大题专题03 数列（B卷·能力提升）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专题03 数列 （B卷·能力提升） 一、解答题 1．在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 2．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若数列满足，求数列的前项和. 3．在等比数列中，，公比. (1)求； (2)设，求数列的前项的和. 4．等比数列的公比为2，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5．已知在等比数列中，已知，求： (1)数列{}的通项公式. (2)若数列满足求的前项和 6．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)数列是等差数列，为的前项和，若，，求数列的前项和的最大值. 7．设为等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的值． 8．已知数列的前n项和为，且．求： (1)数列的通项公式： (2)数列的前n项和． 9．已知等差数列，，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．已知数列的前项和为，首项，且（且）. (1)求，和的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，求数列的前10项和. 11．已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求，并求为何值时的值最大． 12．已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 13．在等差数列中， ， . (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足， 求数列的通项公式及前项和. 14．（24-25高三下·江西·职教高考）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．等差数列中，． (1)求公差d及通项公式； (2)求数列的前十项和； (3)在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 16．设数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．已知在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 18．已知数列中，，． (1)求，； (2)证明：为等差数列，并求出的通项公式； (3)求的前n项和． 19．设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前n项和． 20．科克曲线，又称雪花曲线，是科克于1904年构造出来的，雪花曲线的形状如图所示：第一个图形为一个边长为1的等边三角形；取第一个图形每边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第二个图形；取第二个图形的每个边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第三个图形……按上述规则进行下去，记为第n个图形的边长． (1)求； (2)已知，求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 大题专题03 数列 （B卷·能力提升） 一、解答题 1．在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． （2）因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 2．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，可解出公差的值，再利用等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由（1）可得，利用裂项相消的方法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，解得：， 所以等差数列的通项公式为：， 等差数列的前项和为. （2）由（1）可得, 所以数列的前项和. 3．在等比数列中，，公比. (1)求； (2)设，求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等比数列的通项公式，即可代入求解； （2）根据题意，先求出等比数列的通项公式，继而求得，易判断数列是等比数列，结合等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为在等比数列中，，， 所以. （2）因为在等比数列中，，， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 4．等比数列的公比为2，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用等差中项公式得到，再利用等比数列的通项公式整理化简单即可得解. （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为等比数列的公比为2，且，，成等差数列， 所以，则，解得， 又，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 所以 . 5．已知在等比数列中，已知，求： (1)数列{}的通项公式. (2)若数列满足求的前项和 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用定义法求出等比数列的通项公式. （2）直接利用求和公式求出等比数列的前项和. 【详解】（1）因为等比数列中,. 可得公比解得. 代入得. 解得. 所以通项公式. 所以通项公式. （2）由（1）可知. 所以. 则. 所以. 6．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)数列是等差数列，为的前项和，若，，求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据等比数列的定义和已知条件，即可求解. （2）根据等差数列的定义得到公差，利用等差数列的求和公式得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为数列中，， 故数列是等比数列，首项，公比， 则其通项公式为， （2）由（1）可得，，， 因为，故， 又，令等差数列的公差为， 即， 故等差数列的通项公式为， 得到， 又函数在时取得最大值，所以的最大值为49. 7．设为等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项公差为，其前n项和为， 由，可得，解得， 由等差数列前项和公式， 由，可得， 化简得，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则. 则. 8．已知数列的前n项和为，且．求： (1)数列的通项公式： (2)数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合数列中之间的关系，可得，，继而可得数列是首项为3，公比为3的等比数列，继而求得数列的通项公式； （2）根据题意，结合数列的通项公式，先表示出，利用错位相减法，即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）由题意，当时，，则， 解得， 当时，①， ②， 得，即， ∴， ∵， ∴数列是首项为3，公比为3的等比数列， ∴，即； （2）由（1）得， ， ∴③， ④， 得， ∴． 9．已知等差数列，，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式，列方程组可求得与，据此可求解； （2）由（1）得，可知数列是以首项，公比的等比数列，据此可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得 ，解得， 所以的通项公式为； （2）由（1）可知，， 由于，， 所以数列是以首项，公比的等比数列， 所以数列的前项和：. 10．已知数列的前项和为，首项，且（且）. (1)求，和的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，求数列的前10项和. 【答案】(1)1；2；4 (2) (3)567 【分析】（1）由，首项，逐项代入计算即可； （2）由和，证明当时，数列是等比数列，再写出通项公式即可； （3）由等比数列和等差数列求和公式分组求和即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为，首项，且（且）， 当时，，； 当时，，； 当时，，. （2）当且时，，， ，即. 又，当且时，数列是公比为2的等比数列. 当且时，. 又， （3）数列满足， 则数列前10项和 . 11．已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求，并求为何值时的值最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组计算可得和公差，代入可得的通项公式； （2）求出前项和为的表达式，进而根据二次函数的图象和性质得到的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为． 因为，所以解得 所以． （2）由（1）知，， 所以． 因为，所以当或时， 的值最大，最大值为． 12．已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【详解】（1）数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. （2）数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 13．在等差数列中， ， . (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足， 求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式即可得解； （2）由（1）知数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由， ，得：， 所以， . （2）由（1）知， 则， 所以 . 14．（24-25高三下·江西·职教高考）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解等差数列的首项与公差即可； （2）先表示出数列的通项公式，再根据分组求和，即等差数列与等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）∵等差数列满足， 设等差数列的公差为， ∴，即， 解得， ∴. （2）由（1）知，， ∴， ∴ . 15．等差数列中，． (1)求公差d及通项公式； (2)求数列的前十项和； (3)在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 【答案】(1)， (2)190 (3)， 【分析】（1）根据等差数列的通项公式为，结合已知条件即可求出答案； （2）根据等差数列前n项和公式即可求解； （3）根据等比数列的通项公式和前n项和公式即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， 即数列的公差，通项公式为； （2）∵， ∴， 因此，数列的前10项和； （3）由（1）知， ∴，， 设正项等比数列的公比为， ∴，解得， ∴的通项公式为， ∴． 16．设数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合数列中与之间的关系，可判断数列是等比数列，求得首项和公比，即可求出通项公式； （2）根据题意，先表示出，利用错位相减法，及等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为数列的前n项和， 所以， 所以，即， 所以， 又，解得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知， 所以， 所以①， 所以②， 所以得， 所以. 17．已知在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等比数列的公比，再根据题目条件列等式求解即可. （2）首先求出数列的通项公式，再根据等差数列以及等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以 ． 18．已知数列中，，． (1)求，； (2)证明：为等差数列，并求出的通项公式； (3)求的前n项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）根据递推公式列举即可. （2）等式两边同乘构造，根据等差数列的定义即可求解. （3）利用错位相减可求. 【详解】（1）因为，， 所以，解得； ， 解得． （2）因为，等式两边同乘，有 ， 即， 令，有，即， 所以是以首项，公差为2的等差数列， 通项公式，所以数列为等差数列. 又，则. （3）因为，则      ①，    ②， ①②化简可得： ， ， ， ， ， 所以． 19．设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列与之间的关系和等比数列通项公式即可解得. （2）根据数列的通项可知利用错位相减法进行求和，从而可求出数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即，解得， 当时，， 所以，即， 由等比数列的定义知，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，所以，① 以上等式两边同乘以得，② ①式减②式得， ， 所以． 20．科克曲线，又称雪花曲线，是科克于1904年构造出来的，雪花曲线的形状如图所示：第一个图形为一个边长为1的等边三角形；取第一个图形每边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第二个图形；取第二个图形的每个边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第三个图形……按上述规则进行下去，记为第n个图形的边长． (1)求； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据第一个，第二个，第三个图形得到边长，再根据规律即可得出通项公式. （2）先表示出数列的通项公式，再由错位相减的求和方法求解即可. 【详解】（1）第一个图形为一个边长为1的等边三角形，则， 又因为取第一个图形每边中间的，向外接边长为其的三角形， 得到第二个图形，则， 同理可得， 所以可以发现所构成图形的边长是首项为1，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 故， 所以 又， 则， 即， 所以 整理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $