福建省龙岩第一中学2026-2027学年高二上学期数学周末作业9.30

龙岩一中2028届高二上学期数学周末作业2026.9.30 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则    A. B. C. 16 D. 18 2.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是    A. B. 或 C. D. 3.数列中，，，则(    ) A. 32 B. 62 C. 63 D. 64 4.已知点关于直线对称的点Q在圆外，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 5.已知圆：，圆：，其中a，，若两圆外切，则的取值范围为    A. B. C. D. 6.已知圆，圆，点M、N分别是圆E、圆F上的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是    A. B. C. 7 D. 9 7.已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.若数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”.下列结论正确的个数是(    ) ①若，则为“回旋数列”; ②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”; ③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则 ④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆，直线，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是  A. 直线l恒过定点 B. 的最小值为4 C. 的取值范围为 D. 当最小时，其余弦值为 10.数列的前n项和为，若，，则    A. 数列是公比为2的等比数列 B. C. 既无最大值也无最小值 D. 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是    A. C的方程为 B. 在x轴上存在异于点A，B的两定点D，E，使得 C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是的平分线 D. 在C上存在点M，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为          . 13.如图，在正方形ABCD中，，以点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，在边BC上取线段，在边DC的延长线上取，直线AE与BF相交于点若A，B，C，M四点共圆，则          . 14.已知动圆N经过点及原点O，点P是圆N与圆的一个公共点，则当最小时，圆N的半径为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知圆C过，两点，且圆心C在直线上． 求圆C的方程； 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程． 16.本小题15分 已知数列满足，， 证明：数列为等差数列； 求数列的前n项和 17.本小题15分 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． 求圆C的标准方程； 直线l：与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 18.本小题17分 已知数列的前n项和为，， 证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 求数列的前n项和； 若对任意恒成立.求实数的取值范围. 19.本小题17分 已知A，B是圆与x轴的交点，P为直线上的动点，T为上的动点. 判断圆C与圆的公切线条数，并说明理由; 如图过点T作圆C的切线，切点为E，F，当最小时，求直线EF的方程; 如图，PB与圆C的另一个交点分别为M，直线MN是否过定点，若过定点则求出定点坐标，若不过定点，请说明理由. 龙岩一中2028届高二上学期数学周末作业参考答案2026.9.30 1·8 CBCC CDAB 9. ABC 10. BD 11. BC 12.   13. 1  14. 5  8.【解析】①由可得，由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；②当时，，，由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列”，故②错误；③是等差数列，故，，因为数列是“回旋数列”，所以，即，其中为非负整数，所以要保证恒为整数，故d为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；④由①可得当时，为“回旋数列”，取，，显然不存在m，使得，故④错误．故选 10【解答】解：令，知，结合，知，， ，但，，， 故，， 故A错误，B正确;，时， 所以无最小值，有最大值，C错误;，D正确. 11.【解析】如图，设点，则，化简整理得，即，故A错误.假设在x轴上存在异于点A，B的两定点D，E，使得，设，，则，化简整理得，由点P的轨迹方程为，得解得或因为点D，E异于点A，B，所以，，所以假设成立，故B正确.由于，，要证，只需证明，即证，化简整理得又，所以，，所以，故C正确.假设存在，由，得，整理得  ①，又点M在C上，所以  ②，联立①②，解得，无实数解，故D错误. 12.【解析】因为的顶点坐标为，，，则的重心，显然的外心M在线段AC的中垂线上.设，由，得，解得，即点，直线，化简整理得，所以的欧拉线的方程为 13.【解析】由题可知，，，，，，设过点A，B，C三点的圆的一般方程为，则故该圆的一般方程为另解  由正方形的性质知过点A，B，C三点的圆即以AC为直径的圆，则圆心为，半径为，故圆的方程为，即又，，所以直线AE的方程为，直线BF的方程为，联立故因为A，B，C，M四点共圆，所以点M在圆上，所以，解得 14.解：由题意得圆M的圆心为，半径为2， 设，圆N的半径为R，在中，，即 当圆N与圆M外切时，，即，解得， 此时OA为圆N的直径，所以 当最小时，最小，R最大，此时圆N与圆M内切. 所以，解得，故圆N的半径 15.【答案】解：线段MN的中点D的坐标为，直线MN的斜率为，所以线段MN的垂直平分线的斜率为1，所以线段MN的垂直平分线的方程为，即由解得，，所以，，所以圆C的标准方程为 设，，由于P是线段AB的中点，又，则即所以，将点A的坐标代入圆C的方程得，整理得点P的轨迹方程为 16.【答案】解：由，得，即， 得，所以数列为等差数列； 设数列的公差为d，则， 得，故， 则， 所以   17.【答案】解：由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离负值舍去， 所以圆 C的标准方程为： ①将直线l代入圆的方程可得：，因为直线与圆有两个交点， 所以，即k的取值范围是 ②证明：设，由根与系数的关系得， 则 所以直线OA，OB斜率之和为定值，即得证. 18.【答案】解：证明：数列的前n项和为， ，，由，两边同时除以， 可得，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列， 由等差数列的通项公式可得，所以； 由， 可得， 所以，所以； 若对任意恒成立，即有， 整理得恒成立，令， 则， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的最小值为，综上，， 即实数的取值范围是  19.【答案】解：由圆，得圆心，半径， 圆整理为标准方程为，圆心，半径，，，所以圆C与圆D外切，所以公切线有3条； 设点T的坐标为，满足，即， 因为TE和TF是圆C的切线，所以，， 四边形OETF的面积可以表示为：， 其中，， 另一方面，四边形OETF的面积也可以表示为：， 所以，所以， 点O到直线的距离为：， 当OT垂直于直线时，取最小值，所以直线OT的斜率为1，方程为， 解方程组：，得，，所以点T的坐标为， 则以OT为直径的圆方程为，即x22， 直线EF是圆与圆x22的公共弦， 两方程相减可得，即，所以直线EF的方程为； 设，当时，设直线AP的方程为，直线BP的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线MN的斜率， 则直线MN的方程为， 即，所以直线恒过定点； 当时，M与B点重合，N与A点重合，此时MN的直线方程为，直线过点， 综上所述：直线 MN恒过定点  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $