第60卷直线与圆方程的综合应用（学生练习卷）-湖南省对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖南省对口招生《数学考点双析卷》 第59卷 直线与圆方程的综合应用（教师讲解卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．过点向圆作切线，则切线长为（   ） A． B． C． D． 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．经过圆上的一点的切线方程是（   ） A． B． C． D． 4．若圆被直线所截得的弦长为8，则实数的值为（     ）． A．或 B． C．或 D．或 5．直线被圆截得的弦长等于（    ）． A． B．2 C． D．1 6．圆截直线所得的弦长等于（     ） A．3 B．6 C．4 D．8 7．直线与圆相交于，两点，则等于（     ） A．1 B． C． D． 8．圆形加工区与通道的关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 9．某圆拱桥跨度为20m，拱高为4m，则该圆拱桥所在圆的半径为（     ） A．14.5m B．12.5m C．10.5m D．8.5m 10．若过点的直线与圆相切，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．过圆上一点的切线方程为_____. 12．过点且与圆相切的直线方程是_________. 13．已知圆，圆C以为中点的弦所在直线的斜率________． 14．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．过点作圆的切线，切点为P，求线段的长度. 16．已知直线，圆的圆心坐标为，半径为4，求： (1)若圆与轴相切，求的值； (2)求出直线被圆截得的弦长. 17．已知圆的方程为. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (3)若直线过点，且与圆相交于两点，，求直线的方程. 18．一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？ 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖南省对口招生《数学考点双析卷》 第59卷 直线与圆方程的综合应用（教师讲解卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．过点向圆作切线，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解圆心和半径，利用两点间距离公式求解的值，再利用勾股定理，即可求解切线长. 【详解】圆转化为标准方程为. 则圆心为，半径为. 则. 根据勾股定理，切线长为. 故选：D. 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆的标准方程得到其圆心，同时判断得点在该圆上，再利用切线的性质与两点斜率公式求得切线斜率，进而利用直线的点斜式即可得解. 【详解】因为，圆心， 又，即点在圆上，切点， 则，设切线的斜率为， 则，即，解得， 所以切线方程为，即. 故选：A. 3．经过圆上的一点的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两点间的斜率公式及垂直关系求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】圆，设圆心为，则， 则，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 故选：. 4．若圆被直线所截得的弦长为8，则实数的值为（     ）． A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出圆心坐标和半径，再利用垂径定理和点到直线距离公式建立方程，求解即可. 【详解】圆的标准方程为，则圆心为，半径. 因为圆被直线所截得的弦长为8， 则圆心到直线的距离， 所以，化简整理得， 解得：或. 故选：D. 5．直线被圆截得的弦长等于（    ）． A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，最后代入弦长公式求解即可. 【详解】因为圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为： ， 所以直线被圆截得的弦长. 故选：C. 6．圆截直线所得的弦长等于（     ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先求解出圆的圆心与半径，再求解圆心到直线的距离，结合垂径定理求解即可. 【详解】∵圆， 则圆的圆心为，即，半径， 圆心到直线的距离， ∴弦长为. 故选：D. 7．直线与圆相交于，两点，则等于（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，最后结合弦长公式计算弦长即可. 【详解】圆的标准方程，所以圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离. 因此. 故选：D. 8．圆形加工区与通道的关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 【答案】A 【分析】通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断它们的位置关系. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径， 圆心到直线（即）的距离， 因为，所以圆与直线相切， 故选：A. 9．某圆拱桥跨度为20m，拱高为4m，则该圆拱桥所在圆的半径为（     ） A．14.5m B．12.5m C．10.5m D．8.5m 【答案】A 【分析】设出圆心和半径，根据题意找出数量关系，由勾股定理设出方程即可求解. 【详解】    如图所示，设圆心为，半径为，圆拱桥最高点为， 纵截面与水面交点分别为和，中点为， 所以，， 由题意可知，，， 由勾股定理可知， 即，解得：， 所以该圆拱桥所在圆的半径为. 故选：A. 10．若过点的直线与圆相切，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定点在圆上，再由圆的方程确定圆心，再由切线与圆心切点所连的直线垂直即可求出切线方程. 【详解】已知点，圆，由得， 点在圆上，且该圆的圆心为， 则，所以， 解得，则切线方程为， 整理得， 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．过圆上一点的切线方程为_____. 【答案】 【分析】利用直线与圆相切的性质，结合两点斜率公式、两直线垂直的性质与直线点斜式方程即可得解. 【详解】因为圆的圆心为圆， 圆心与点的连线的斜率为， 因为在圆上，切线过点， 所以切线的斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为：. 12．过点且与圆相切的直线方程是_________. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心与半径，分类讨论切线斜率存在和不存在的情况，结合切线的性质即可得解. 【详解】由圆可知，圆心坐标为，半径为， 当切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到切线的距离为，不符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为， 则，解得， 所以切线方程为，整理得， 故答案为：. 13．已知圆，圆C以为中点的弦所在直线的斜率________． 【答案】2 【分析】根据圆的垂径定理，圆心与弦中点的连线与弦所在直线垂直，斜率乘积为，据此计算弦的斜率. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 设弦中点的坐标为， 则， 根据垂径定理，可得直线与弦所在直线垂直， 所以，即，所以. 故答案为：2. 14．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为标准得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求解. 【详解】先将圆方程化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 即圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．过点作圆的切线，切点为P，求线段的长度. 【答案】 【分析】判断点与圆的位置关系，作出图像，利用勾股定理即可得解. 【详解】圆，圆心坐标为，半径为， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆外， 如图所示，作出图像，    所以，所以， 所以. 16．已知直线，圆的圆心坐标为，半径为4，求： (1)若圆与轴相切，求的值； (2)求出直线被圆截得的弦长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆与轴相切得到关于的方程，即可得解； （2）根据题意求得圆心到直线的距离，从而判断得圆与直线的位置关系，进而利用圆的弦长公式，即可得解. 【详解】（1）因为圆心的坐标为，圆与轴相切，圆的半径， 所以，解得或. （2）由题意可知直线的方程为，即， 又圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆相交， 则直线被圆截得的弦长为. 17．已知圆的方程为. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (3)若直线过点，且与圆相交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 (3) 或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，由此求解圆心坐标和半径即可； （2）先确定点是否在圆上，再分类讨论斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； （3）先确定点是否在圆上，再分类讨论斜率是否存在，结合垂径定理求解即可. 【详解】（1）配方得标准方程为，故圆心，半径； （2）点，圆的标准方程为， 则，则点在圆外， 当斜率不存在时，直线，圆心到直线距离 ，不相切，舍去； 当斜率存在时，设直线：，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即 ， 化简得，即， 可得，解得. 则直线的方程： 或 . 即或. （3）点，圆的标准方程为， 则，则点在圆上， 由弦长公式，得，解得. 即圆心到直线的距离为1， 当斜率不存在时，直线经过圆心，则，舍去； 当斜率存在时，设直线：，即， 距离 ， 即，则有，解得. 直线的方程： 或. 18．一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？ 【答案】船能从桥下通过 【分析】根据题意，建立直角坐标系，表示出的坐标，继而求得三点所在圆的方程，令，求得对应的值，即可判断求解. 【详解】 由题意，建立坐标系如图所示,则， 设所在圆的方程为,其中， 所以，解得， 所以圆的方程为，即， 设A点坐标是，则， 解得 因此船能从桥下通过. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $