大题专题04 解析几何（讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专项04 解析几何 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 解析几何 利用准线求抛物线方程；直线与抛物线相交，证明斜率和为定值 2026·T28 解答题 8分 由顶点、离心率求双曲线方程；利用四边形面积求弦长 2025·T29 解答题 9分 由准线求抛物线方程；结合坐标向量证明三点共线 2024·T30 解答题 9分 由焦点、离心率求椭圆方程；结合椭圆定义证明线段和为定值 2023·T29 解答题 9分 焦点到直线距离求抛物线；利用抛物线定义求距离和最小值 2022·T28 解答题 8分 命题轨迹透视： 1. 本专题全部为解答大题，包含**抛物线**、**双曲线**、**椭圆**三类圆锥曲线，属于对口升学压轴大题。 2. 第 (1) 小问：以基础量运算为主，利用焦点、准线、顶点、离心率、焦点到直线距离等条件求圆锥曲线标准方程。 3. 第 (2) 小问三大高频考法：①定值证明（斜率、线段长度和为定值）；②位置关系证明（三点共线）；③最值求解；④面积条件下求弦长。经常联立直线与曲线，结合**韦达定理**、圆锥曲线**定义**、向量共线完成解题。 4. 核心工具：韦达定理、圆锥曲线定义、向量共线、两点间距离公式、点到直线距离公式。 1.（2026·江西·真题T28）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 ，准线为 .已知准线 与 轴的交点为. （1）求抛物线 的标准方程； （2）过焦点 作直线与抛物线 交于 两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线中准线和方程的关系求值即可. （2）设过点 的直线 斜率为 ，表示出 的方程，设点，再由斜率公式得出，再联立方程组，结合韦达定理得出，最后化简出的值即可. 【小问1详解】 由已知得抛物线的准线方程为， 所以， 即抛物线 的标准方程为. 【小问2详解】 设过点 的直线 斜率为 ， 因点，所以直线 的方程为， 即，设点， 由，得， 因直线 的方程， 所以， 所以① 联立方程组，消元得， 得代入①得 为定值. 当直线 斜率不存在时，直线方程为 ， 此时不成立，故直线 斜率一定存在. 综上，为定值. 2.（2025·江西·真题T29）已知双曲线方程为，其两顶点距离为，离心率为，且与过原点的直线交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若四边形的面积为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的顶点距离和离心率即可得到双曲线的标准方程； （2）先利用四边形的面积求出点，的坐标，再利用两点间的距离公式求出. 【详解】（1）因为双曲线两顶点距离为， 所以，即， 因为离心率为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的焦距为， 设， 因为，两点关于原点对称，所以. 因为四边形的面积为， 所以 ， 解得. 因为点A在双曲线上，将代入双曲线方程， 得，即， 不妨取， 所以. 3.（2024·江西·真题T30）已知抛物线C：(p>0)的准线为l：y=-1. （1）求抛物线C的标准方程及焦点F坐标； （2）设O为坐标原点，点A是抛物线C上异于O的一点，直线AO与准线l交于点P，过点PB · x y O l A P 作平行于y轴的直线与抛物线C交于点B，证明：A、B、F三点共线.F （第30题图） 【答案】(1)x2=4y，焦点F坐标为(0,1)；(2)见解析. 【解析】(1)因为抛物线x2=2py的准线方程为y=，所以=-1，p=2， 故抛物线C的标准方程为x2=4y，焦点F坐标为(0,1)； (2)证明：设A(,) (y0≠0)，P(,-1)， 所以=(,)，=(,-1)， 因为O，A，P三点共线，有//，·(-1)≡·， 所以，因为BP//y轴，所以=，=2===， 即点B的坐标为(,)，又焦点F(0，1)，所以=(,-1)，=(,-1)， 即//，又，有公共点F，故A、F、B三点共线. 4.（2023·江西·真题T29）已知椭圆C：（），若右焦点F坐标为(2,0)，离心率为.N P O x y Q F M （1）求椭圆的标准方程； （2）若点P、Q是椭圆C上关于原点对称的两个点，M、N分别为PF、QF中点. 求证：为定值. 【答案】(1)；(2)见解析. 【解析】(1)由已知得c=2，，∴a=，∴b=a²-c²=4， 所以椭圆的标准方程为：. (2)取椭圆的左焦点F1，连结PF1，QF1，则四边形PF1QF为平行四边形， ∴PF1=QF， ∴|PF|+|QF|=|PF|+|PF1|=2a， 又∵|OM|+|ON|=(|QF|+|PF|) ∴|OM|+|ON|=(|QF|+|PF|)=a=2为定值. 5.（2022·江西·真题T28）已知抛物线的焦点到直线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）若点A的坐标为，P点在抛物线上，求的最小值. 【答案】(1)x2=4y；(2)4. 【解析】(1)因为抛物线C：的焦点为F(0,)， 所以到直线的距离d==，所以，得p=±2， 因为p>0，所以p=2，故抛物线方程为x2=4y. (2)由(1)知抛物线C的焦点为F(0,1)，准线为m：y=-1. 过点P作准线m的垂线，垂足为Q，则由抛物线定义可知，|PF|=|PQ|， 所以|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，所以当A，P，Q在一条直线上时的值最小， 过点A作准线m的垂线AQ0交抛物线C于P0， 所以|PA|+|PF|≥|AQ0|=yA+=3+1=4. 【知识点 1：椭圆与双曲线】 1. 椭圆核心公式 - 标准方程： - 关系式：；离心率 - 椭圆定义：平面上点到两焦点距离之和。 2. 双曲线核心公式 - 标准方程： - 关系式：；离心率 - 双曲线定义：；两顶点距离2a。 - 常用结论：若\(A、B\)关于原点对称，则，。 【知识点 2：抛物线】 1. 抛物线核心公式 - ：焦点，准线 -：焦点，准线 - 抛物线定义：抛物线上任意一点P，到焦点距离等于到准线距离(|PF|=d)，多用于距离最值转化。 2. 直线与抛物线联立 设直线与抛物线交于,，联立消元，得到一元二次方程，写出韦达定理，用于定值、斜率化简。 3. 证明题型方法 - 三点共线：证明对应向量平行，或者证明两组点斜率相等； - 定值问题：将目标表达式全部转化为，代入韦达定理化简消参。 3.考试实操步骤与做题小办法 圆锥曲线基础计算实操 1. 求标准方程：找准\a,b,c,p\；椭圆、双曲线牢记(a,b,c)关系式；抛物线分清焦点在x轴 /y轴，记准焦点、准线。 2. 离心率：；椭圆(0<e<1)；双曲线(e>1)。 3. 抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，求距离最值优先用定义转化。 直线与圆锥曲线综合实操 1. 设直线：优先设出直线方程，注意讨论**斜率存在、斜率不存在两种情况**，避免漏解。 2. 联立方程：直线与圆锥曲线联立，消元得到一元二次方程；写出判别式，写出韦达定理。 3. 定值证明：把要证明的代数式用代换化简，消去参数得到常数。 4. 三点共线证明：方法①向量共线；方法②斜率相等。 5.综合大题做题实操 1. **拆分小问**：两小问前后关联，第 (1) 问算出曲线方程，第 (2) 问直接使用；第一问出错整题失分。 2. **圈画关键条件**：看到 “关于原点对称”，利用(A、B)坐标互为相反数；涉及焦点，优先联想圆锥曲线定义。 3. **答题规范**：联立方程后写明韦达定理结果；证明题要有完整推导，不能直接写结论；直线务必留意斜率是否存在。 4. 求最值：优先使用圆锥曲线定义做几何转化，减少复杂代数运算。 ①忽略直线斜率不存在的特殊情况，造成漏解； ②椭圆、双曲线(a,b,c)关系式记混，椭圆是，双曲线是； ③抛物线焦点、准线公式记反，p的正负判断错误； ④定值、共线证明只写结果，缺少联立、韦达定理推导步骤丢失步骤分； ⑤第 (2) 小问不使用第 (1) 问求出的曲线方程，重复计算产生错误； ⑥做距离最值题目，不会使用圆锥曲线定义，硬算导致计算复杂出错。 一、解答题 1．（2025高三·江西·专题练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是； (2)准线方程是. 2． （25-26高二上·江西宜春·期中）求以圆的圆心为右焦点、长轴长为8的椭圆的标准方程. 3．（25-26高二上·江西·期末）（1）已知椭圆过点且与椭圆共焦点，求椭圆的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且与曲线有共同渐近线的双曲线方程. 4.（2025高三·江西·专题练习）求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程. 5． （2025高三·江西·专题练习）若抛物线与椭圆有一个共同的焦点，求m的值． 6． （2025高三·江西·专题练习）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 7． （2025高三·江西·专题练习）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的什么条件？ 8．（25-26高三·江西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 9．（25-26高二上·江西·期末）已知为抛物线：的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，且的最小值为． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，求的长． 10．（23-24高三上·江西赣州·开学考试）（如图所示）一条直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，试求： (1)椭圆的标准方程、直线的一般方程； (2)设椭圆的另一焦点为点，直线与椭圆的另一交点为点，求的周长和面积. 11．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知椭圆的长轴长为14，焦点坐标为，椭圆上有一点P，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)求△的面积. 12．（25-26高三·江西·模拟预测）已知双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率； (2)若一条双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程. 13．（25-26高三·江西·模拟预测）已知点，，动点到点，的距离和等于4. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)若曲线与直线相交于A、两点，求弦的长. 14．（25-26高二上·江西·期末）已知点，在抛物线：上，线段的中点为.椭圆的顶点是抛物线的焦点.    (1)求抛物线的方程； (2)若点是直线上的动点，且，求的最小值. 15．（25-26高二上·江西·期末）已知椭圆：的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，使得P为A、B的中点，求直线的方程. 16．（24-25高三下·江西·二模）如图，已知是双曲线的左、右焦点，经过原点的直线与交于两点（在的左支上）．    (1)若点坐标为，且的一条渐近线方程为，求的标准方程； (2)若，且，求双曲线的离心率． 17．（25-26高二上·江西·期中）已知椭圆的一个顶点为，半焦距为，离心率，且直线交椭圆于两点.求： (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长. 18．（24-25高三下·江西宜春·三模）已知直线过点且与抛物线相交于A，B两点，弦AB的中点恰为点. (1)求直线的方程； (2)若为抛物线的焦点，求的面积. 19．（24-25高三下·江西·一模）已知椭圆的一个焦点为， (1)求出椭圆的方程及离心率； (2)经过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求． 20．（25-26高三下·江西·模拟预测）已知，是椭圆的左、右顶点，D为椭圆的上顶点，的面积为，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】根据抛物线定义及标准方程易得答案. 【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上， 设抛物线的标准方程为， 则，可得， 所以抛物线的标准方程为； （2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上， 设抛物线的标准方程为， 则，可得， 因此抛物线的标准方程为． 2．. 【分析】求出圆的圆心坐标，根据题意结合椭圆的几何性质求出值即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 所以椭圆的右焦点为，则， 长轴为8，则， 所以， 则椭圆的标准方程为. 3．（1）（2） 【分析】（1）设椭圆方程为，将点代入即可求出椭圆的标准方程. （2）设双曲线方程为，将点代入方程，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）椭圆中， 因为椭圆过点且与椭圆共焦点，即， 所以设椭圆方程为， 将点代入，得， 解之得，所以椭圆的标准方程为． （2）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为， 将点代入方程，可求得， 所以双曲线方程为． 4． 【分析】根据与椭圆有相同焦点设出所求椭圆的标准方程，再代入点即可得解. 【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为， 又椭圆过点，代入方程得， 解得或(舍去)， 故所求椭圆的标准方程为． 5． 【分析】根据抛物线焦点及椭圆的焦点求解即可. 【详解】由得焦点，． 当焦点为时，抛物线开口向左，∴．∴； 当焦点为时，抛物线开口向右，∴．∴． 综上所述：． 6．答案见解析 【分析】将双曲线方程化为标准形式后，求出后，根据双曲线的性质易得答案. 【详解】双曲线方程可化为：，则双曲线焦点在轴上，，，； ，，， 顶点坐标为；焦点坐标为； 实轴长为；虚轴长为； 离心率；渐近线方程为. 7．充要 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，当，则且，或且， 此时方程表示的曲线一定为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立； 故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件. 8．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义求出即可； （2）根据弦长公式求解即可. 【详解】（1）根据抛物线定义可知，，所以， 即抛物线C的方程. （2）设， 由，得，所以，， 所以．    9．(1). (2). 【分析】（1）设为点到的距离，通过，说明当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，取得最小值，转化求解即可． （2）联立，得，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可． 【详解】（1）设为点到的距离， 则由抛物线定义知，， 所以当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时， 取得最小值， 即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立， 得，、， 显然，，， 所以， 故． 10．(1)， (2)， 【分析】（1）根据焦点和顶点坐标确定的值，再由，求出的值写出椭圆的标准方程，再根据的坐标确定直线的斜率和截距即可得出直线方程. （2）根据椭圆的定义即可求出的周长，再联立方程组求出点坐标，根据三角形面积公式即可求值. 【详解】（1）已知椭圆的一个焦点和一个顶点， 则， 所以椭圆的标准方程为， 则直线的斜率为，在的截距为， 所以直线的方程为，即. （2）已知均为椭圆上的点， 所以的周长， 由（1）可知，椭圆为，直线为， 则联立方程，整理得， 解得或，所以， 所以 . 11．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的长轴和焦点坐标，可求得a和c的值，继而求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）根据题意，结合椭圆的定义、余弦定理，及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为14，焦点坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，椭圆方程为， 所以，又， 所以 ， 所以， 所以. 12．(1)焦点，，顶点，，离心率． (2) 【分析】（1）确定的值，根据双曲线的基本性质求解； （2）所求双曲线方程可设为，代入点的坐标求的值即可. 【详解】（1）∵双曲线， ，即， ∴双曲线的焦点坐标，，顶点坐标，，离心率． （2）∵所求双曲线与已知双曲线有相同的渐近线， ∴设所求双曲线的方程为：， 将代入上式得：，解得：， ∴所求双曲线的方程为：，即. 13．(1)椭圆， (2) 【分析】（1）先根据题意判断出点的轨迹是椭圆，再根据写出标准方程即可； （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求解即可得. 【详解】（1）∵点到两定点，的距离之和为4大于两定点间的距离，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则设其方程为， 则，，即，， 故， ∴点的轨迹方程为. （2）设，， 联立，得， 则有， ∴ ． 14．(1). (2)1. 【分析】（）求得抛物线的焦点，求抛物线方程. （）显然最小，必须垂直于直线，分别过，作，垂直直线，垂足为，，运用梯形的中位线定理，以及三点共线取得最小值，即可得到所求最小值. 【详解】（1）椭圆，化为标准方程为，， 抛物线：，焦点在轴正半轴上， 则抛物线的焦点坐标为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）    分别过点，作，垂直于直线于点，，连接，， 则， 当且仅当直线过焦点，且直线轴时等号成立. 因此的最小值为 15．(1) (2) 【分析】（1）通过椭圆的离心率，过焦点且垂直于长轴的弦长为，求解，，即可得到椭圆方程； （2）设，，利用点差法求直线的斜率，即可得到方程． 【详解】（1）椭圆的离心率为， ，①， 过焦点且垂直于长轴的弦长为，②， ①②联立解得， 椭圆的方程为． （2）由题意，点在椭圆内， 设，则， 可得，即， 又P为A、B的中点，所以， 则，则， 则直线的方程为，即.    16．(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程求出之间的关系，再根据点坐标为求出标准方程. （2）根据双曲线的定义以及题目条件求出双曲线的离心率. 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为，所以. 又因为点在双曲线上，且坐标为，所以. 再将代入，可得，解得，. 从而的标准方程. （2）因为关于原点对称，所以，， 则四边形是平行四边形，所以，. 又因为，，设，则，. 进而在中，， 所以，则. 由双曲线的定义可知，. 所以，则离心率. 17．(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）解法一：联立方程组求出直线与交点坐标代入两点间距离公式即可得解. 解法二：联立方程组结合韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为，椭圆的焦点在轴上， 椭圆的一个顶点为，则， ，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组， 消去得， 解得或， 弦的长度为：. 解法二：将直线与椭圆的方程联立，得方程组，消去得， 由韦达定理得，， 代入弦长公式得. 18．(1). (2). 【分析】（）设出点的坐标结合中点坐标公式及斜率公式即可得解. （）联立方程组结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出焦点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）设， 因为在抛物线上，则， 所以， 因为弦AB的中点恰为点， 所以， 则，所以， 所以直线斜率为，直线方程为即. （2）    如图所示，根据题意作出图像， 直线方程为，设， 联立方程组得， 由韦达定理可知，，， 则， 抛物线焦点在轴正半轴上，且焦点坐标为， 则点到直线的距离为， 则的面积为. 19．(1)， (2) 【分析】（1）由椭圆方程和焦点坐标得的值，再由求出的值，即可得椭圆方程和离心率. （2）由直线与椭圆相交．可联立方程，解得两点坐标，利用两点之间距离公式代入求解． 【详解】（1）由焦点坐标为， 所以椭圆焦点在x轴上，，由椭圆， 可得，所以， 所以椭圆方程为， 其中，， 所以椭圆的离心率为. （2）直线l过右焦点倾斜角为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程，，即 直线与椭圆相交，联立方程得， 消去得，解得， 则方程组的解为，， 即点，点 ． 20．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆中a,b,c，的关系联立，即可求解； （2）先根据点的坐标求出直线斜率，进而求出交点横坐标，即可证明. 【详解】（1）由题意可知，， 得， 离心率，且， 代入得 ， 则 椭圆方程为； （2）由, 直线：经过点， ， 方程为：， 直线：过点， , 方程为：， 联立得的横坐标，· 直线：过点， ， 方程为：， 直线：过点， ， 方程为：， 联立得的横坐标， ， 说明是垂直于x轴的直线，而在x轴上， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $