大题专题02 三角函数及解三角形（讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专项02 三角函数及解三角形 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数 由图像求）解析式，求最值与对应 x 集合 2025·T25 解答题 8分 由图像求周期、参数，计算函数特定点函数值 2023·T25 解答题 8分 解三角形 正弦定理求角，余弦定理求边，计算三角形面积 2026·T26 解答题 8分 余弦定理求边长，利用面积公式求边上的高 2024·T25 解答题 8分 正弦定理求角（多解取舍），再求三角形面积 2022·T26 解答题 8分 命题轨迹透视： 1. 本专题全部为解答大题，分为正余弦型三角函数、解三角形两大模块，是三校生对口升学高频必考大题。 2. 正余弦型三角函数：重点考查，由图像读取振幅A、求周期T，计算，代入点求初相；求解函数最值以及取到最值时自变量的取值集合。 3. 解三角形：以正弦定理、余弦定理为核心工具；常考求角、求边长、求面积、求边上的高；正弦定理求角要注意多解取舍，根据大边对大角排除不符合的解。 4. 大题设问模式：一般设置 2 小问；第 (1) 问求解析式 / 求角度；第 (2) 问求最值、函数值、边长或者面积。 考点01 三角函数 1.（2025·江西·真题T25）已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的最值可求得A的值，结合函数的最小正周期可求得的值，将点代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得最值，及对应x的取值集合. 【详解】（1）由图像可知，，最小正周期， 解得； 所以函数解析式为， 将点代入函数解析式为， 所以，即， 解得， 又，所以， 所以正弦函数解析式为； （2）由（1）知，正弦函数解析式为， 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，解得， 即函数最小值为，取得最小值时对应x的取值集合为. 2.（2023·江西·真题T25）已知函数（>0，）的部分图象如图所示. （1）求函数的最小正周期； （2）求的值. 【答案】（1）π；（2）. 【解析】（1）由图象知T=2×()=π； （2）∵T=π，∴ω===2，∴f(x)=sin(2x+φ)， 将(,0)代入，得sin(+φ)=0，∴+φ=2kπ（k∈Z），即φ=+2kπ（k∈Z）， 又∵|φ|<，∴φ=，∴f(x)=sin(2x)，∴f()=sin(2×-)=sin()=. 1. 正弦型函数解析式求解 由图像确定振幅A，求出周期T计算，代入图像上的点，结合限定条件求出初相，得到。 2. 正弦型函数图像与最值 利用正弦函数值域[-1,1]求函数最大、最小值；令相位取对应最值，求解取得最值时x的取值集合；也可代入自变量计算函数值。 3. 正弦型三角函数做题实操 1. 求A：观察图像最高点、最低点，振幅。 2. 求周期T：从图像读出四分之一周期、半周期，算出完整周期；再由计算。 3. 求：将图像上已知点代入解析式，结合等限制条件，解出初相。 4. 求最值对应集合：令取最值对应的相位，解出x，结果必须写成集合形式。 ①周期计算出错，导致计算错误； ②求解忽略题目给出的角度范围，保留不符合条件的解； ③求取得最值的自变量，最终结果没有写成集合形 一、解答题 1．（2025高三·江西·专题练习）将函数的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式． 2．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知函数的部分图像如图所示，    (1)求最小正周期 (2)求 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段检测）某同学将函数的图像先往左平移了个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍得到了函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 4．（25-26高三下·江西·三模）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求与的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 5．（24-25高二下·江西抚州·期中）已知函数（其中，）的最小正周期为.求： (1)； (2)； (3)的最大值，并指出当为何值时，函数取得最大值. 6．（24-25高二下·江西·期中）设函数（），． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最大值． 7．（24-25高二下·江西·期中）函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的最大值，并求出自变量x相应的取值集合． 8．（2025高三·江西·专题练习）已知函数． (1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合； (2)判断函数的奇偶性． 9．（24-25高三下·江西·二模）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域． 10．（23-24高三上·江西·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的最小正周期T； (2)求使取得最小值的x的集合 参考答案： 1． 【分析】根据正弦型函数的图像变换即可得解. 【详解】将函数图像上所有的点的横坐标伸长为原来的倍后得到， 再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半得到． 2．(1) (2) 【分析】（1）由正弦型函数的图像及周期即可得解； （2）先根据正弦型函数的图像求出函数的解析式，再代入求值即可. 【详解】（1）由图像可知，， 所以. （2）由（1）知，，故， 因为在函数的图像上，代入， 得，且， 所以， 所以函数的解析式为， 所以. 3．(1) (2)最大值；最小值1 【分析】（1）利用正弦型函数的平移变化规律求解析式即可； （2）求出的范围，然后利用正弦函数单调性求值域，即可求最值. 【详解】（1）函数的图像先往左平移了个单位，得到了， 再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍得到了，. （2）因为，可知， 由正弦函数单调性可知，在时为增函数， ，， 在时为减函数函数，，， 则函数在区间上的值域为， 则函数在区间上的最大值；最小值1. 4．(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）通过分析图像中的关键点坐标，根据正弦函数的最值和最小正周期，即可求解； （2）根据正弦函数的单调性，在定区间即可求解最大值与最小值. 【详解】（1）由图可知，函数的最高点纵坐标为1， 又因为，则； 观察图像，． （2）根据（1）知， 当时，， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减， 当时，函数 ，取得最大值， 当时，函数， 当时，函数， ， 所以函数的最小值为. 即在区间上的最大值为1，最小值为． 5．(1)2 (2) (3)时，函数取得最大值，最大值为2 【分析】（1）利用辅助角公式、特殊角的三角函数值和周期公式化简求解即可； （2）将代入到第（1）问化简后的函数解析式，求解即可； （3）根据正弦型函数的性质分析求解即可. 【详解】（1） ， 又因为的最小正周期为， 所以. （2）由（1）知， 所以 . （3）由正弦型函数的性质可知， 当，即时， 函数取得最大值，此时， 所以最大值为2. 6．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数的和角公式，二倍角公式和辅助角公式，化简式子进而得到最小正周期； （2）首先确定的范围，再确定函数的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）由可得， 因此当即时，函数取得最大值. 7．(1) (2)1； 【分析】（1）由函数图像可知，即可求得的值，由函数图像可知函数过点，即可求得，从而得解； （2）由正弦函数的性质即可求得函数的最大值，令，即可求出自变量x相应的取值集合. 【详解】（1）由函数图像可知， 又函数图像可知函数的个周期为，则函数周期为， 由周期公式，又，则， 所以函数，又函数过点，即， 得到，解得， 又，所以， 所以. （2）因为，所以函的最大值为1， ，即，函数取的最大值， 所以自变量x相应的取值集合为. 8．(1)答案见解析 (2)奇函数 【分析】（1）利用诱导公式化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质求解； （2）根据函数的奇偶性的定义判断. 【详解】（1）， 令，，即，， 令，，即，， 故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为， 令，，即，时，函数取得最大值； 令，，即，时，函数取得最小值， 所以函数取得最大值时自变量的集合是， 函数取得最小值时自变量的集合是. （2）函数的定义域为R，记， ， 故函数为奇函数． 9．(1) (2) 【分析】（1）根据图形先求,再代入点求，得到函数的解析式. （2）根据（1）的解析式以及正弦函数的值域求解. 【详解】（1）根据图像得，最大值为2，所以. 周期T满足，即周期，解得. 则. 因为，所以. 又因为，所以. 进而函数. （2）当，则当，即时，. 当，即时，. 所以函数在上的值域为. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据图像可求解函数最小正周期. （2）根据图像中的最小值和最小正周期求解和的值，将图像上的点代入求解的值，得出函数解析式，运用整体法即可求出使取得最小值的x的集合. 【详解】（1）由图像可知，， 所以， 即函数的最小正周期. （2）由图像可知，最大值为，即， 由（1）可得，，可得， 则，将点代入， 得，即， 则， 因为，所以， 即， 令， 解得， 所以当时，取得最小值， 即使取得最小值的x的集合为. 考点02 解三角形 1.（2026·江西·真题26）已知在 的三边分别为，且， （1）求 ； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及已知得， 即得，即，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即得， 即为，解得 ，所以， 因此. 2．（2024·江西·真题T25）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=60°. （1）求； （2）求AB边上的高. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)； (2)由余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC=32+22-2×3×2×=7，所以c=， 设AB边上的高为h，所以，故AB边上的高h=. 3.（2022·江西·真题T26）在中，角所对的边分别为，若. （1）求的大小；（2）若，，求的面积. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）在△ABC中，因为 = =2b，所以sinB=，因为0<B<π，所以B=或； （2）因为a=2，b=1，所以A>B，所以B=， 因为 = = =2b，即 =2，所以sinA=1， 因为0<A<π，所以A=，C=， 所以S△ABC=absinC=×2×1×=. 所以m的取值范围是(1,3). 1. 正弦定理应用 边角互化；已知边和对角求角，结合三角形内角范围，利用大边对大角完成多解取舍。 2. 余弦定理应用 已知两边及夹角求边长，已知三边求内角，准确记忆余弦定理公式，注意公式符号。 3. 三角形面积与边上的高 熟练运用面积公式；借助面积公式逆向求解三角形某一边上的高。 4. 解三角形做题实操 1. 正弦定理：，实现边角互相转化；算出角度后用大边对大角判断，对多解进行取舍。 2. 余弦定理：，已知两边夹角求边；已知三边求角。 3. 面积公式：；求边上的高利用反推高。 ①正弦定理算出两个角度，不做取舍直接全部保留； ②余弦定理公式记忆混淆，符号出错； ③第二问没有复用第一问算出的边、角条件，重复计算引发错误；解题不书写定理原始公式，直接代入数字丢失步骤分 一、解答题 1．（24-25高二下·江西抚州·期中）在中，，，，求的面积. 2．（24-25高二下·江西赣州·阶段检测）中，已知 (1)求的角度； (2)若，求的面积？ 3．（23-24高二下·江西赣州·期中）在中，角 所对的边分别为 ，且 ，， (1)求 的面积； (2)求边长 及 的值. 4．（23-24高二下·江西南昌·阶段检测）在中，． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长． 5．（24-25高三上·江西吉安·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 6．（24-25高三下·江西·三模）在中，，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求，的值. 7．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 8．（25-26高二下·江西·期中）在中，、、所对的边分别为、、，若.求： (1)求的大小； (2)若，，求的面积. 9．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． (1)求A； (2)若面积为，求边上中线的长． 10．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，． (1)若，求的值和的面积； (2)在（1）的条件下，求的值； 参考答案： 1． 【分析】根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意得，在中，，，， 则. 2．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦公式，即可求解. （2）利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 因为是三角形的内角，所以不等于零， 所以， 因为， 所以. （2）由题意及（1）知，， 所以由正弦定理得. 3．(1) (2)； 【分析】（1）由求得，再代三角形面积公式计算即可. （2）由余弦定理求得边长 ，再由正弦定理求 的值. 【详解】（1）在中，，， ，则， ， . （2）由余弦定理可得： ，则， 由正弦定理可得：，解得. 4．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合正弦和角公式和诱导公式即可解得. （2）根据三角形面积公式和余弦定理列出等式即可解得. 【详解】（1）由正弦定理可化为， 则，又知在中，， 则，所以， 又知，故． （2）由于，则， 又，即， 解得，所以，则， 所以的周长为． 5．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合同角三角函数的商数关系整理可得，即可求出. （2）由余弦定理求出，进而利用面积公式即可求出答案. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以. （2）由（1）可得，且， 由余弦定理， 可得，可化为，解得， 故. 6．(1) (2) 【分析】（1）由求出，再利用正弦定理求； （2）由条件利用三角形面积公式求出，进而由余弦定理求得. 【详解】（1）因为，又， 所以. 又，， 由正弦定理得. （2）因为， 所以，解得. 由余弦定理得， 所以. 7．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合诱导公式，三角形的性质即可求解. （2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理，可得， 则， 因为，，即，所以. （2）因为， 由余弦定理可得， 解得，所以的面积为. 8．(1)或. (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. （）根据三角形的性质确定，利用正弦定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）在中，因为，又，则， 所以，因为， 所以或. （2）因为，，则，所以，即， 因为，即，则， 因为，所以，， 所以. 9．(1). (2)． 【分析】（1）根据正弦定理以及题目条件求解即可. （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 所以， 因为A，B，C的为三角形内角，所以或， 又，所以，即， 又因为，所以. （2）依题意，因为，所以， 则，解得， 设边的中点为，所以，， 所以在中，由余弦定理知 ， 所以边上中线的长． 10．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理列式算出a，利用同角三角函数的基本关系算出，结合三角形的面积公式算出答案. （2）先由二倍角的三角函数公式算出，，再根据两角和的余弦公式算出的值. 【详解】（1）在中，有余弦定理得， 化简得，解得或 （舍），所以. 因为，，，得. 所以的面积=. （2）因为，， 所以，， 所以==. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $