大题专题04 解析几何（B卷·能力提升）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专题04 解析几何 （B卷·能力提升） 一、解答题 1．（2023高三·江西·学业考试）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于、两点，求线段的中点到右焦点的距离. 2． （22-23高三·江西九江·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8，求椭圆的标准方程及离心率. 3． （24-25高二上·江西赣州·期中）焦点为和，虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 4． （23-24高二上·江西吉安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，求实数m的值． 5．（20-21高三·江西九江·模拟预测）已知是焦点在轴，且长轴长为4的椭圆上短轴的顶点，、为椭圆两焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)求直线被椭圆所截得的弦长. 6．已知椭圆的离心率为，短轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作弦且弦被点P平分，求此弦所在的直线方程． 7．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知双曲线 的焦距为12，双曲线上一点M 的坐标为.求： (1)双曲线C的焦点坐标； (2)双曲线C的方程. 8．（24-25高二上·江西赣州·期中）已知抛物线与双曲线有一个共同的焦点，求： (1)实数的值； (2)双曲线的离心率； (3)双曲线的渐近线方程. 9．（22-23高三·江西·模拟预测）已知直线与椭圆交于A、B两点，求： (1)AB线段的中点坐标； (2)线段AB的长度． 10．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C的焦点为 ，椭圆上的一点坐标，求： (1)椭圆的标准方程； (2)过点Q且斜率为的直线l交椭圆另一个点P，求点P的坐标. 11．（23-24高二上·江西·期末）已知双曲线（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求过双曲线C的右焦点F且垂直渐近线m的直线l的方程． 12．（22-23高三上·江西·阶段检测）已知双曲线过点，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，点为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，.求的定值. 13．（23-24高二上·江西赣州·阶段检测）已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求点P的坐标． 14． （22-23高三·江西·模拟预测）给定双曲线过点能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q且点是线段的中点，若直线存在，求出它的方程，若不存在说明理由． 15．（21-22高三下·江西·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与圆O：交于M，N两点，求的取值范围. 16．（22-23高二下·江西抚州·阶段检测）已知椭圆的中心在原点，过点，焦距为，且椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为，求： (1)椭圆的标准方程； (2)直线的一般式方程． 17．（25-26高二上·江西·期中）已知直线过抛物线的焦点. (1)求的值，并写出直线的一般式方程； (2)判断抛物线与直线是否有交点. 18．（22-23高二下·江西·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程． 19．（22-23高三·江西·模拟预测）已知椭圆的离心率是,长轴长是． (1)求椭圆的方程. (2)设过点的直线与曲线交于两点,以线段为直径,试问:该圆能否经过坐标原点?若能请写出此时直线的方程,并证明你的结论,若不能请说明理由. 20．（23-24高三上·江西九江·模拟预测）已知一动点到两定点的距离之和恒为10. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线l与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专题04 解析几何 （B卷·能力提升） 一、解答题 1．（2023高三·江西·学业考试）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于、两点，求线段的中点到右焦点的距离. 【答案】 【分析】先由双曲线方程求出右焦点的坐标，再利用点斜式求出直线方程，将直线方程代入双曲线方程得到关于的二次方程，利用韦达定理求得中点坐标，从而利用两点之间的距离公式即可得解. 【详解】由双曲线可知，， 所以，右焦点， 又直线的倾斜角为可知斜率， 所以直线的方程为，将其代入， 得， 化简为， 设，， 根据韦达定理可知，， 又由， 则， 由线段的中点为可知中点坐标为. 所以， 所以线段的中点到右焦点的距离为. 2．（22-23高三·江西九江·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8，求椭圆的标准方程及离心率. 【答案】，. 【分析】先根据椭圆上的点到两个焦点的距离之和即为长轴之长以及计算出椭圆的标准方程，再根据求得离心率即可. 【详解】已知椭圆焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由椭圆的焦点为，可知，，， 又椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8， 所以，计算得，， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程为，离心率. 3．（24-25高二上·江西赣州·期中）焦点为和，虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】由题意可知双曲线的焦点在轴，半焦距，半虚轴长，再根据求得半实轴长的值，进而可得双曲线的标准方程. 【详解】由双曲线的焦点为和，虚轴长为6可知： 双曲线焦点在轴，， 所以，，则， 因此双曲线的标准方程为：. 4．（23-24高二上·江西吉安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据椭圆的离心率为列式求出的值即可. 【详解】因为椭圆的离心率为， 因为，所以， 由， 解得. 5．（20-21高三·江西九江·模拟预测）已知是焦点在轴，且长轴长为4的椭圆上短轴的顶点，、为椭圆两焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)求直线被椭圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，再由长轴长确定的值，再由，得出是等腰直角三角形，再根据勾股定理和，求出的值即可. （2）设直线与椭圆相交于、两点，且，，再联立直线方程与椭圆方程，整理得，再由韦达定理得出，的值，最后由弦长公式求值即可. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由于长轴长为4，则，解得， 又是椭圆上顶点，、为椭圆两焦点，且， 则是等腰直角三角形，且为直角顶点， 由，得， 又，所以，解得， 所以， 则椭圆方程为. （2）设直线与椭圆相交于，两点， 且，，由（1）可得，椭圆方程为， 联立，消并整理可得，， 则，， 所以， 即直线被椭圆所截得的弦长为. 6．已知椭圆的离心率为，短轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作弦且弦被点P平分，求此弦所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴长求出答案. （2）利用点差法求直线的方程. 【详解】（1）因为,由题意得, 所以解得, 所以椭圆的标准方程为. （2）设过点作弦且弦与椭圆交于、两点,,直线的斜率为 所以得, 因为, 两式作差得, 即, 所以, 所以此弦所在的直线方程为. 7．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知双曲线 的焦距为12，双曲线上一点M 的坐标为.求： (1)双曲线C的焦点坐标； (2)双曲线C的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先根据双曲线得方程判断出焦点位于轴上，然后依据焦距得大小即可得出焦点坐标. (2)根据焦距确定的值，再根据公式及代入点的坐标即可求解. 【详解】（1）根据双曲线的标准方程可得：双曲线焦点位于轴上， 焦点坐标为： . （2）因为双曲线上一点M的坐标为，代入可得， ，解得： ， 所以双曲线得方程为： . 8．（24-25高二上·江西赣州·期中）已知抛物线与双曲线有一个共同的焦点，求： (1)实数的值； (2)双曲线的离心率； (3)双曲线的渐近线方程. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线的一个焦点坐标即可得解. （）由（）可求出双曲线方程结合离心率公式即可得解. （）结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】（1）抛物线焦点在轴正半轴上，且，所以焦点为， 所以双曲线的一个焦点为，则， 解得. （2）由（）可知，双曲线方程为，得出， 离心率. （3）双曲线，，， 所以渐近线方程为. 9．（22-23高三·江西·模拟预测）已知直线与椭圆交于A、B两点，求： (1)AB线段的中点坐标； (2)线段AB的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把直线方程代入椭圆方程化简，利用韦达定理求出中点坐标. （2）用弦长公式求出弦长即可. 【详解】（1）设， 联立方程，消去y得， 则， 又由得， 则AB线段的中点横坐标为，纵坐标为， 则AB线段的中点坐标为. （2）由（1）得， 则 ， 所以线段AB的长度为. 10．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C的焦点为 ，椭圆上的一点坐标，求： (1)椭圆的标准方程； (2)过点Q且斜率为的直线l交椭圆另一个点P，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意得，由在椭圆上，可得，解方程可得，进而求得椭圆的标准方程； （2）先求出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，得到一元二次方程，利用韦达定理，可得点P的横坐标，进而得到点P的坐标. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意得， 由在椭圆上，可得， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）过点且斜率为的直线l的方程为， 即， 联立，得，消去y，得， 解得或， 由，可得， 即点P的坐标为. 11．（23-24高二上·江西·期末）已知双曲线（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求过双曲线C的右焦点F且垂直渐近线m的直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据右焦点坐标可知，再由点到直线的距离公式列方程可求出的值，再由求出即可写出双曲线的标准方程. （2）由（1）可知直线m的斜率，根据两直线垂直有求出直线l的斜率，再将点和斜率代入点斜式，最后化成一般式即可. 【详解】（1）由右焦点为， 则在双曲线C中，，. 由，得， 则右焦点到一条渐近线的距离为1 可得，即， 解得，. 故双曲线C的标准方程为. （2）由（1）得直线m的斜率， 设直线l的斜率为，由渐近线m与直线l垂直， 可得，，解得． 将点和斜率代入点斜式，     直线l的方程为：，即. 12．（22-23高三上·江西·阶段检测）已知双曲线过点，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，点为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，.求的定值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题双曲线过点，渐进线方程为，即可得双曲线的标准方程； （2）由双曲线的标准方程为，联立直线与双曲线的标准方程，运用点差法与斜率公式即可得结果. 【详解】（1）解：由题知双曲线过点，且渐进线方程为， 故有，解得，故双曲线的标准方程为； （2）由（1）知双曲线的标准方程为，设，， 联立直线与双曲线的标准方程有，消得， 则有，即，则，即有， 又为双曲线右支上一动点，故有， 所以两式相减得，即， 故有，且知，， 故. 综上所述，. 13．（23-24高二上·江西赣州·阶段检测）已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）通过焦点求，再结合椭圆定义求出，进而求出方程. （2）设点，代入三角形面积公式求出点纵坐标，再代入椭圆方程求出横坐标即可. 【详解】（1）由可知，， 且的周长为：， 即，解得， 则， 所以椭圆的标准方程为：. （2）设，则， 即或，代入可得：或， 则点P的坐标为：或或或. 14．（22-23高三·江西·模拟预测）给定双曲线过点能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q且点是线段的中点，若直线存在，求出它的方程，若不存在说明理由． 【答案】不存在，理由见解析. 【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，根据中点坐标和韦达定理求出斜率，再代回式子检验即可解得. 【详解】不存在，理由如下： 假设存在直线，设方程为， 联立，得， 设，又知为中点， 则， 由韦达定理，即，解得， 此时方程，， 故时，直线与双曲线不相交，假设不成立，即不存在题中直线. 15．（21-22高三下·江西·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与圆O：交于M，N两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再由点代入可解得，，从而求得椭圆方程； （2）当直线的斜率不存在时，求得，从而可得的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，通过联立、消元、利用韦达定理可求得，在圆中，由垂径定理可求得，可得的表达式，通过分离参数可求最值. 【详解】（1）由题得 ， 所求椭圆为，将代入可解得 ，从而. 故椭圆C的标准方程为 （2）由（1）知右焦点为. ①当直线的斜率不存在时，其方程为， 则. . ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由消元、化简得 ， 设，显然. ∴，， ∴ . 因为圆心到直线的距离， 所以. . 由于， 故 综上所述，. 16．（22-23高二下·江西抚州·阶段检测）已知椭圆的中心在原点，过点，焦距为，且椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为，求： (1)椭圆的标准方程； (2)直线的一般式方程． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由椭圆的性质及标准方程即可得解. （2）由中点坐标公式及点斜式方程即可得解. 【详解】（1）由题意得:. ∴. 由椭圆的几何性质,可知. ∴椭圆的短轴在轴,长轴在轴,从而焦点也在轴. 在椭圆中. 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意得:点,均在椭圆上. 设,. . 即：. ∵弦的中点坐标为. ∴,. 即,. . ∴. 即直线的斜率. 由点斜式方程. ∴直线的一般式方程为. 17．（25-26高二上·江西·期中）已知直线过抛物线的焦点. (1)求的值，并写出直线的一般式方程； (2)判断抛物线与直线是否有交点. 【答案】(1)， (2)抛物线与直线有交点 【分析】（1）求得抛物线的焦点，代入直线的方程，求得，进而得直线的一般式方程； （2）将直线与抛物线的方程联立，利用判别式求解. 【详解】（1）由得抛物线的焦点为. 因为直线过点，所以，解得. 所以直线的一般式方程为. （2）将直线与抛物线的方程联立，得方程组 化简得， 因为， 所以抛物线与直线有交点. 18．（22-23高二下·江西·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆的长轴与离心率，求出，进而可得，据此可求解； （2）设出直线l的方程为，将以AB为直径的圆过坐标原点O转化为，联立方程组，根据韦达定理及向量垂直的坐标表示，列式可求解. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为，由题可得 ，解得，从而， 所以椭圆方程为； （2）由题可得，椭圆的焦点，显然直线l的斜率不为0，设直线方程为， 由，可得， 设，由题可知， 恒成立， . 因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以（如图所示）， 则 ， 即，解得， 所以直线l的方程为或. 19．（22-23高三·江西·模拟预测）已知椭圆的离心率是,长轴长是． (1)求椭圆的方程. (2)设过点的直线与曲线交于两点,以线段为直径,试问:该圆能否经过坐标原点?若能请写出此时直线的方程,并证明你的结论,若不能请说明理由. 【答案】(1). (2)能过原点,直线方程为或. 【分析】（）由椭圆的性质及标准方程即可得解. （）由两条直线垂直斜率的关系,直线与椭圆相交的性质及韦达定理的应用即可得解. 【详解】（1）因为椭圆的长轴为,离心率为. 所以 解得 所以. 所以椭圆方程为. （2）当直线斜率不存在时,过点的直线方程式为,不符合题意. 当直线斜率存在时,设直线方程为. 设. 若以线段为直径的圆经过坐标原点,则. 所以. 所以. 又因为. 所以①. 因为为双曲线与直线的交点. 所以. . 解得②. 由韦达定理可知. 代入①得. 整理得. 解得即满足②式. 因此直线方程为或. 综上所述当直线方程为或时,以为直径的圆过原点. 20．（23-24高三上·江西九江·模拟预测）已知一动点到两定点的距离之和恒为10. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线l与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可以判断点P的轨迹为椭圆，再求出即可. （2）设直线方程，由点差法直接求出斜率k，即可求出l的方程． 【详解】（1）由点P到两个定点的距离之和为一个常数，可知点P的轨迹为椭圆， 定点为椭圆的焦点，焦点在x轴，故， 因为距离之和为10，， 在椭圆中， 故点的轨迹方程为. （2）设点，直线l的斜率为k， 因为中点在直线l上， 由点斜式可得，， 整理得，， 因为点在椭圆上， 所以有，两个式子相减得， ， 整理得， 因为是的中点，所以有， 解得， 代入上式得，， 整理得，，即 所以方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $