大题专题03 数列（讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专项03 数列 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 数列 利用与关系求通项，新数列求指定项数的和 2026·T25 解答题 8分 求等比数列通项，对数变形后求和 2025·T27 解答题 8分 求数列指定项，对多公比分类讨论求前 n 项和 2024·T28 解答题 8分 求等差数列前，构造新数列用裂项相消求 2023·T26 解答题 8分 利用等比数列性质求项，求等比数列前 n 项和 2022·T25 解答题 8分 命题轨迹透视： 1. 本专题全部为解答大题，分为等差数列、等比数列两大考点，属于对口升学必考大题。 2. 等差数列：核心为通项公式、前n项和公式；常结合递推式判断公差；会构造新数列，考查裂项相消求和。 3. 等比数列：重点考基本量运算、等比数列性质；由前n项和求通项；公比多解要分类讨论；正项等比数列注意舍去负的公比。 4. 大题设问模式：一般 2 小问，第 (1) 问求通项或者数列中某一项；第 (2) 问构造新数列，求前n项和。 1.（2026·江西·真题T25）在已知数列前 项和， （1）求； （2）记，求数列前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列式结合等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前 项和求值即可. 【小问1详解】 当 时，， 即，，解得， 当 时，， 即得， 解得，即得，因 ， 所以数列是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由已知， 得， 所以， 即. 2.（2025·江西·真题T27）已知数列是各项为正的等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设出公比，根据题给信息列出方程计算即可求解. （2）根据（1）中的得到，计算即可求解. 【详解】（1）因为数列是各项为正的等比数列， 设公比为q， 所以且. 因为，， 所以， 解得或（舍）， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，. 因为， 所以. . 3.（2024·江西·真题T28）已知数列为等比数列，，. （1）求的值； （2）求. 【答案】(1)4；(2)当q=时，S12=63+63；当q=-时，S12=63-63. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为an=a1qn-1，即 8=2q4，所以q2=2，又a5=a3q2=2×2=4； (2)由(1)知q=2，所以q=±，又因为a3=a1q2，得a1=1， 当q=时，S12==63+63； 4.（2023·江西·真题T26）已知在数列{an}中，a1=1，an+1=an+1，Sn为数列{an}的前n项和. （1）求Sn； （2）已知，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知得an+1-an=1，所以数列是首项a1=1，公差为d=1的等差数列， 所以； （2）由，所以， 所以==. 5.（2022·江西·真题T25）已知在等比数列{an}中，. （1）求的值； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）a4=8；（2）Sn=2n-1. 【解析】（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an=a1qn-1， 因为a2·a8=8a6，所以a1q·a1q7=8a1q5，所以a1q3=8，即a4=8； （2） 因为a1=1，所以a4=a1q3=1×q3=8，所以q=2， 所以数列{an}的前n项和Sn==2n-1.. 知识 1：等差数列 1. 等差数列基本量与核心公式 2. 定义式：（d为常数，公差） 3. 通项公式： （已知任意一项求第项） 4. 前项和公式： 5. 重要性质： ①若，则； ②，，仍然成等差数列。 6. 常见数列求和方法 ①公式法：直接套等差数列求和公式，适用于本身就是等差数列的数列。 ②分组求和法：通项拆成几组等差 / 等比，分别求和再相加。 例：，拆成等差数列与等比数列分别求和。 ③裂项相消法（高频考点） 常用裂项模型： 做题步骤：拆项→展开累加→中间项互相抵消→保留首尾有限项，得到前n项和。 知识点 2：等比数列 1. 等比数列基本量与核心公式 2. 定义式：（q为常数，公比，，每一项不为 0） 3. 通项公式： （已知任意一项求第n项） 4. 前项和公式（务必区分与） 5. 重要性质： ①若，则； ②，，成等比数列（）； ③正项等比数列：，公比，计算出负公比要舍去。 6. 求数列通项通用方法（等差、等比均适用） 求出的表达式后，必须把代入检验，看是否和相等；不相等写成分段形式。 7. 常见数列求和方法 ①公式法：直接套用等比数列求和公式，注意讨论q=1特殊情况。 ②分组求和法：通项拆分为等差 + 等比，分别求和再合并。 例：，等差部分用等差公式，等比部分用等比公式。 ③错位相减法（重要拓展）：适用于等差 × 等比型数列，通项形式。 做题步骤：写出；两边同乘公比q；两式错位相减；整理化简得到和。 ④倒序相加法：适用于首末相加为定值的数列，考试出现频次较低，了解思路。 ①利用求通项，忘记单独计算n=1，也不检验首项是否符合的表达式； ②使用等差、等比下标性质时，不核对下标和是否相等，直接套用公式造成错误； ③等比数列求和忽略q=1的特殊情况，直接使用的求和公式； ④遇到正项等比数列，没有舍去计算得到的负公比； ⑤裂项相消、错位相减运算过程中符号处理出错，漏写系数； ⑥做第二小问，不使用第 (1) 问已经求出的通项，重复计算引发结果错误。 一、解答题 1．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知等差数列，求出这个数列的通项公式. 2．（24-25高二下·江西·期末）已知在数列中，前n项和．求： (1)通项公式； (2)的值． 3．（2020高三·江西·学业考试）已知为等比数列，且． (1)求； (2)记为的前n项和，求． 4．（22-23高三·江西·模拟预测）在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（22-23高三·江西·模拟预测）在数列中，，，且（）. (1)求，的值； (2)求数列的前项和. 6．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列中，且. (1)求，，，的值； (2)猜想的通项公式． 7．（2025高三·江西·专题练习）已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 8．（21-22高三上·江西九江·模拟预测）已知数列的前n项和， (1)求该数列的通项公式； (2)求该数列所有正数项的和． 9．（25-26高二下·江西·期中）已知为等比数列且，. (1)求数列的通项公式； (2)记为的前项和，求. 10．（24-25高三上·江西吉安·阶段检测）已知数列. (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)63是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 11．（23-24高三上·江西·期末）已知为等比数列，，且成等差数列． (1)求； (2)设，求的前n项和． 12．（22-23高二下·江西·期末）已知数列是等差数列，为其前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 13．（25-26高三下·江西·三模）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 14．（23-24高三下·江西·模拟预测）已知为数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 15．（20-21高三·江西九江·模拟预测）设数列的首项，且. (1)求； (2)若前项和，求的最小值； (3)求的最小值. 16．（24-25高三下·江西·三模）设为等差数列，其前n项和为．已知，且． (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 17．（24-25高三上·江西·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知. (1)求和； (2)设，求数列的前项和. 18．（24-25高三下·江西·二模）已知等差数列的公差为2，且恰为等比数列的前3项． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 19．（24-25高二下·江西·期末）在等差数列中，，，设．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和． 20．（25-26高三·江西·模拟预测）在等差数列中，已知且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 参考答案： 1． 【分析】根据等差数列的通项公式求值即可. 【详解】已知等差数列， 其首项为，公差， 所以. 2．(1) (2) 【分析】（1）（2）根据数列与之间的关系即可解得. 【详解】（1）已知，当时，； 当时，， 且当时，，得出． （2）． 3．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比即可求解. （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等比数列，且， 则， 解得， 所以. （2）因为， 所以. 4．(1) (2) 【分析】（1）由数列递推式易得为等比数列，求出基本量，即可写出通项公式； （2）利用等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）因为，则，所以， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以. 5．(1) (2) 【分析】（1）由，可知，数列是等差数列，于是，进而求得数列的通项公式，据此可求解； （2）由（1）中结论，根据等差数列的求和公式可求解. 【详解】（1）由，可知， 数列是等差数列，且公差. 故， 所以； （2）由（1）知， . 6．(1),,, (2) 【分析】（1）根据递推公式逐项计算即可. （2）观察每一项的变化规律，从分数的形式猜想公式即可. 【详解】（1）因为，， 所以，，，. （2）由（1）猜想，代入，可得，等式成立. 所以. 7．(1). (2)10. 【分析】（）设出等差数列的公差，结合等差数列的通项公式求出公差即可得解. （）根据题意结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 所以. （2）， 因为，所以， 解得或，因为，所以． 8．(1) (2)26． 【分析】（1）根据即可求得数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式求出数列的正数项即可求出数列正数项的和. 【详解】（1）时，． 时，． 因为时，． 所以． （2）由（1）得 ； ； ； ； ； ． 所有正数项的和为26． 9．(1) (2) 【分析】（1）首先求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）因为为等比数列且， 所以，可得，即， 所以. （2）由（1）得，， 所以. 10．(1) (2)是，第7项 【分析】（1）代入和即可求解. （2）令即可求解. 【详解】（1）由题意，，. 即第8项和第20项分别为. （2）令，则. 因为，解得，即63是这个数列中的项，且为第7项. 11．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的性质，得到等比数列的首项和公差，即可得到通项. （2）根据等差数列，等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等比数列，，且成等差数列， 所以，即， 得到，解得（不合题意，舍去）, 则，公比， 所以. （2）由（1）得， 则. 故 . 12．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式与求和公式，解方程可得公差d，进而可求通项公式； （2）求得，可知数列是以首项，公比的等比数列，据此可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，可得， ，即，解得， 所以的通项公式：； （2）由（1）可知，， 因为，所以数列是以首项，公比的等比数列， 所以数列的前n项和. 13．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列，等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设公比为，由，得，，． 则，解得，，所以数列的通项公式． （2）由（1）得， 则． 14．(1) (2) 【分析】（1）根据，求值即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）已知为数列的前项和，且， 则当时，， 当时， 又满足上式， 所以． （2）因为 ， 所以的前项和 . 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据可知数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前项和公式列出一元二次不等式即可求解； （3）根据数列的单调性和正负项即可求解. 【详解】（1），， 数列是以为首项，8为公差的等差数列， . （2）， 或（舍去）， 的最小值是27. （3）因为，所以数列为单调递增数列， ，， 当时，是负数；当时，是正数； 当时，取得最小值， 最小值为. 16．(1) (2)8． 【分析】（1）根据求出公差，再根据等差数列的通项公式求解. （2）首先求出等差数列的前n项和，再代入，求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设公差为d，由得，，即，则． ． （2）由整理得 ，解得（舍去）或． 故n的最小值为8． 17．(1) (2) 【分析】（1）首先根据已知条件求出，进而求出和. （2）先将的表达式代入，再利用裂项相消法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 则， 得， 解得，， 所以， . （2）因为. 那么 ， 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出等式，求出等边数列的通项公式. （2）首先求出数列的通项公式，再根据等差数列与等边数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）已知等差数列的公差为2，则，. 因为恰为等比数列的前3项，可得， 化简得，解得.所以， 则等比数列的首项，公比. 根据等比数列通项公式，可得. （2）由（1）可知，又， 所以. . 其中，. 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的前项和公式结合已知条件求出公差，即可求出等差数列的通项公式. （2）由得，根据等比数列的定义和前n项和公式即可求解. 【详解】（1）等差数列中，，设等差数列的公差为d， 因为在等差数列中，， 解得， 所以数列的通项公式为． （2）因为，所以，则， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的前n项和为． 20．(1) (2) 【分析】（1）先求解等差数列的首项和公差，再由等差数列的通项公式求解即可； （2）先表示出数列，再根据裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵且， 则，解得， ； （2）， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $