专题02 二次根式（知识&考点&公式&7高频&3易错&4重难&5模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 二 次 根 式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(7类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单7类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 二次根式的概念 定义：形如 （）的式子叫做二次根式，其中 是被开方数。 本质： 表示 的算术平方根。 有意义条件：被开方数 。求字母取值范围的关键依据。 非负性：二次根式的值 （双重非负：被开方数非负且根式值非负）。 知识点02 二次根式的性质 ① （） ② （偶次根式化简必用，去根号先取绝对值） ③ （，） ④ （，） 知识点03 最简二次根式 两条标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简目标：使每个二次根式化为最简二次根式（运算结果必须最简）。 知识点04 二次根式的运算 乘法：（正用）；（逆用，化简依据）。 除法：。 加减：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加，根式部分不变）。 分母有理化：① ；② 混合运算：类比整式运算，先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算；乘法公式（完全平方、平方差）仍适用。 考点 具体考查角度 考法提示 ① 有意义的条件 求使二次根式有意义的字母取值范围 被开方数≥0，且分母不为0 ② 二次根式判断 判断一个式子是否为二次根式 同时满足“含根号”与“被开方数≥0” ③ 最简二次根式 判断或化简为最简二次根式 逐一核查分母与能开尽方的因数 ④ 同类二次根式 判断同类并合并 先化简，再比较被开方数 ⑤ 性质应用 求值、去绝对值、比较大小 灵活运用四条性质及双重非负性 ⑥ 混合运算 加减乘除混合、含括号、含平方差/完全平方 类比整式，结果化为最简 ⑦ 化简求值 先化简再代入求值 注意隐含条件与字母范围 序号 公式 适用范围/说明 1 a≥0 2 去根号先取绝对值 3 a≥0，b≥0 4 a≥0，b>0 5 分母有理化① 6 分母有理化② 7 完全平方 8 平方差 易混点 关键区别 说明 (1) 与 前者=a（a≥0）；后者=|a|（a可为负） 去根号时先定符号 (2) 最简 与 同类 最简是“单个根式”标准；同类是“多个根式”关系 先化简再判同类 (3) 与 前者=|a|恒非负；后者要求a≥0 判断被开方数范围 (4) 性质③④正逆用 正用=合并；逆用=化简 化简常用逆用 (5) 分母不能为0 除法/分数中被开方数为0要当心 被开方数>0（分母位置） 【题型一】二次根式的识别与有意义的条件 【例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）在实数范围内，当___________时，有意义． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）等式成立的条件是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 【题型二】最简二次根式判定与化为最简二次根式 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海静安·期中）化简：=______． 【答案】 【详解】解：因为 ，所以 ， ∴， ∵，∴， ∴ 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，化简__________. 【答案】 【详解】解：∵， 有意义， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【题型三】利用二次根式的性质化简 【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】若，化简． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）设化简：_____． 【答案】2 【详解】解：因为， 所以， ， 则． 故答案为：2． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 【答案】 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 【题型四】二次根式的加减运算 【例4】（23-24八年级上·上海·期中）计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【题型五】二次根式的乘除运算 【例5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 【变式5-2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【题型六】二次根式的混合运算 【例6】（26-27八年级上·上海·期中）计算的结果是___________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式6-1】计算__________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型七】化简求值 【例7】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【题型一】去根号忘绝对值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，化简 _____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故答案为 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则_____． 【答案】 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【答案】3 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型二】二次根式有意义的条件忽略分母≠0 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）等式成立的条件是________． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 根据二次根式有意义的条件得， 解得， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）当 满足_____时， 有意义． 【答案】且 【详解】解：由题意，得：， 解得且； 故答案为：且． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）使得等式成立的的取值范围是__________ 【答案】 【详解】解：∵等式成立， ∴且， 解，得， 解，得， 综上可得． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】且 【详解】解：由题意，二次根式在实数范围内有意义， 故， 解得； ∵分式有意义， 故， 解得； 因此，的取值范围为且． 故答案为：且． 【题型三】未先化简判同类 【例3】（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意； B、∵，被开方数为2，与相同，故此选项符合题意； C、∵，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意． ∴ 故选：B． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 【题型一】双重非负性求值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）若，则___________． 【答案】16 【详解】解：根据题意，得， 由二次根式的定义，被开方数必须满足非负条件： 且， 即且， 故； 故， 则， 故答案为：16． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式1-2】若，则代数式的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，那么__________． 【答案】2026 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 【题型二】已知最简二次根式求参数 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 【答案】28 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 【答案】4 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ， 当时，，，符合题意． 故答案为：4． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则___________． 【答案】1 【详解】由同类二次根式的定义，得： ， 移项整理： ， 解得，， 当 时，，不是最简二次根式，不符合题意， 当 时，，，最简二次根式，符合题意， 故答案为： ． 【题型三】利用分母有理数解不等式 【例3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：移项得， 合并同类项得， 由于，除以负数时不等号方向改变， 得， 有理化分母：， 故解集为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 由于， 两边同时除以 得 ， 有理化分母得， 故解集为． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 【题型四】复合二次根式化简 【例4】（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海·阶段检测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 模型 适用 步骤 模型1：求取值范围 二次根式有意义/含字母 ①列被开方数≥0；②若分母含根式则>0；③解不等式组 模型2：化简根式 化为最简 ①拆被开方数为平方数×其他；②逆用性质③；③处理分母 模型3：合并同类 加减混合 ①先全部化简；②识别同被开方数；③系数合并 模型4：分母有理化 分母含根号 ①单项分母乘√a；②两项分母乘共轭式 模型5：化简求值 先化简后代入 ①先化简目标式与已知条件；②整体代入；③注意范围 【题型一】求取值范围 【例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】且 【详解】解：由题意得， 解得且， 故答案为：且． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）是二次根式，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由二次根式的性质，被开方数 ，即 ， 要使成立，则分子分母异号，，可分两种情况讨论： 当 且 时，解得； 当 且 时，即 且 ，此种情况无解； 因此， 的取值范围是 。 故答案为： ． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 【题型二】化简根式 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期末）化简：____________________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则________． 【答案】 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式2-2】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-3】一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【题型三】二次根式的运算 【例3】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算：     （2）计算： 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式3-3】（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 【题型四】分母有理化 【例4】（25-26八年级上·上海·期中）写出的有理化因式是______． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海静安·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解： ∴ 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 【题型五】化简求值 【例5】（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【详解】解：，， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 【变式5-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∵， ∴． 1. 先判断“被开方数是否非负”，再谈化简——避免对负数开平方失分。 2. 化简根式时，先把被开方数分解为“平方数×其他”，再逆用乘法性质开方。 3. 去根号遇到偶次根式，一律先写绝对值，再根据条件去绝对值。 4. 判断同类二次根式前，务必先把所有根式化为最简。 5. 混合运算类比整式：先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算括号。 6. 分母中出现根号时，用共轭式有理化，且注意符号。 7. 化简求值题，先化简再代入，并检查字母取值范围是否满足条件。 8. 结果统一化为最简二次根式，避免“没化到最简”扣分。 9. 遇到含参数根式，充分利用被开方数非负这一隐含条件。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二 次 根 式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(7类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单7类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 二次根式的概念 1. 形如 （）的式子叫做二次根式，其中 叫做被开方数。 2. 二次根式有意义的条件是：被开方数 ，即被开方数必须 ＿＿＿＿。 3. 二次根式的双重非负性：被开方数非负，且根式的值也 ＿＿＿＿。 知识点02 二次根式的性质 ① = ＿＿＿＿（a≥0） ② = ＿＿＿＿（去根号先取绝对值） ③ · = ＿＿＿＿（a≥0，b≥0） ④ = ＿＿＿＿（a≥0，b>0） 知识点03 最简二次根式 1. 被开方数不含 ＿＿＿＿； 2. 被开方数中不含能 ＿＿＿＿ 的因数或因式。 知识点04 二次根式的运算 1. 加减法：先把各根式化为 ＿＿＿＿，再合并 ＿＿＿＿。 2. 分母有理化： = ＿＿＿＿； = ＿＿＿＿。 3. 混合运算顺序：先 ＿＿＿＿，再乘除，后加减，有括号先算括号。 考点 具体考查角度 考法提示 ① 有意义的条件 求使二次根式有意义的字母取值范围 被开方数≥0，且分母不为0 ② 二次根式判断 判断一个式子是否为二次根式 同时满足“含根号”与“被开方数≥0” ③ 最简二次根式 判断或化简为最简二次根式 逐一核查分母与能开尽方的因数 ④ 同类二次根式 判断同类并合并 先化简，再比较被开方数 ⑤ 性质应用 求值、去绝对值、比较大小 灵活运用四条性质及双重非负性 ⑥ 混合运算 加减乘除混合、含括号、含平方差/完全平方 类比整式，结果化为最简 ⑦ 化简求值 先化简再代入求值 注意隐含条件与字母范围 序号 公式 适用范围/说明 1 a≥0 2 去根号先取绝对值 3 a≥0，b≥0 4 a≥0，b>0 5 分母有理化① 6 分母有理化② 7 完全平方 8 平方差 易混点 关键区别 说明 (1) 与 前者=a（a≥0）；后者=|a|（a可为负） 去根号时先定符号 (2) 最简 与 同类 最简是“单个根式”标准；同类是“多个根式”关系 先化简再判同类 (3) 与 前者=|a|恒非负；后者要求a≥0 判断被开方数范围 (4) 性质③④正逆用 正用=合并；逆用=化简 化简常用逆用 (5) 分母不能为0 除法/分数中被开方数为0要当心 被开方数>0（分母位置） 【题型一】二次根式的识别与有意义的条件 【例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）在实数范围内，当___________时，有意义． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）等式成立的条件是______． 【题型二】最简二次根式判定与化为最简二次根式 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海静安·期中）化简：=______． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，化简__________. 【题型三】利用二次根式的性质化简 【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若，化简． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）设化简：_____． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 【题型四】二次根式的加减运算 【例4】（23-24八年级上·上海·期中）计算：．（） 【变式4-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）计算： 【题型五】二次根式的乘除运算 【例5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式5-1】（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【变式5-2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【题型六】二次根式的混合运算 【例6】（26-27八年级上·上海·期中）计算的结果是___________． 【变式6-1】计算__________． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【变式6-3】（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【题型七】化简求值 【例7】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【变式7-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【题型一】去根号忘绝对值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）计算：___________． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，化简 _____． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则_____． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【题型二】二次根式有意义的条件忽略分母≠0 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）等式成立的条件是________． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）当 满足_____时， 有意义． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）使得等式成立的的取值范围是__________ 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【题型三】未先化简判同类 【例3】（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-1】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【题型一】双重非负性求值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）若，则___________． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是______． 【变式1-2】若，则代数式的值为______． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数满足，那么__________． 【题型二】已知最简二次根式求参数 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则___________． 【题型三】利用分母有理数解不等式 【例3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）不等式的解集是________． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）不等式的解集是______． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集为__________． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）解不等式：． 【题型四】复合二次根式化简 【例4】（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海·阶段检测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式4-3】像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 模型 适用 步骤 模型1：求取值范围 二次根式有意义/含字母 ①列被开方数≥0；②若分母含根式则>0；③解不等式组 模型2：化简根式 化为最简 ①拆被开方数为平方数×其他；②逆用性质③；③处理分母 模型3：合并同类 加减混合 ①先全部化简；②识别同被开方数；③系数合并 模型4：分母有理化 分母含根号 ①单项分母乘√a；②两项分母乘共轭式 模型5：化简求值 先化简后代入 ①先化简目标式与已知条件；②整体代入；③注意范围 【题型一】求取值范围 【例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是_______． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是_________． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）是二次根式，则的取值范围是_____． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 【题型二】化简根式 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期末）化简：____________________． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则________． 【变式2-2】计算： 【变式2-3】一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【题型三】二次根式的运算 【例3】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算：     （2）计算： 【变式3-3】（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【题型四】分母有理化 【例4】（25-26八年级上·上海·期中）写出的有理化因式是______． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海静安·期中）不等式的解集是______． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【题型五】化简求值 【例5】（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 1. 先判断“被开方数是否非负”，再谈化简——避免对负数开平方失分。 2. 化简根式时，先把被开方数分解为“平方数×其他”，再逆用乘法性质开方。 3. 去根号遇到偶次根式，一律先写绝对值，再根据条件去绝对值。 4. 判断同类二次根式前，务必先把所有根式化为最简。 5. 混合运算类比整式：先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算括号。 6. 分母中出现根号时，用共轭式有理化，且注意符号。 7. 化简求值题，先化简再代入，并检查字母取值范围是否满足条件。 8. 结果统一化为最简二次根式，避免“没化到最简”扣分。 9. 遇到含参数根式，充分利用被开方数非负这一隐含条件。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $