第72卷 棱柱与棱锥（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第72卷 棱柱与棱锥 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．一个水平放置的正方体的表面展开图如图所示，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ）    A．0 B．9 C．快 D．乐 2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是 （　　） A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有五个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 3．已知一个长方体无盖纸盒的长、宽、高分别是、、，则制作一个这样的纸盒，需要用到的纸张面积为（   ） A． B． C． D． 4．小明家的屋顶是一个正三棱锥形状，底面正三角形边长为 6 米，侧棱长为 5 米，屋顶的侧面积是（   ）. A．27 平方米 B．36 平方米 C．45 平方米 D．54 平方米 5．下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 6．下列结论正确的是（    ） A．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有几何体的表面都能展开成平面图形 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 D．一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥 7．已知正四棱柱底面周长为8，高为3，则其全面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知一个正四棱柱的底面边长为4，高为5，则该正四棱柱的体积是（    ） A．112 B．100 C．80 D．20 9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是 （　　） A．   B．   C．   D．   10．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．一个直棱柱的底面周长为 ，高为 ，侧面积为______. 12．一正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm，则这个正四棱柱的体积为______． 13．已知一个棱锥的底面是四边形，且各侧棱与底面所成的角都相等，那么该棱锥顶点在底面的射影是底面四边形的______（填 “内心”、“外心”、“重心” 或 “垂心”）. 14．如图，四棱锥的底面是矩形，为上一点，且设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则____． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．如图所示，已知正三棱锥P-ABC的高PO=cm，底面边长AB=6cm，    (1)求此正三棱锥的斜高； (2)求此正三棱锥的表面积； (3)求此正三棱锥的体积. 16．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，， (1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长 (2)求出六棱锥的表面和体积 17．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第72卷 棱柱与棱锥 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．一个水平放置的正方体的表面展开图如图所示，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ）    A．0 B．9 C．快 D．乐 【答案】B 【分析】由正方体的表面展开图还原出原图形，不难分析得出结论. 【详解】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面， 把该正方体还原，其直观图为：    由直观图可得这个正方体的下面是9. 故选：B. 2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是 （　　） A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有五个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征及性质判断即可． 【详解】选项A，根据棱柱的结构特征及性质可知，棱柱的侧棱长都相等，故选项A正确； 选项B，根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选项B不正确； 选项C，根据的三棱台的结构特征及性质可知，三棱台的上、下底面是相似三角形，故选项C正确； 选项D，根据棱台的结构特征及性质可知，有的棱台的侧棱长都相等，如正棱台，故选项D正确． 故选：B． 3．已知一个长方体无盖纸盒的长、宽、高分别是、、，则制作一个这样的纸盒，需要用到的纸张面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算该纸盒的表面积即可． 【详解】由题意，该无盖纸盒的表面积为， 故需要用到的纸张面积为． 故选：A． 4．小明家的屋顶是一个正三棱锥形状，底面正三角形边长为 6 米，侧棱长为 5 米，屋顶的侧面积是（   ）. A．27 平方米 B．36 平方米 C．45 平方米 D．54 平方米 【答案】B 【分析】先求侧面等腰三角形的斜高，再根据三角形的面积公式计算侧面积. 【详解】正三棱锥的侧面是三个全等的等腰三角形， ∵正三棱锥的底面正三角形边长为 6 米，侧棱长为 5 米， ∴侧面等腰三角形的斜高为米， ∴一个侧面面积为平方米， ∴侧面积为平方米. 故选：B. 5．下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的概念结合图形分析可得. 【详解】对于A，如图1，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A错误；    对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：三棱柱被平面分为两个棱锥，如图2所示，故B正确； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：四棱锥被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误. 故选：B.    6．下列结论正确的是（    ） A．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有几何体的表面都能展开成平面图形 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 D．一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥 【答案】D 【分析】对于选项ABC举出反例或者找出矛盾即可判断是错误的，由圆锥定义即可得D正确. 【详解】对于A，根据正三棱锥的性质可知，底面是正三角形，且顶点投影必须在底面正三角形的中心， 只是底面是正三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，故A错误； 对于B，球体的表面不能展开成平面图形，所以B错误； 对于C，由正六边形性质可知，其中心到顶点的距离与边长相等， 因此由勾股定理可知正六棱锥的侧棱长必然大于其底面边长，即C错误； 对于D，根据圆锥定义即可判断D正确. 故选：D 7．已知正四棱柱底面周长为8，高为3，则其全面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正四棱柱底面边长，利用棱柱的表面积公式即可求解． 【详解】因为正四棱柱底面周长为8，所以正四棱柱底面边长为2， 又高为3，则其全面积为． 故选：B 8．已知一个正四棱柱的底面边长为4，高为5，则该正四棱柱的体积是（    ） A．112 B．100 C．80 D．20 【答案】C 【分析】利用正四棱柱的结构特征，结合棱柱的体积公式即可得解. 【详解】因为一个正四棱柱的底面边长为4，所以其底面积为， 又其高为，则该正四棱柱的体积为. 故选：C. 9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是 （　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据棱柱的结构特征可得解. 【详解】A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱． 故选:D． 10．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，再求出圆锥高即可求出其体积，从而得解. 【详解】半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为， 设底面圆的半径为，则，故， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．一个直棱柱的底面周长为 ，高为 ，侧面积为______. 【答案】72 【分析】由棱柱的侧面积公式计算即可. 【详解】直棱柱侧面积等于底面周长乘高，即. 故答案为： 12．一正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm，则这个正四棱柱的体积为______． 【答案】 【分析】根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm， 所以正四棱柱的体积为. 故答案为：. 13．已知一个棱锥的底面是四边形，且各侧棱与底面所成的角都相等，那么该棱锥顶点在底面的射影是底面四边形的______（填 “内心”、“外心”、“重心” 或 “垂心”）. 【答案】外心 【分析】根据题意，结合棱锥的结构特征和几何性质，即可判断求解. 【详解】由题意，当棱锥各侧棱与底面所成的角都相等时，根据棱锥的性质，顶点在底面的射影到各顶点距离相等， 所以该棱锥顶点在底面的射影是底面四边形的外心. 故答案为：外心. 14．如图，四棱锥的底面是矩形，为上一点，且设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则____． 【答案】 【分析】根据锥体的体积公式结合题中边长之间的比例关系即可解得. 【详解】由题，四棱锥的底面为矩形，且， 设到底面的距离为，则到底面的距离为， 则， ， 即. 故答案为： 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．如图所示，已知正三棱锥P-ABC的高PO=cm，底面边长AB=6cm，    (1)求此正三棱锥的斜高； (2)求此正三棱锥的表面积； (3)求此正三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的长，得出，进而求出正三棱锥的斜高； （2）利用锥体的面积公式进行求解即可； （3）利用锥体的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示，连接CO并延长交AB与点D，连接PD，    在中，， 则，， 所以在中，斜高. （2）， ， . （3）. 16．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，， (1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长 (2)求出六棱锥的表面和体积 【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为 (2)表面积是，体积是 【分析】（1）由条件依次求得，，的长即可. （2）由棱锥表面积及体积的计算公式，求得表面积和体积. 【详解】（1）因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4． 在正六棱锥中，，H为中点，所以． 因为O是正六边形的中心，所以为正六棱锥的高． ，在中，，所以． 在中，． 在中，，，所以． 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为． （2）的面积为，的面积为， 所以正六棱锥的表面积为， 体积为. 17．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 【答案】(1) (2)侧面积为，全面积为 【分析】（1）根据棱锥和棱台的侧面积公式，结合平行线的性质进行求解即可； （2）根据棱台的侧面积和全面积公式，结合三角形面积公式、平行线的性质进行求解即可. 【详解】（1）设正六棱锥的高，底面边长， 因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥， 所以小棱锥的高为，底面边长， 在中，因为，所以， 于是有：， 因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为；    （2）由（1）可知：， 已知大棱锥的侧棱， 显然在中，上的高长为， 所以， 所以， 由（1）可知：截得的棱台的侧面积为， 截得的棱台的全面积为. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $