第70卷 抛物线（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第70卷 抛物线 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知是抛物线上的点，F是抛物线的焦点．若，则此抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．方程表示的抛物线开口方向为（　　） A．向右 B．向上 C．向下 D．向左 4．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线的开口方向为（　　） A．向上 B．向下 C．向右 D．向左 6．抛物线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线的顶点在原点，关于y轴对称，且过点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 9．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长是（    ） A． B．4 C．8 D．2 10．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（   ）    A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．抛物线的对称轴是__________． 12．焦点为的标准抛物线方程为______. 13．焦点为，顶点在原点的抛物线标准方程为______. 14．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为_____． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．若抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求此抛物线的标准方程． 16．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求. 17．求抛物线上的点到直线的最小距离． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第70卷 抛物线 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的方程求其准线方程即可. 【详解】由抛物线可知，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且， ∴，， ∴抛物线的准线方程为． 故选：C. 2．已知是抛物线上的点，F是抛物线的焦点．若，则此抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离即到准线的距离求解即可. 【详解】因为是抛物线上的点， 由抛物线上的点到焦点的距离即到准线的距离可得：， 所以，焦点坐标为：. 故选：D. 3．方程表示的抛物线开口方向为（　　） A．向右 B．向上 C．向下 D．向左 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程形式来确定其开口方向. 【详解】已知方程，符合抛物线的标准方程（）的形式， 所以抛物线的开口方向向下. 故选：C. 4．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的准线方程求解即可. 【详解】抛物线中，解得，所以准线方程为. 故选：C. 5．抛物线的开口方向为（　　） A．向上 B．向下 C．向右 D．向左 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线的标准方程的形式，即可判断求解. 【详解】形如的抛物线开口方向向左，故的开口向左. 故选：D. 6．抛物线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线标准方程的形式，确定焦点坐标的位置，并求出p的值，即可求解. 【详解】因为抛物线的标准方程是， 所以抛物线的焦点坐标在轴负半轴上，且， 解得， 所以抛物线的焦点坐标是. 故选：D. 7．已知抛物线的顶点在原点，关于y轴对称，且过点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质即可求解. 【详解】解：因为抛物线的顶点在原点，关于y轴对称，且过点， 所以抛物线焦点在y轴且开口向下. 设抛物线的标准方程为. 代入点，得， 解得. 所以抛物线的标准方程为. 故选：A 8．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线的方程化为标准方程求出值，结合抛物线的焦点位置即可得解. 【详解】抛物线化成标准方程为， 则焦点在轴负半轴上且， 所以焦点坐标为， 故选：. 9．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长是（    ） A． B．4 C．8 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线的方程，再将抛物线与直线联立，利用弦长公式即可得解. 【详解】由抛物线得焦点， 因为直线的倾斜角为，可得， 所以直线方程为，设 联立方程得，消去得， 由根与系数可得，， 所以. 故选：C. 10．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（   ）    A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】根据抛物线上一点求抛物线方程，再由抛物线的光学性质几何得解. 【详解】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物线的轴截面，并建立平面直角坐标系， 设抛物线方程，集光板端点， 代入抛物线方程可得,解得：， 所以抛物线方程为， 故焦点坐标是， 所以容器灶圈应距离集光板顶点． 故选：B.    二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得. 【详解】将抛物线的方程化为标准方程，可知挞物线关于轴对称． 故答案为：轴. 12．焦点为的标准抛物线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意求出即可得解. 【详解】焦点为，则，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 13．焦点为，顶点在原点的抛物线标准方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，结合焦点坐标，可设出抛物线的标准形式，求得p的值，继而求解. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，在轴负半轴上， 设抛物线标准方程为，则， 解得， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 14．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为_____． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，将代入抛物线方程中即可得解. 【详解】 由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知，抛物线经过点和点， 将点代入抛物线方程中，解得， 所以抛物线方程为， 水面下降1米，即，则，解得，， 所以此时水面宽度， 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．若抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求此抛物线的标准方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的性质求出左顶点坐标，即抛物线的焦点坐标，设抛物线的标准方程，求解即可. 【详解】将双曲线方程化为标准方程为． 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上，且，解得， 即双曲线的左顶点坐标为，即抛物线的焦点坐标为， ∴可设抛物线的标准方程为，且，解得， ∴抛物线的标准方程为． 16．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求. 【答案】 【分析】方法一利用弦长公式求解即可；方法二利用焦点弦公式求解即可. 【详解】（方法一）设，. 由已知可得直线l的方程：.① 又抛物线的焦点坐标为，故抛物线的方程为.② 联立①､②，消去y可得.③ 因为，所以由一元二次方程根与系数的关系得，. 于是 . （方法二）如图.    设，. 过A，B分别向准线作垂线，垂足为，. 由抛物线的定义可知，，. 于是. 由方法一中的方程③可知， 于是. 17．求抛物线上的点到直线的最小距离． 【答案】 【分析】根据抛物线方程设出抛物线上的点，再根据点到直线的距离即可解得. 【详解】 解：设抛物线上的任意一点 到直线的距离 由二次函数可知，当时， 最小距离． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $