第94卷 用样本的数字特征估计总体的数字特征（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第94卷 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．某文具店一周内销售的笔记本规格（单位：本 / 包）为 ，该组数据的众数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．无法确定 2．下列说法错误的是（    ） A．方差可以衡量一组数据的波动大小 B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 C．一组数据的众数有且只有一个 D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 3．已知一组数据4，6，3，7，a，5的平均数是5，则这组数据的方差是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．5 4．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 频数 3 2 1 1 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知一组数据为 0，2，4，6，8，其方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的有（    ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 7．已知样本2，x，6，4，5的平均数是4，则此样本的方差是（   ） A． B． C．5 D． 8．下列关于样本平均数和总体平均数的说法，正确的是 （    ） ． A．样本平均数等于总体平均数 B．在容许一定误差存在的前提下，可以用样本平均数估计总体平均数 C．总体平均数具有一定的随机性 D．一个总体的样本平均数是固定的 9．如图是某班级上学期数学平均成绩变化折线图，则成绩提高最多的两个月之间的提升幅度为（     ）分    A．2 B．3 C．4 D．5 10．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如下表： 得分 8 13 18 22 28 33 37 频数 1 3 4 1 3 1 2 则这15场得分的中位数和众数分别为（   ） A．22，18 B．18，18 C．22，22 D．20，18 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知一组数据5、6、a、6、8的平均数是7，则其方差为______． 12．一家水果店的老板为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去6天苹果的日销售量（单位：：，则过去6天的平均日销售量为________． 13．下列说法中正确的是______． ①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多； ②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量； ③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量． 14．现有一组数据：1，3，4，6，7，7，21，设中位数为a，众数为b，方差为，则___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．老师安排小明和小红各自独立调查本校学生的身高情况．小红随机选取了60名学生进行调查，小明随机选取了20名学生进行调查．回答下列问题，并说明理由： (1)小明和小红所得到的样本的平均身高是否一定相同？如果不同，哪组样本的平均身高可能更接近学校总体学生的平均身高？ (2)小明和小红所得到的样本的标准差是否一定相同？如果不同，哪组样本的标准差可能更大？ 16．某工厂甲、乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔抽一包产品，称其质量（单位：）是否合格，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，乙：110，90，85，115. 计算两个车间质量的方差、标准差，说明哪个车间的产品较稳定. 17．某校从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行测试，在相同条件下两人各射击10次，命中的环数列表（有部分数据空缺）如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 5 7 7 6 8 6 7 7 乙 7 8 6 8 6 5 9 7 4 已知甲第4次射击比乙第8次射击命中的环数少2环. (1)验证：甲、乙两人命中环数的平均数相等. (2)如果甲、乙两人命中环数的平均数均为7，试求甲第4次和乙第8次射击命中的环数，并决定应选哪一人参加比赛？（说明理由） 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第94卷 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．某文具店一周内销售的笔记本规格（单位：本 / 包）为 ，该组数据的众数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据众数的定义即可求解. 【详解】因为中，出现的次数最多，所以众数为. 故选：B. 2．下列说法错误的是（    ） A．方差可以衡量一组数据的波动大小 B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 C．一组数据的众数有且只有一个 D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 【答案】C 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题. 【详解】对于，方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确； 对于，抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确； 对于，一组数据的众数有一个或者几个，故选项C错误； 对于，抛掷一枚图钉,针尖朝上和针尖朝下的可能性不相等，所以针尖朝上不是一个基本事件，所以不能用列举法求得，故选项D正确； 故选：C. 3．已知一组数据4，6，3，7，a，5的平均数是5，则这组数据的方差是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据方差的计算公式即可求解. 【详解】因为的平均数是5，所以，解得. 则方差为 . 故选：B. 4．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 频数 3 2 1 1 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平均数、方差公式运算求解. 【详解】由题意可得：， ， ， ， 所以，. 故选：C. 5．已知一组数据为 0，2，4，6，8，其方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据方差的计算公式即可求解. 【详解】数据 0，2，4，6，8的平均数为， 所以方差为. 故选: C . 6．下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的有（    ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 【答案】A 【分析】直接根据方差众数、平均数、中位数的概念得到答案. 【详解】根据方差众数、平均数、中位数的概念可知，方差能度量样本，，…，的离散程度，其他三个选项不能. 故选：A 7．已知样本2，x，6，4，5的平均数是4，则此样本的方差是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据平均数的概念得到，再根据方差的概念求解. 【详解】根据平均数的定义可知，得到， 所以样本的方差为：， 故选：B. 8．下列关于样本平均数和总体平均数的说法，正确的是 （    ） ． A．样本平均数等于总体平均数 B．在容许一定误差存在的前提下，可以用样本平均数估计总体平均数 C．总体平均数具有一定的随机性 D．一个总体的样本平均数是固定的 【答案】B 【分析】根据平均数的概念进行判断即可解得. 【详解】选项A：样本平均数通常不等于总体平均数，只是估计值，错误. 选项B：这正是统计推断的基本思想，正确. 选项C：总体平均数是固定的参数，不具有随机性，错误. 选项D：一个总体的样本平均数随样本不同而变化，不是固定的，错误. 故选：B 9．如图是某班级上学期数学平均成绩变化折线图，则成绩提高最多的两个月之间的提升幅度为（     ）分    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据折线图的数据，分析求解即可. 【详解】1月到2月的提升幅度为3. 2月到3月的提升幅度为3. 3月到4月的提升幅度为4. 4月到5月的提升幅度为3. 5月到6月的提升幅度为3. 故选：C. 10．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如下表： 得分 8 13 18 22 28 33 37 频数 1 3 4 1 3 1 2 则这15场得分的中位数和众数分别为（   ） A．22，18 B．18，18 C．22，22 D．20，18 【答案】B 【分析】根据频数分布表确定出现次数最多的得分为众数，再通过累计频数找到15个数据排序后中间位置的得分即为中位数. 【详解】由表格数据可知，得分18对应的频数为4，是所有得分中频数最高的数值， 因此该组数据的众数为18； 该组数据共有15个，将所有得分从小到大排序后，中位数为排序后第个数据， 得分8的累计频数为1，得分13的累计频数为，得分18的累计频数为， 因此第8个数据为18，即中位数为18； 综上，中位数和众数分别为18、18. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知一组数据5、6、a、6、8的平均数是7，则其方差为______． 【答案】 【分析】先根据平均数求出，再根据方差公式计算即可. 【详解】因为一组数据5、6、a、6、8的平均数是7， 所以，解得， 则方差为. 故答案为：. 12．一家水果店的老板为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去6天苹果的日销售量（单位：：，则过去6天的平均日销售量为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合平均数的计算，即可求解. 【详解】由题意，过去6天的平均日销售量为． 故答案为：. 13．下列说法中正确的是______． ①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多； ②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量； ③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量． 【答案】②③ 【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断. 【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定一样多，故①说法错误； 对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确； 对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确， 故答案为：②③. 14．现有一组数据：1，3，4，6，7，7，21，设中位数为a，众数为b，方差为，则___________. 【答案】 【分析】根据众数、中位数及方差计算公式即可求出答案. 【详解】数据个数为7，则中位数为第个数，即； 由题意可知，众数是7，即； 平均数为， 所以； 所以， 故答案为： 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．老师安排小明和小红各自独立调查本校学生的身高情况．小红随机选取了60名学生进行调查，小明随机选取了20名学生进行调查．回答下列问题，并说明理由： (1)小明和小红所得到的样本的平均身高是否一定相同？如果不同，哪组样本的平均身高可能更接近学校总体学生的平均身高？ (2)小明和小红所得到的样本的标准差是否一定相同？如果不同，哪组样本的标准差可能更大？ 【答案】(1)不一定，小红； (2)不一定，小明. 【分析】（1）根据平均数的定义和意义分析得解； （2）利用标准差的定义和意义分析得解. 【详解】（1）因为小明和小红采用的是随机抽样的方法进行调查，所得样本数据不一样， 所以小明和小红所得到的样本的平均身高不一定相同； 如果不同，因为样本数据越多受偶然值干扰就越小， 所以选取数据多的样本组，平均值可能更接近总体平均值， 又小红随机抽取的样本数据比小明随机抽取的样本数据多， 所以小红选取的样本的平均身高可能更接近学校总体学生的平均身高. （2）因为小明和小红采用的是随机抽样的方法进行调查，所得样本数据不一样， 所以小明和小红所得到的样本的标准差不一定相同； 如果不同，因为选取数据多的样本组，统计结果将更接近总体，其离散程度相对较小，则标准差相对较小， 又小红随机抽取的样本数据比小明随机抽取的样本数据多， 所以小红选取的样本的标准差可能更小，则小明选取的样本的标准差可能更大. 16．某工厂甲、乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔抽一包产品，称其质量（单位：）是否合格，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，乙：110，90，85，115. 计算两个车间质量的方差、标准差，说明哪个车间的产品较稳定. 【答案】答案见解析 【分析】根据数据的平均数与方差和标准差的公式，分别求得甲、乙车间的平均数和方差，比较即可求解. 【详解】由题可知 ，； ， . 所以，. 由于，，所以甲车间的产品较稳定. 17．某校从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行测试，在相同条件下两人各射击10次，命中的环数列表（有部分数据空缺）如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 5 7 7 6 8 6 7 7 乙 7 8 6 8 6 5 9 7 4 已知甲第4次射击比乙第8次射击命中的环数少2环. (1)验证：甲、乙两人命中环数的平均数相等. (2)如果甲、乙两人命中环数的平均数均为7，试求甲第4次和乙第8次射击命中的环数，并决定应选哪一人参加比赛？（说明理由） 【答案】(1)验证过程见解析 (2)选甲参加比赛 【分析】（1）分别表示出甲乙两人命中环数的平均数进行比较. （2）根据两人的方差大小决定参赛人选. 【详解】（1）由题意假设甲第次射击命中环数为，那么乙第次射击命中环数为， 设甲、乙命中环数的平均数分别为、则有 所以，故两人命中环数的平均数相等. （2）因为，所以，,设两人命中环数的方差分别为，. 两人射击命中环数的平均数相同，而甲的方差比乙小，说明甲的射击成绩更稳定，故选甲参加比赛. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $