第90卷 古典概型（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第90卷 古典概型 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（    ） A．取出两球同色 B．取出的两球异色 C．取出的两球至少有一个红球 D．取出的两球至少一个白球 2．连续抛掷同一颗骰子两次，所得点数之积为6的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下表： 长度 以下 以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为（    ） A． B． C． D． 4．从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（    ） A．在有放回简单随机抽样方式下， B．在不放回简单随机抽样方式下， C．在按性别等比例分层抽样方式下， D．在按性别等比例分层抽样方式下， 5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，则乙不输的概率为（    ） A．80% B．60% C．40% D．20% 6．含有两件正品 ， ，和一件次品 的 件产品中每次任取 件，取后不放回，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率为 ．如果将“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率为 ，则有（    ） A． B． C． D．无法确定 7．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 8．从数字1，2，3，4，5中随机抽取一个数字，抽到奇数的概率为（     ） A． B． C． D． 9．某公司产品研发岗有4人，销售组有3人，管理组有2人，若从中选出两人参加产品A的宣传活动，则成员甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 10．一个盒子中装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球，个黄球，现从中随机摸出一个球，记事件摸出红球摸出白球摸出黄球，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为______. 12．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为__________. 13．甲､乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，若采用3局2胜制（无平局），则甲最终获胜的概率为___________. 14．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．将分别标有数字 1，2，3，4，5 的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，随机地抽取一张，是偶数的概率是多少？ 16．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． (1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； (2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 17．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”. (1)写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率； (2)求事件B发生的概率； (3)事件A与事件C至少有一个发生的概率. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第90卷 古典概型 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（    ） A．取出两球同色 B．取出的两球异色 C．取出的两球至少有一个红球 D．取出的两球至少一个白球 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解. 【详解】记事件“取出的两个球都是白球”，事件“取出的两个球是1个白球和1个红球”，事件“取出的两个球都是红球”， 可知事件两两互斥，且样本空间， 对于选项A：因为“取出两球同色”， 即事件“取出两球同色”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故A错误； 对于选项B：因为“取出的两球异色”，即事件互斥且不对立，故B正确； 对于选项C：因为“取出的两球至少有一个红球”， 可知事件A与事件为对立事件，故C错误； 对于选项D：因为“取出的两球至少一个白球”， 即事件“取出的两球至少一个白球”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故D错误； 故选：B. 2．连续抛掷同一颗骰子两次，所得点数之积为6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到基本事件，进而求解. 【详解】点数之积为6有4个基本事件. 总共有36个基本事件. 所以点数之积为6的概率是. 故选：B. 3．某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下表： 长度 以下 以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出合格品的长度区间，从而可求解. 【详解】因为某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品，且, 所以长度在的为合格品， 所以这批产品的不合格率为. 故选:D. 4．从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（    ） A．在有放回简单随机抽样方式下， B．在不放回简单随机抽样方式下， C．在按性别等比例分层抽样方式下， D．在按性别等比例分层抽样方式下， 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】记3名男生为，3名女生为. 对于选项A，有放回简单随机抽样的样本空间为 1 2 3 a b c 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,a) (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) (b,b) (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) (c,c) 共36个样本点，事件有9个样本点，所以，故选项A错误； 对于选项B，不放回简单随机抽样的样本空间为 1 2 3 a b c 1 × (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) × (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) × (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) × (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) × (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) × 共30个样本点，事件有18个样本点，所以，故选项B错误； 对于选项C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以，故选项C错误； 对于选项D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间为，共有9个样本点，事件，所以，故选项D正确. 故选：D. 5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，则乙不输的概率为（    ） A．80% B．60% C．40% D．20% 【答案】B 【分析】乙不输即是和棋或者获胜两种情况可求得结果. 【详解】甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%， 则乙获胜的概率为， 故乙不输的概率有. 故选：B. 6．含有两件正品 ， ，和一件次品 的 件产品中每次任取 件，取后不放回，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率为 ．如果将“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率为 ，则有（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】从三件产品中不放回地抽取两件，有放回地抽取两件，一一列举出来，并分别求出取出的两件产品中恰好有一件次品的概率和，进行判断即可． 【详解】每次任取一件，取后不放回地连续取两次， 其一切可能的结果组成的基本事件为 ，，，，，. 取出的两件中，恰好有一件次品的事件为 ，，，， 所以． 每次取出后有放回地连续取两次， 其一切可能的结果组成的基本事件为 ，，，，， ，，，． 取出的两件中，恰好有一件次品的事件为 ，，，， 所以，所以 ． 故选：A. 7．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 【答案】D 【分析】根据成绩优秀的概率求得，进而求得，结合比例判断出正确答案. 【详解】依题意，解得，由解得. 补全列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 甲班的优秀率为，乙班的优秀率为， ，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 8．从数字1，2，3，4，5中随机抽取一个数字，抽到奇数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型公式即可得解. 【详解】数字1，2，3，4，5，共有个数字，其中奇数的个数为， 从中随机抽取一个数字，抽到奇数的概率为， 故选：. 9．某公司产品研发岗有4人，销售组有3人，管理组有2人，若从中选出两人参加产品A的宣传活动，则成员甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出所有的情况数，再求出满足题意的情况数，最后根据古典概率公式求解即可. 【详解】从9个人当中选出两个人共有种选法，其中甲被选中的情况有种， 故甲被选中的概率为； 故选：C. 10．一个盒子中装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球，个黄球，现从中随机摸出一个球，记事件摸出红球摸出白球摸出黄球，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概率公式求解，再求出. 【详解】根据题意，，解得，则总球数为. 事件和是互斥事件，所以. 因为，，所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为______. 【答案】0.9/ 【分析】利用概率加法公式直接求解. 【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3， ∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：. 故答案为：0.9. 12．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为__________. 【答案】 【分析】先求出总的基本事件，再列举出点数之和是7的基本事件，从而利用古典概型求解即可. 【详解】抛掷两个质地均匀的骰子，总的基本事件有件， 其中点数之和是7的基本事件有，共6件， 则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为. 故答案为：. 13．甲､乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，若采用3局2胜制（无平局），则甲最终获胜的概率为___________. 【答案】0.352/ 【分析】分前两局甲均获胜，和前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，两种情况下求出概率相加即可. 【详解】甲最终获胜分两种情况，一是前两局甲均获胜，二是前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜， 若前两局甲均获胜，概率为， 若前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，则概率为， 故甲最终获胜的概率. 故答案为：0.352 14．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概念公式求解. 【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有种可能：粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子． 设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥， 由已知有，， ∵， ∴， ∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．将分别标有数字 1，2，3，4，5 的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，随机地抽取一张，是偶数的概率是多少？ 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】∵分别标有数字 1，2，3，4，5 的五张卡，其中数字为偶数的有两张， ∴在五张卡中随机地抽取一张，是偶数的概率是. 16．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． (1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； (2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 【答案】(1)0.5 (2)0.64 【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决. （2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解. 【详解】（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输． 则． 因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得 ． 因为， 所以 （2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为， 则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的. 所以 17．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”. (1)写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率； (2)求事件B发生的概率； (3)事件A与事件C至少有一个发生的概率. 【答案】(1)答案见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出该实验的基本空间，再找出“两数之和为8”，事件A包含的基本事件，再由古典概型的概率公式求值即可. （2）（3）根据题意写出基本事件，再由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】（1）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， 共有个基本事件， 基本事件空间为 . 事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有： ，共5个基本事件， 所以事件A发生的概率为. （2）事件B：“两数之和是3的倍数”， 事件B包含的基本事件有， ，共个， 所以事件B发生的概率. （3）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有， 共个，所以事件A与事件C至少有一个发生的概率为. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $