第59卷直线与圆方程的综合应用（教师讲解卷）-湖南省对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖南省对口招生《数学考点双析卷》 第59卷 直线与圆方程的综合应用（教师讲解卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．过圆上点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．过圆上一点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．某圆形湖的方程为，一条笔直的小路经过点且与湖相切，则小路的方程为（    ） A． B． C． D． 4．过点且与圆相切的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 5．过圆外一点作圆的切线，则切线方程为（     ） A．或 B．或 C． D．或 6．过点作圆的切线，则切线长为（ ） A． B．4 C． D． 7．若过点的直线与圆相切于点，则切线长等于（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 8．由点向圆引切线，则切线长为（ ） A．2 B．4 C．6 D． 9．直线与圆的两个交点间距离为（    ） A． B． C． D． 10．某圆形拱桥的半径为米，拱顶离水面米，则水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．过点作圆的切线有且只有一条，则该切线的方程为______. 12．已知圆的方程为，则过点且与圆相切的直线方程为_________ 13．已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为__________. 14．直线被圆截得的弦长为__________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知点，直线，圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 16．过圆外一点，向圆作圆的切线． (1)求切线方程； (2)求过点的圆的切线长． 17．已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)求的外接圆的标准方程； (2)求的外接圆被直线截得的弦长． 18．已知点，． (1)求经过点A且以点B为圆心的圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，已知直线与圆相交于点，且弦长，求b的值． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖南省对口招生《数学考点双析卷》 第59卷 直线与圆方程的综合应用（教师讲解卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．过圆上点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解出圆的圆心与半径，再由半径与切线的位置求解切线方程即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心与切点的连线在轴上，即， 因为切线垂直于半径，而被切半径在轴上， 所以切线是水平方向的直线， 由于过点，所以切线方程为. 故选：D. 2．过圆上一点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质求出切线的斜率，进而由点斜式方程求得结果. 【详解】因为圆的圆心坐标为， 切线过点，所以， 又因为切线与直线垂直，所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：C. 3．某圆形湖的方程为，一条笔直的小路经过点且与湖相切，则小路的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入圆的方程中得到点在圆上，即可得解. 【详解】将点代入圆的方程中得， 所以点在圆上，则切线方程为，即， 故选：. 4．过点且与圆相切的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心坐标为：，半径， 将点代入圆的方程得：，所以点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时不符合直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为：，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得：，解得：. 故选：C. 5．过圆外一点作圆的切线，则切线方程为（     ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论切线的斜率是否存在，根据圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时：切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当切线斜率存在时：设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得：，解得， 则切线方程为， 综上，切线方程为或， 故选：A. 6．过点作圆的切线，则切线长为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解圆的圆心和半径，再求解圆心与点的长度，再由勾股定理求解即可. 【详解】圆的方程为， 则圆心，半径. 又点，则. 故切线长为. 故选：D. 7．若过点的直线与圆相切于点，则切线长等于（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式求出的值，又，则为直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】由圆的方程可得圆心为，半径为， 因为， 又，则为直角三角形， 所以. 故选：A.    8．由点向圆引切线，则切线长为（ ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】求出，利用切线长公式求出结果. 圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为. 故选：C. 9．直线与圆的两个交点间距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与圆的方程联立，求出交点坐标，再根据两点间的距离公式可求解. 【详解】将直线方程与圆的方程联立，可得： ，解得或， 即直线与圆的交点坐标为和， 所以两个交点间距离为. 故选：C 10．某圆形拱桥的半径为米，拱顶离水面米，则水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】通过建立圆的方程，结合已知条件求出水面宽度. 【详解】以圆形拱桥的圆心为原点，过圆心且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系, 已知圆形拱桥半径米，则圆的方程为， 设水面与轴的交点为，拱顶为, 因为拱顶离水面米，则，， 设水面与圆的交点为，可知点的纵坐标均为， 将代入圆的方程中，可得，解得， 所以水面宽度为米， 故选：B.    二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．过点作圆的切线有且只有一条，则该切线的方程为______. 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，将点代入圆的方程中求出，利用两点间斜率公式及切线的性质求出切线斜率，结合直线的点斜式方程即可得解. 【详解】过点作圆的切线有且只有一条， 则点在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为， 则点与圆心连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 则切线方程为，化为一般式方程为， 故答案为：. 12．已知圆的方程为，则过点且与圆相切的直线方程为_________ 【答案】 【分析】先判断点与圆的位置关系，再判断其切线斜率的值，进而求得切线方程. 【详解】把点代入圆的方程，得，等式成立， 所以点在圆上， 圆，则圆心，半径为， ，则过点与圆相切的斜率不存在， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 13．已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为__________. 【答案】 【分析】先判断点与圆的位置关系，再结合两点间的斜率公式及切线的性质求出切线斜率，代入直线的点斜式方程中即可得解. 【详解】圆的方程为，则圆心坐标为， 将点代入圆的方程中得，所以点在圆上， 圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率为， 则切线方程为，整理得， 故答案为：. 14．直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，利用弦长公式求解. 【详解】已知圆的方程为， 可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知点，直线，圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）讨论切线的斜率是否存在，根据圆心到切线的距离等于半径求解； （2）先求出弦长，再求出到直线的距离，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆心，半径， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，舍去， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 可得圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，即， 即，解得或， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为，即， 综上，切线的方程为或. （2）圆心到直线：的距离， 因为，所以直线经过圆心，则， 点到直线：的距离， 所以的面积. 16．过圆外一点，向圆作圆的切线． (1)求切线方程； (2)求过点的圆的切线长． 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径，分斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解. （2）结合两点间距离公式与勾股定理即可求解. 【详解】（1）圆，可化简得， 所以圆心坐标为，半径， 过圆外一点，作圆的切线， 当不存在时，，圆心到直线的距离为，符合题意. 当存在时，设直线：，即， 即圆心到直线的距离为，所以， 解得，直线方程为，即 综上，切线方程为：或. （2）根据两点间的距离公式可得， 圆心到点的距离为， 因为圆的半径为， 由勾股定理得，切线长为． 所以切线长为. 17．已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)求的外接圆的标准方程； (2)求的外接圆被直线截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设出圆的标准方程，列出方程组即可得解. （）根据圆的标准方程求出圆心坐标及半径，结合点到直线距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 将点，，代入得： ，解得， 所以圆的标准方程为. （2）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 18．已知点，． (1)求经过点A且以点B为圆心的圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，已知直线与圆相交于点，且弦长，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先计算圆心到点的距离得到半径，代入圆的标准方程即可求解. （2）用圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再结合点到直线的距离公式列方程求解的值 【详解】（1）已知点，， 因为圆经过点A且以点B为圆心， 所以半径， 所以圆的标准方程为. （2）已知直线，即， 则圆心到直线的距离为， 因为弦长，则， 即，解得，则， ，解得或. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $