第68卷 双曲线（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第68卷 双曲线 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．双曲线的范围是（    ） A． B．， C． D．， 2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 3．若双曲线，则顶点在（　　） A． 轴 B． 轴 C．直线 D．坐标原点 4．双曲线和的离心率分别为和，且，则这两个双曲线的“张口”更大的是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 5．双曲线的（    ） A．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 B．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 C．顶点坐标是，渐近线方程是 D．虚轴端点坐标是，渐近线方程是 6．圆的一般方程可写成（    ） A． B． C． D． 7．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的实轴长、虚轴长和离心率分别为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．以的焦点为顶点，且以的顶点为焦点的双曲线的方程是__________． 12．已知点在双曲线（，）上，的焦距为4，则它的离心率为________. 13．已知双曲线焦点在轴上，，其标准方程为______. 14．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是____________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．已知双曲线的标准方程为，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程． 16．已知分别是双曲线的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积． 17．已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)求此双曲线的实轴长、虚轴长、焦距和渐近线方程． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第68卷 双曲线 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．双曲线的范围是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】C 【分析】由双曲线的方程可判断焦点的位置及的值，再根据双曲线的性质可得结果. 【详解】由双曲线方程，可知其焦点在轴上，， 根据双曲线的性质有：，. 故选：C 2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等轴双曲线方程特点设其方程为，代入点即可求解. 【详解】因为双曲线的实轴和虚轴等长，故所求双曲线是等轴双曲线， 设其方程为，将点代入方程，可得， 所以双曲线方程为，即， 故选：D. 3．若双曲线，则顶点在（　　） A． 轴 B． 轴 C．直线 D．坐标原点 【答案】A 【分析】利用双曲线性质即可得出结果. 【详解】因为双曲线，看正项对应的变量；项为正，顶点就在轴. 所以双曲线，焦点、顶点都在轴上. 故选：A 4．双曲线和的离心率分别为和，且，则这两个双曲线的“张口”更大的是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率，判断双曲线“张口”大小. 【详解】离心率越大，双曲线的“张口”就越大. ∵， ∴双曲线的“张口”更大. 故选：A. 5．双曲线的（    ） A．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 B．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 C．顶点坐标是，渐近线方程是 D．虚轴端点坐标是，渐近线方程是 【答案】B 【分析】根据题意，将双曲线方程化为标准方程，即可判断焦点位置，并求得a和b的值，即可求得顶点坐标、虚轴端点坐标、渐近线方程，继而判断求解. 【详解】双曲线方程，化为标准方程得， 所以焦点在轴上，且，即， 所以顶点坐标为，虚轴端点坐标是，渐近线方程为. 故选：B. 6．圆的一般方程可写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般式方程即可得解. 【详解】圆的一般方程为，其中. 故选：. 7．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，从而得到，再利用离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线可化为， 由题意得，，则，， 所以该双曲线的离心率为. 故选：D. 8．双曲线的实轴长、虚轴长和离心率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】双曲线方程可化为，可得，根据实轴长、虚轴长和离心率的定义可求解. 【详解】因为双曲线可化为， 所以， 所以实轴长为8，虚轴长为6，离心率. 故选：C 9．已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与定义求得，再利用等面积法求解即可. 【详解】由题可得，， 所以，    设，则，解得， 由于双曲线的对称性，不妨取，所以， 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为，又， 在直角三角形中，， 即，所以. 故选：C. 10．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由双曲线方程求得焦点与渐近线，再利用点线距离公式即可得解. 【详解】对于双曲线，， 则其焦点坐标为，渐近线方程为，即， 所以其焦点到其渐近线的距离. 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．以的焦点为顶点，且以的顶点为焦点的双曲线的方程是__________． 【答案】 【分析】将化为可得其焦点、顶点坐标，从而可得双曲线的顶点、焦点坐标，据此可求解. 【详解】由可化为可知， 方程表示焦点在x轴的椭圆，焦点坐标为，顶点坐标为， 根据已知可得， 所求双曲线的顶点为，焦点为， 设双曲线的方程为， 所以，从而， 故为所求. 故答案为： 12．已知点在双曲线（，）上，的焦距为4，则它的离心率为________. 【答案】2 【分析】将已知点代入双曲线方程，利用焦距的定义及的关系列方程组，解得的值，据此可得解. 【详解】由题意知，解得，，， . 故答案为：2 13．已知双曲线焦点在轴上，，其标准方程为______. 【答案】 【分析】根据双曲线焦点位置确定标准方程的形式，再将已知的和的值代入方程即可. 【详解】已知，，且焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 14．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是____________. 【答案】 【分析】由双曲线的焦点和顶点确定标准方程. 【详解】由题意知，椭圆的一个焦点为，椭圆的长轴的一个端点为， 因此双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．已知双曲线的标准方程为，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程． 【答案】答案见解析. 【分析】根据双曲线的标准方程求出的值，再利用双曲线的几何意义即可求出答案. 【详解】由双曲线的标准方程为,其中,焦点为x轴上. 又因为, 所以实轴长为,虚轴长为； 焦距为,顶点坐标为,即, 焦点坐标为,即, 渐近线方程为. 16．已知分别是双曲线的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积． 【答案】(1)10或22 (2)16 【分析】（1）由双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义，结合勾股定理得，进而计算面积即可. 【详解】（1）由双曲线，得，则， 由双曲线的定义，得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x，则，解得或． 故点M到另一个焦点的距离为10或22． （2）将，两边平方得， ． 在中，，， 则，． ． 17．已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)求此双曲线的实轴长、虚轴长、焦距和渐近线方程． 【答案】(1) (2)实轴长4，虚轴长，焦距；渐近线方程为 【分析】（1）由椭圆方程求焦点，离心率，然后由和双曲线的离心率求双曲线方程． （2）由（1）解得双曲线的标准方程，即可解得结果. 【详解】（1）解：由知，椭圆焦点在y轴上， ，所以． 所以双曲线的离心率． 所以在双曲线中，， 所以双曲线的标准方程为． （2）解：实轴长，虚轴长，焦距； 渐近线方程为． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $