第二十章二次根式（期中知识清单）九年级数学上学期新教材华东师大版

第二十章 二次根式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识二次根式 1.1 二次根式的定义 表示非负数 的算术平方根，也就是说， 是一个非负数，它的平方等于 ，即有： 形如 的式子叫做二次根式。 示例：，； 没有意义。 注意：在 中， 的取值必须满足 ，即二次根式的被开方数必须是非负数。 1.2 二次根式的性质： 当 时，；当 时，。 这就是说，对于任意实数 ，。 示例：，。 注意：如果二次根式的被开方数是一个完全平方数，可以将它”开方”出来，从而达到化简的目的。 2. 二次根式的乘除 2.1 二次根式的乘法法则 一般地，设 ，，有 于是，我们得到二次根式的乘法法则：。 示例：；。 2.2 积的算术平方根 前面得到的等式 ，也可以写成 利用这个性质可以进行二次根式的化简。 示例：。 2.3 二次根式的除法法则 一般地，有 示例：；。 2.4 商的算术平方根 上面”概括”中的等式，也可以写成 利用这个性质可以进行二次根式的化简。 示例：。 2.5 最简二次根式 化简后的二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于 ，像这样的二次根式称为最简二次根式。 示例：、 是最简二次根式；、 不是最简二次根式。 2.6 分母有理化 二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母都乘以一个恰当的二次根式就可以了。通常将这种化简过程称为分母有理化。 示例：。 3. 二次根式的加减 3.1 同类二次根式 与整式中的同类项相类似，我们把像 、 与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式。 与 也是同类二次根式。 示例： 与 化简后被开方数相同，是同类二次根式。 3.2 二次根式的加减法则 二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并。二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 的化简 。化简 型根式时先取绝对值，再按 的符号去掉绝对值： 时得 ， 时得 。 【使用提醒】当 的符号未知时，结果必须保留 或分类讨论，不能直接写成 。 1.2 完全平方因数开方 被开方数中含完全平方的因数（或因式）时，可将它”开方”出来：。 1.3 平方差公式有理化 ，据此化去分母中的根号：，。 1.4 双重根式的化简 形如 的式子，若可配成完全平方式，则直接开方：如 。 1.5 二次根式加减的口诀 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的项（系数相加减，根式不变）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求二次根式有意义的条件 被开方数 ；根式作分母时，分母还须 （即被开方数 ），两者取公共部分。如 有意义： 且 ，即 。 2.2 二次根式化简的步骤 先分解被开方数，把完全平方的因数（或因式）“开方”出来；再化去被开方数中的分母（分母有理化），使结果为最简二次根式。如 。 2.3 二次根式混合运算的顺序 先化简各二次根式（化为最简二次根式），再合并同类二次根式；乘除运算先合被开方数再算。如 。 2.4 含字母根式的化简 化简含字母的根式，先由条件确定字母的取值范围（符号），再决定开方结果取正还是取负。如已知 ，则 ；已知 ，则 。 2.5 分母有理化的方法 分子、分母同乘以分母的”共轭根式”（ 对应 ），利用平方差公式化去分母中的根号。如 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 平方比较大小 比较两个正二次根式的大小，可先平方再比 与 ：，，故 夹逼估算 用相邻两个整数夹住根号值 ， 平方差公式 完全平方展开 提”根号”合并 把 当”字母”，系数相加减 4. 常见考试模型 4.1 含根号的对称式求值 公式：已知 时， 恰为其共轭根式，可整体求 、 等对称式的值。 限定：分母不能为 （即 ）。 示例：如 ，则 ，，。 4.2 双重根式化简求值 公式： 配方为 （，）后开方；。 限定：，，且 、 为正数。 示例：如 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：化简 直接得 ，漏掉绝对值 典例：已知 ，化简 。 错解：。 正解：（因为 ）。 原因：概念理解错误。学生把 与 混为一谈—— 要求 ，而 对任意实数 都有意义，其结果一定是非负数 。当 时 ，不能直接写成 。化简 型根式，务必”先取绝对值、再看符号”。 易错点 2：求二次根式有意义的条件，漏掉”等于 0” 典例： 是怎样的实数时， 有意义？ 错解：由 ，得 。 正解：二次根式的被开方数必须是非负数，由 ，得 。 原因：忽略隐含条件。学生把”非负数”误记为”正数”，漏掉了被开方数等于 的情形—— 时 仍有意义。求二次根式有意义的条件必须写 而非 ；若根式作分母，才在分母部分再补”“。 易错点 3：误把 合并成 典例：计算 。 错解：。 正解：，所以 。 原因：概念理解错误。学生把二次根式的加减与乘法混淆，误以为 。二次根式相加减，只能合并被开方数相同的同类二次根式（系数相加减），不同被开方数不能直接合并；应先化简各二次根式，再判断哪些是同类。 易错点 4：二次根式乘除忽视”被开方数非负”的前提 典例：计算 。 错解：。 正解：、 的被开方数为负数，都没有意义，所以原式无意义，不能计算。 原因：忽略使用前提。乘法法则 成立的前提是 、，学生只记公式形式、不记适用范围，把负数也代入运算。使用二次根式乘法（除法还须 ）前，必须先确认每个根式的被开方数非负。 易错点 5：判断最简二次根式，漏看”含完全平方因数” 典例：把 化为最简二次根式。 错解： 已经是最简二次根式。 正解：， 才是最简二次根式。 原因：概念理解不完整。最简二次根式须同时满足”被开方数不含分母”和”不含能开得尽的因数（或因式）“两个条件。 的被开方数 含有完全平方因数 ，必须把它”开方”出来。判断最简二次根式时，要先把被开方数分解因数逐项排查。 易错点 6：分母有理化只乘分母、不乘分子 典例：化简 。 错解：。 正解：。 原因：操作层面的错误。分母有理化的依据是分式的基本性质——分子、分母同乘以同一个非零因式，分式的值才不变。学生只乘了分母、忘了乘分子，破坏了”分子分母同乘”的同步性。有理化时分子、分母必须乘以同一个恰当的二次根式。 学科网（北京）股份有限公司 $