第一章集合与逻辑（期中知识清单）高一数学上学期湘教版

第1章 集合与逻辑　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 集合 1.1 集合与元素 在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合（或集），给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字。这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素。 集合论中最基本的关系是集合和它的元素之间的归属关系，表达归属关系的符号是 ，读作”属于”。若 是一个集合， 是 的一个元素，记作 ，读作” 属于 “；反过来，若 不是 的元素，记作 ，读作” 不属于 “。 示例：设 ，则 ，而 。 注意：符号 （）只用于表示元素与集合之间的归属关系；两个集合之间用包含关系符号表示。 集合的基本属性 集合是数学中最基本的概念，具有以下基本属性： 基本属性 内容 互异性 同一集合中的元素是互不相同的 确定性 集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的 无序性 集合中的元素没有顺序 数集 数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集。例如： 数集 记号 全体自然数组成的集合叫自然数集 全体整数组成的集合叫整数集 全体有理数组成的集合叫有理数集 全体实数组成的集合叫实数集 通常用 表示全体正实数组成的集合，类似的有 、（或 ）、、 等。 有限集、无限集与空集 元素个数有限的集合叫有限集（或有穷集），元素无限多的集合叫无限集（或无穷集）。没有元素的集合叫空集，记作 ；空集也是有限集。 示例： 是有限集；自然数集 是无限集；一元二次方程 的全体实根之集是空集 。 1.2 表示集合的方法 列举法 数学里用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔。例如，小于 的正偶数组成的集合，用列举法可以表示为 或 等。 示例：由方程 的所有实数解构成的集合 ，用列举法表示为 。 描述法 无限集一般不能用列举法表示；有限集如果元素太多或叫不出名字来，也不便用列举法来表示。这时可以把集合中元素共有的、也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这叫作描述法。有些集合用一句话描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件。例如，任何一个偶数都可以表示为 的形式，我们把所有偶数的集合表示为 。 示例：小于 的正偶数组成的集合，用描述法表示为 。 区间 设 、 是两个实数，，所有大于 并且小于 的实数组成的集合叫作一个开区间，记作 ；所有满足 的实数 组成的集合叫作一个闭区间，记作 ；举一反三，还有左开右闭区间 和左闭右开区间 。实数 、 分别叫作上述区间的左端点和右端点。 实数集 可以用区间表示为 ，符号 读作”无穷大”或”无穷”， 和 分别读作”负无穷大”（或”负无穷”）和”正无穷大”（或”正无穷”）。 示例： 用区间表示为 ； 用区间表示为 。 1.3 子集和补集 子集 如果集合 的每个元素都是集合 的元素，就说 包含于 ，或者说 包含 ，记作 （或 ），读作” 包含于 “或” 包含 “。上述定义也就是说：若由 能推出 ，就说 。若 包含于 ，则称 是 的一个子集。 示例：；由” 是等边三角形”能推出” 是等腰三角形”，故等边三角形集是等腰三角形集的子集。 集合相等与真子集 如果 并且 ，就说两个集合相等，记作 。 如果 但 ，就说 是 的真子集，记作 ，读作” 真包含于 “。 我们规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集。 包含关系有传递性：若 ，，则 。 示例：；对任意集合 ，都有 。 韦恩图 大圆和小圆分别表示两个集合，小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集。这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图。 全集与补集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合 的元素和子集，就可以约定把集合 叫作全集（或基本集）。 若 是全集 的子集， 中所有不属于 的元素组成的子集叫作 的补集，记作 ，即 。当 可以从上下文确知时， 的补集也可以记作 。显然 。 示例：设 ，，则 。 1.4 集合的交与并 交集 把所有既属于 又属于 的元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，读作” 交 “，即 。 示例：，，则 。 并集 把集合 、 中的元素放在一起组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，读作” 并 “，即 。也就是说，集合 由所有属于 或属于 的元素组成。 示例：，，则 。 交、并运算的性质 由交集和并集的定义可得，对于任意两个集合 、，均有： 交集的性质 并集的性质 2. 常用逻辑用语 2.1 命题 命题与真假命题 一般说来，命题就是一个陈述句。数学中的命题具有以下共同特征：作出了判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一。成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题。我们学过的公理、基本事实、定理都是真命题。 示例：”两个奇数之和是一个偶数”是真命题；“若实数 满足 ，则 ”是假命题（ 时 但 ）。 命题的否定 如果 是一个命题，则” 不成立”也是一个命题，叫作 的否定，记作 ，读作”非 “。显然， 也是 的否定。在 和 两者之中，一定有一个为真有一个为假。 示例：设 ：“ 是方程 的根”，则 ：“ 不是方程 的根”。 条件与结论 命题常具有”若 ，则 “的形式，其中 叫作命题的条件， 叫作命题的结论。当命题”若 ，则 “为真，则记作 ，读作” 推出 “；当命题”若 ，则 “为假，则记作 推不出 。 逆命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题互为逆命题。 示例：”若两个三角形全等，则它们相似”的逆命题是”若两个三角形相似，则它们全等”。 2.2 充分条件和必要条件 充分条件与必要条件 当”若 ，则 “成立，即 时，把 叫作 的充分条件， 叫作 的必要条件。 可以理解为：若 成立，则 一定也成立，即 对于 的成立是充分的；反过来，若 不成立，则 必不成立，即 对于 的成立是必要的。自然地，若 推不出 ，则 不是 的充分条件， 也不是 的必要条件。 示例：”两个三角形全等”是”两个三角形相似”的充分条件，“两个三角形相似”是”两个三角形全等”的必要条件。 充要条件 如果既有 ，又有 ，此时我们称 是 的充分必要条件，简称充要条件。当然，此时 也是 的充分必要条件。换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件。 是 的充分必要条件指 成立当且仅当 成立，在这种情况下， 和 称为互相等价。 示例：”四边形的两组对边分别平行”是”四边形是平行四边形”的充要条件。 2.3 全称量词和存在量词 全称量词与全称量词命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号”“表示。设语句 中变量 的取值范围为集合 ，当 取 中的值时， 成为一个命题，则语句”对 的任一个元素 ，有 成立”是命题，叫作全称量词命题，用符号简单地表示为 。 示例：”对任意实数 ，“是全称量词命题，符号表示为 。 存在量词与存在量词命题 “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号”“表示。语句”存在 的某个元素 ，使 成立”也是命题，叫作存在量词命题，用符号简单地表示为 。 示例：”存在某个整数 ，使得 “是存在量词命题，符号表示为 。 含有一个量词的命题的否定 一般地，命题”“的否定是”“，命题”“的否定是”“。即否定一个含有一个量词的命题时，把全称量词改为存在量词（或把存在量词改为全称量词），并把结论否定。 示例：命题”“的否定是”“。 注意：很多情形下全称量词习惯上常常被省略。例如”三角形的任意两边之和大于第三边”指的是”任意三角形”，作否定时应先还原出被省略的全称量词。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 有限集合的子集个数 含 个元素的集合，其子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 。 1.2 集合关系的等价转化 对任意两个集合 、： 等价于 ，也等价于 。 1.3 集合运算与充分必要条件的对应 设 ，，则 等价于 ； 等价于 、 互为充分必要条件。 1.4 德摩根定律 设 、 是全集 的子集，则 ，。 1.5 补集的运算性质 ，，。 1.6 集合中元素个数的容斥原理 设有限集合 、 的元素个数分别记为 、，则 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断元素与集合、集合与集合的关系 先弄清集合由哪些元素组成，再选符号：（）只用于元素与集合之间， 等只用于集合与集合之间。如 ，而 ，注意 与 不同。 2.2 求集合的交、并、补 离散集合用列举法或韦恩图，连续集合（区间）用数轴；求补集须先明确全集。如 ，，画数轴得 。 2.3 由集合关系求参数取值范围 把”“转化为 中每个元素都属于 ，用端点大小关系列不等式组；注意检验端点能否取到（等号）。如 ，，若 ，则 。 【使用提醒】 含参数的集合可能为空集，须先讨论空集情形，再讨论非空情形，避免漏解。 2.4 判断充分条件与必要条件 定义法：看 与 是否成立。集合关系法：记 ，，则 是 的充分条件等价于 。如 ，，由 知 是 的充分条件。 2.5 求含有一个量词的命题的否定 先改量词（ 与 互换），再否定结论。如”“的否定是”“。 3. 集合运算 / 判断小技巧 技巧 要点 示例 数轴法 连续数集（区间）画数轴，公共部分为交，合在一起为并 韦恩图法 离散集合画韦恩图，阴影部分表示交、并、补 全集 ，，则 端点取舍 端点能否取到看等号，交、并、补都要逐点验证 空集优先 判断集合关系先看是否为空集，空集是任何集合的子集 关系转化 子集关系可转化为交、并运算判断 等价于 4. 常见考试模型 4.1 容斥原理（元素个数）模型 公式： 设 、 为有限集，则 ；三个集合时 。 限定： 各集合均为有限集；“至少一个”对应并集，“同时（都）”对应交集。 示例： 如某班 人中订日报 人、订晚报 人、两种都订 人，则至少订一种的有 人。 4.2 由集合关系求参数范围模型 公式： 把”“转化为 中每个元素都属于 ，用端点大小关系列出不等式（组）。 限定： 须讨论 的情形；端点是否取等号要代入检验。 示例： 如 ，，，则 且 ，得 。 4.3 充分条件与必要条件判定模型 公式： 记 ，，则 等价于 ； 时 是 的充分而不必要条件， 时 是 的必要而不充分条件， 时互为充要条件。 限定： 先分别求出满足 、 的集合，再比较包含关系。 示例： 如 ，，则 ，，，故 是 的充分而不必要条件。 4.4 含量词命题真假与否定模型 公式： 全称量词命题”“为真需验证 中每个元素都满足，为假只需举一个反例；存在量词命题”“为真只需举一个正例，为假需证每个元素都不满足。否定时改量词并否定结论： 即 ， 即 。 限定： 否定时 与 互换，“”变”“、”“变”“等，量词与结论要同时改。 示例： 如”“的否定是”“。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参数集合忽略元素的互异性 典例：已知 ，求实数 的值。 错解：由 属于该集合，得 或 或 ，即 、、、，所以 的值为 、、。 正解：① 当 时，集合为 ，元素 与 重复，不满足互异性，舍去；② 当 即 时，集合为 ，元素 与 重复，舍去；③ 当 即 时， 已舍去， 时集合为 ，满足互异性。综上，。 原因：忽略集合元素的互异性。学生在用”元素属于集合”列出方程求参数后，没有把求得的参数代回集合检验，导致集合中出现重复元素却未被剔除。纠正要点：凡含参数的集合，求出参数后必须代回集合验证互异性，出现重复元素（或重复的值）时应舍去。 易错点 2：元素与集合、集合与集合的关系符号混淆 典例：用适当的符号（、、、）填空：（1）；（2）；（3）。 错解：（1）；（2）；（3）。 正解：（1）， 是集合 的元素，用 ；（2）， 是集合 的真子集，用包含符号；（3），空集是任何集合的子集。 原因：分不清”元素”与”集合”。 与 不同： 是元素， 是集合； 是含有一个元素 的集合，不是元素。学生误把”集合”当”元素”用 、把”元素”当”集合”用 。纠正要点： 的两端是”元素 集合”， 的两端都是集合，先判断对象是元素还是集合再选符号。 易错点 3：由集合关系求参数时漏掉空集 典例：已知集合 ，，若 ，求实数 的值。 错解：，由 得 。，所以 或 ，解得 或 。 正解：，由 得 。① 当 时，，而空集是任何集合的子集，满足 ；② 当 时，，由 得 或 ，解得 或 。综上， 的值为 、、。 原因：漏掉空集这一特殊情形。空集是任何集合的子集，当含参数的集合可能为空集（本题 时 ）时，直接用元素关系求解就会漏掉 这一解。学生往往默认含参数的集合非空，跳过空集讨论。纠正要点：凡含参数的集合参与子集、并集、交集等关系，先讨论参数使集合为空集的情形，再讨论非空情形。 易错点 4：充分条件与必要条件的判断方向颠倒 典例：”“是”“的什么条件？ 错解：必要而不充分条件。 正解：由 能推出 ，即”“”“，所以”“是”“的充分条件；但由 推不出 （如 ），所以不是必要条件。故”“是”“的充分而不必要条件。 原因：对” 是 的充分条件（即 ）“的方向理解颠倒。学生把” 推出 “误记成” 推出 “，或用集合包含关系判断时方向弄反。纠正要点：记口诀”小范围推出大范围”—— 对应的集合是 对应集合的子集时， 是 的充分条件。 易错点 5：含量词命题的否定只改结论不改量词 典例：写出命题”“的否定。 错解：”“。 正解：全称量词命题的否定要把全称量词改为存在量词，并否定结论，所以其否定为”“。 原因：只否定结论而漏改量词。学生记住”否定要改结论”，却忘记”全称量词与存在量词也要互换”，导致否定后的命题仍是全称量词命题。纠正要点：对含有一个量词的命题作否定，必须”改量词 + 否定结论”两步同时进行， 与 互换。 易错点 6：交集、并集中”且”“或”的含义混淆 典例：设 ，，用描述法写出 。 错解：。 正解：并集是”或”的关系，由所有属于 或属于 的元素组成，故 ；而 。 原因：把并集的”或”误当成交集的”且”。并集是把两部分元素合并在一起（取范围之并，端点取最左、最右），交集才是取公共部分。学生看到两个范围就习惯性地”取公共部分”，混淆了”且”与”或”。纠正要点：交集”且”取公共部分（范围变窄），并集”或”合并两部分（范围变宽）。 学科网（北京）股份有限公司 $