第63卷 直线与圆的位置关系（教师讲解卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第63卷 直线与圆的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．光线从射到点后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．圆与直线 相切，则（　　） A．或 B．或 C．25 或 D． 3．圆心到直线的距离为 d，半径为 r，当 d＝r 时，直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 4．如图所示，圆与轴相切，其标准方程为（   ）． A． B． C． D． 5．直线与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 6．圆上一动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．直线过点，与圆相交，且弦长最大，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆相交于两点，则等于（    ） A． B． C．1 D．5 9．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走是储备基地的边界上的点A，接着向东再走到达公路上的点B；从基地中心O向正北走到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路的专用线，则的最短距离为（   ） A． B． C． D． 10．若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为（    ） A． B．2 C．或 D．1或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．圆的圆心到直线的距离为______. 12．圆上一点P到直线的距离的最小值为__________． 13．若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为______ 14．直线与圆的位置关系为 ______. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．已知圆，判断过点与圆C有几条切线，并求切线方程． 16．某圆拱桥的水面跨度为，拱高．现有一艘船，宽，水面以上高，这条船能否从桥下通过？ 17．已知圆，直线． (1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第63卷 直线与圆的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．光线从射到点后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反射定律可得点关于x轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程． 【详解】解：由反射定律可得点)关于x轴的对称点在反射光线所在的直线上， 且也在反射光线上， ∴， ∴反射光线的方程为，即． 故选：D. 2．圆与直线 相切，则（　　） A．或 B．或 C．25 或 D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出方程，求得的值． 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为5， 因为圆与直线 相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 则，解得或. 故选：C. 3．圆心到直线的距离为 d，半径为 r，当 d＝r 时，直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系的几何判断方法可得结果. 【详解】因为圆心到直线的距离为 d与半径为 r相等， 所以直线与圆相切. 故选：B 4．如图所示，圆与轴相切，其标准方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的圆心和半径求解即可. 【详解】依图可得，圆心坐标为， 又因为圆与轴相切，半径， 带入圆的标准方程可得. 故选：D． 5．直线与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1． 圆心到直线的距离为． ∵，∴直线与圆相离． 故选：C. 6．圆上一动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若直线与圆相离，则圆上一动点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径． 因为圆心到直线的距离为，可得直线与圆相离， 所以圆上一动点到直线的距离的最小值为． 故选：A． 7．直线过点，与圆相交，且弦长最大，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相交且弦长最大可得直线过圆心，再求直线方程即可. 【详解】所求直线与圆相交，且弦长最大， 则直线过圆心，又直线过点， 所以直线的斜率，直线方程， 整理得：． 故选：A. 8．已知直线与圆相交于两点，则等于（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】先由圆的一般方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离和弦长公式即可得解. 【详解】由，即， 得圆的半径，圆心． 因为到直线的距离， 所以． 故选：A. 9．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走是储备基地的边界上的点A，接着向东再走到达公路上的点B；从基地中心O向正北走到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路的专用线，则的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，确定圆O及直线BC的方程，当圆心到直线BC的距离减去半径得到DE的最小值，即可求DE的长度. 【详解】以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为. 因为点，所以直线的方程为，即． 当点D选在与直线平行的直线（距较近的一条）与圆相切所成切点处时， 为最短距离．此时的最小值为． 故选：B. 10．若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为（    ） A． B．2 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据题意，结合圆的方程，先表示出圆心坐标和半径，继而求得圆心到直线的距离，结合弦长的一半、弦心距、半径之间的关系，即可求解. 【详解】因为圆的方程为 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以，即， 所以，即， 所以，解得或． 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】4 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标即可得解. 【详解】圆，则圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为， 故答案为：. 12．圆上一点P到直线的距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】依据圆心到直线距离求解. 【详解】由题意得圆心，半程， 则圆心O到直线l的距离为， ∴圆O上一点P到直线l的距离的最小值为． 故答案为：. 13．若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为______ 【答案】 【分析】先求圆心与圆上点的斜率，再利用直线和圆相切求切线的斜率易得答案. 【详解】由点在以坐标原点为圆心的圆上，所以圆心坐标， 所以，所以切线的斜率， 所以切线方程为. 故答案为：. 14．直线与圆的位置关系为 ______. 【答案】相离 【分析】比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因为，即， 所以直线与圆的位置关系为相离. 故答案为：相离. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．已知圆，判断过点与圆C有几条切线，并求切线方程． 【答案】有2条切线；或 【分析】根据点与圆的位置关系判断有几条切线，再利用过圆外一点求切线方程的方法计算即可得解. 【详解】圆，点， 因为， 所以点A在圆外，过点A与圆C有两条切线． 若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为，即． 因为圆心到切线的距离等于半径，半径为1， 所以，即， 所以，解得， 所以切线方程，即． 若直线斜率不存在，则直线方程为， 此时圆心到直线距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是． 综上，所求切线方程为或． 16．某圆拱桥的水面跨度为，拱高．现有一艘船，宽，水面以上高，这条船能否从桥下通过？ 【答案】该船可以从桥下通过 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题，然后进行运算求解，最后将运算结果还原到实际问题中去． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    依题意，有，，，，． 设圆拱桥所在圆的标准方程是， 于是有，解得， ∴这座圆拱桥的拱圆的方程是． 把点D的横坐标代入上式，得． 由于船在水面以上高，，∴该船可以从桥下通过． 17．已知圆，直线． (1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论； （2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案. 【详解】（1）直线化为， 则，解得， 所以直线 l 恒过定点， 圆心，半径， 又因， 所以点在圆C内， 所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （2）当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短， 最短弦长为， ，所以直线 l 的斜率为2， 即，解得， 所以直线 l 的方程为. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $