第67卷 双曲线（教师讲解卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第67卷 双曲线 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．对于，左右两个顶点为（　　） A． B． C． D． 5．双曲线的焦点在（　　）上. A．轴 B．第一象限角平分线 C．轴 D．无法确定 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是该双曲线上的一点，且，则（   ） A．2或18 B．2 C．18 D．4 7．若实数满足，则曲线与曲线的（    ） A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 8．到两定点距离之差的绝对值为大于的常数，且该常数小于两定点距离的点的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 9．下列方程中，以为渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 10．平面内一点到、的距离之差的绝对值为，对应的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．双曲线的离心率为 ______. 12．若双曲线的一个焦点为，则实数__________． 13．已知双曲线的焦距是8，则的值为________. 14．已知双曲线的焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程是__________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．求以椭圆的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 16．已知双曲线的焦距为. (1)求的值. (2)求双曲线的离心率. 17．已知双曲线的离心率为2，求实数的值及双曲线的焦点坐标、渐近线方程. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第67卷 双曲线 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程进而求解渐近线方程. 【详解】由双曲线的标准方程可知焦点在轴上，且，， ∴. ∴双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 2．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，从而可得，据此可求解. 【详解】由题可知，， 所以，从而. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 3．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线的离心率及求出双曲线的标准方程即可. 【详解】因为双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离为8， 所以，即， 又，所以， 所以， 故双曲线的标准方程为. 故选：A. 4．对于，左右两个顶点为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的几何性质即可求得结果. 【详解】是焦点在轴上的双曲线，顶点落在轴上. 令 ，解得 ， 所以顶点坐标. 故选：. 5．双曲线的焦点在（　　）上. A．轴 B．第一象限角平分线 C．轴 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据双曲线标准方程的形式来判断焦点所在的坐标轴. 【详解】双曲线方程，其形式符合焦点在轴上的双曲线标准方程，其中，， 所以该双曲线的焦点在轴上. 故选：C. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是该双曲线上的一点，且，则（   ） A．2或18 B．2 C．18 D．4 【答案】C 【分析】首先确定双曲线的，再判断点的位置，进而取得. 【详解】在双曲线中，，，， 因为，所以点在该双曲线左支上， 则， 故选：C. 7．若实数满足，则曲线与曲线的（    ） A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线方程与k的取值范围，可表示出实半轴、虚半轴、离心率及焦距，继而判断求解. 【详解】因为，则，， 所以方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以实半轴长为4，虚半轴长为，焦距，离心率； 同理，方程也表示焦点在轴上的双曲线， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦距，离心率， 所以两双曲线的焦距相等. 故选：D. 8．到两定点距离之差的绝对值为大于的常数，且该常数小于两定点距离的点的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可得解. 【详解】到两定点距离之差的绝对值为大于0的常数，且该常数小于两定点距离的点的轨迹是双曲线， 故选：. 9．下列方程中，以为渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各选项，利用双曲线的标准方程求渐近线即可得解. 【详解】对于A，的渐近线为，即，故A正确； 对于B，的渐近线为，即，故B错误； 对于C，的渐近线为，即，故C错误； 对于D，的渐近线为，即，故D错误. 故选：A. 10．平面内一点到、的距离之差的绝对值为，对应的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定双曲线的基本参数、、，进而得出双曲线的标准方程即可. 【详解】平面内到的距离之差的绝对值为6的点的轨迹为双曲线， 且，，代入可得，即， 因为焦点在轴上，可得. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．双曲线的离心率为 ______. 【答案】 【分析】求解出双曲线的，再结合双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线中， 则，即， 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 12．若双曲线的一个焦点为，则实数__________． 【答案】3 【分析】根据双曲线的方程求解a和b的值，利用焦点坐标即可求解m的值. 【详解】因为双曲线，， 所以，焦点为， 所以， ∴． 故答案为:3. 13．已知双曲线的焦距是8，则的值为________. 【答案】10 【分析】根据题意，结合双曲线的焦距，即可求得c的值，结合双曲线方程和之间的关系，即可列式求解. 【详解】因为双曲线方程为，且焦距是8，即， 所以， 所以，解得. 故答案为：10. 14．已知双曲线的焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程是__________． 【答案】 【分析】由题意求得，利用双曲线的定义求得，从而得解. 【详解】因为双曲线的焦点分别为，所以，且焦点在y轴上， 又点到和的距离之差的绝对值为， ，， ，双曲线的方程为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．求以椭圆的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】求出椭圆的焦点与顶点，从而得双曲线的顶点与焦点，设双曲线的标准方程为，求出即可. 【详解】∵椭圆的标准方程为， ∴椭圆的焦点坐标为、，左右顶点为、， ∴双曲线的顶点坐标为、，焦点坐标为、， ∴双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 则，，∴， ∴双曲线的标准方程为． 16．已知双曲线的焦距为. (1)求的值. (2)求双曲线的离心率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的焦距的概念求解； （1）根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】（1）在双曲线中，，， 已知焦距，则， 根据可得：， 解得. （2）由（1）可知，则，， 则双曲线的离心率为：. 17．已知双曲线的离心率为2，求实数的值及双曲线的焦点坐标、渐近线方程. 【答案】；、； 【分析】先利用二次方程表示双曲线的性质求得的取值范围，从而判断其焦点位置，进而利用双曲线的标准方程与离心率列式即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以，， 所以双曲线的标准方程为，其焦点在轴上， 所以，，则，故， 所以双曲线的焦点坐标为、， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得，此时， 所以，，即， 所以渐近线方程为. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $