直径为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．图中是某建筑物上面的半球状玻璃罩，假设其直径为10m，试计算做这样一个玻璃罩需要多少玻璃材料（取3.14，精确到，门框忽略不计）． 【答案】 【分析】由球体表面积公式计算. 【详解】因为球的直径为10m，则半径为5m， 所以玻璃罩的表面积， 故答案为：. 16．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.这种“浮球”的体积是多少（结果精确到）. 【答案】 【分析】由球和圆柱的体积公式即可得解. 【详解】∵球的直径是6cm，可得半径， ∴两个半球的体积之和， 而， ∴该“浮球”的体积. 17．正方体的棱长为，分别求正方体的内切球和外接球的表面积、体积. 【答案】，；， 【分析】根据正方体内切球与外接球的直径与正方体棱长的关系，求出内切球和外接球的半径，再结合球的表面积和体积公式求解即可. 【详解】正方体的内切球的直径大小等于正方体的棱长的大小， 则内切球的半径， 内切球的表面积， 内切球的体积； 正方体的外接球的直径大小等于正方体的体对角线的大小， 正方体体对角线，则外接球的半径， 外接球的表面积， 外接球的体积. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第75卷 球 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．半径为的球，其直径为（　　） A． B． C． D． 2．若球的大圆周长为，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（    ）． A． B． C． D． 4．已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．如果两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．下列几何体中，多面体是（   ） A． B． C． D． 7．已知球的大圆周长为，则它的表面积和体积分别是（　　） A． B． C． D． 8．球的体积为，则球半径为（　　） A． B． C． D． 9．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1cm，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 10．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的（    ） A．3倍 B．倍 C．9倍 D．倍 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为__________． 12．已知球的半径为6，点均在球的表面上，且外接圆的面积为，则点到平面的距离为______． 13．如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 14．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的直径为___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．图中是某建筑物上面的半球状玻璃罩，假设其直径为10m，试计算做这样一个玻璃罩需要多少玻璃材料（取3.14，精确到，门框忽略不计）． 16．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.这种“浮球”的体积是多少（结果精确到）. 17．正方体的棱长为，分别求正方体的内切球和外接球的表面积、体积. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $