第二十二章图形的相似（期中知识清单）九年级数学上学期新教材华东师大版

第二十二章 图形的相似　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 成比例线段 1.1 相似图形 我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形。 示例：同一底片扩印出来的不同尺寸的照片是相似图形；放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，也是彼此相似的。 1.2 成比例线段 对于给定的四条线段 、、、，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 （或 ），那么，这四条线段叫做成比例线段，此时也称这四条线段成比例。 示例：，，， 时，，所以这四条线段是成比例线段。 注意：成比例线段强调的是”长度之比相等”，四条线段只须满足一个比例式即可，不要求长度本身相等。 1.3 比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 。以上结论称为比例的基本性质。 示例：由 得 ；反之由 得 。 1.4 黄金分割与比例中项 将一条线段 分成两条线段 和 （），使 我们称 为 和 的比例中项，点 为线段 的黄金分割点，将线段 黄金分割。 由于 ，所以长为 的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为 。 示例：长为 的线段 上，点 满足 时，。 1.5 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（简称平行线分线段成比例） 示例：如图，，两条直线 、 被截，则 ， 等。 1.6 平行于三角形一边的直线 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 示例：在 中，，则 ， 等。 2. 相似多边形 2.1 相似多边形的定义 相似多边形的对应边成比例，对应角相等。 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似。 示例：两个正方形一定相似；两个矩形不一定相似（对应边不一定成比例）。 2.2 相似比 两个相似多边形对应边的比称为它们的相似比。 示例：两个相似三角形的一组对应边长分别为 和 ，则相似比为 。 3. 相似三角形 3.1 相似三角形的定义 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形。 相似用符号”∽“来表示，读作”相似于”。此时 与 相似，记作 ∽，读作： 相似于 。 全等三角形是相似三角形的特例。 示例：两个等边三角形一定相似；两个等腰三角形不一定相似。 3.2 平行线预备结论 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 示例：在 中，，则 ∽。 3.3 相似三角形的判定 判定定理 1 两角分别相等的两个三角形相似。 示例：两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似。 判定定理 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：，且 ，则 ∽。 判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似。 示例：三边分别为 、、 与 、、 的两个三角形相似。 3.4 相似三角形的性质 相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 相似三角形对应角的平分线的比等于相似比。 相似三角形的周长的比等于相似比。 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。 示例：相似比为 的两个相似三角形，对应高、对应中线、对应角平分线之比均为 ，周长比为 ，面积比为 。 3.5 三角形的重心 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 。 示例：在 中，中线 、 交于点 ，则 。 4. 位似图形 4.1 位似图形与位似中心 两个图形的对应点 与 、 与 、 与 ……的连线都相交于一点 ，并且 ，这两个图形叫做位似图形，点 叫做位似中心。 示例：位似图形也是相似图形， 是两者的位似比，也即相似比。 5. 图形与坐标 5.1 用坐标确定位置 有了平面直角坐标系，可以用一对有序实数表示平面上一个点的位置，进而确定一个物体的位置。还可以用角度（方向）和距离这两个量刻画物体的位置。 示例：某地在观测点北偏东 方向、距离 处。 5.2 图形的变换与坐标 一个几何图形经过某种变换改变位置或大小后，图形上各点的坐标也发生相应的变化： 图形变换 变换前点的坐标 变换后点的坐标 关于 轴对称 关于 轴对称 关于原点对称 沿 轴向右平移 个单位长度 沿 轴向上平移 个单位长度 以原点为位似中心放大（缩小）到 倍 示例：点 关于 轴对称后为 ；沿 轴向右平移 个单位长度后为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 比例的合比、分比、等比性质 若 ，则 ；（合分比）。若 ，则 （等比性质）。 【使用提醒】等比性质的结论要求分母之和 ；合分比要求 。 1.2 相似三角形对应线段比与面积比 相似比为 的两个相似三角形，对应高、对应中线、对应角平分线的比、周长的比都等于 ，面积的比等于 。 【使用提醒】面积比等于相似比的平方，最容易与”相似比”直接混淆，求面积比时要先平方。 1.3 射影定理（双垂直模型） 在 中，， 于点 ，则 ，，。 1.4 相似三角形的传递性 若 ∽，∽，则 ∽。 1.5 位似图形与坐标 以原点为位似中心、位似比为 ，则点 的对应点坐标为 ；当 时，对应点在原点的另一侧。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 找（证）相似三角形三步法 先找（证）两角相等（判定定理 1 最常用），再看两边成比例且夹角相等，最后看三边成比例；书写时把对应顶点写在对应位置。如证 ∽，先证 、 即可。 2.2 证明等积式（乘积等式） 把等积式化为比例式 → 找（构造）相似三角形 → 由对应边成比例得证。如证 ，化为 ，再证 ∽。 2.3 求线段比 利用平行线分线段成比例或相似三角形的对应边成比例，把所求比转化到已知线段上。如求 ，用 转化为 。 2.4 测高测距 构造相似三角形，利用对应边成比例求不能直接测量的高度、宽度。如同一时刻物体高度与影长成正比：。 2.5 位似作图四步法 取位似中心 → 作射线（或直线）→ 在射线上按位似比截取对应点 → 顺次连结。位似中心可取在图形外（同侧或异侧）、图形上、图形内。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 对应顶点对应写 记相似关系时把对应顶点写在对应位置，便于直接读出对应边、对应角 由 ∽ 直接得 比例式交叉变形 与 互化，比例的基本性质是变形工具 由 得 相似比 的桥梁作用 设相似比为 ，用它统一表示对应边、周长、面积 周长比为 ，面积比为 特殊三角形速判 等边三角形必相似；等腰直角三角形必相似；直角三角形斜边上的高把它分成两个与原三角形都相似的小直角三角形 为 斜边上的高，则 ∽∽ 黄金分割数 ，较长段是较短段与全长的比例中项 黄金分割点 使 4. 常见考试模型 4.1 A 字型 / X 型（平行线）模型 公式： 时，（A 字型）；两直线被一组平行线所截得 X 型，对应线段成比例。 限定：、 须分别在 、（或其延长线）上。 示例：如 ，则 。 4.2 双垂直（射影定理）模型 公式： 中 ， 于点 ，则 ，，。 限定：必须同时是直角三角形且 为斜边上的高。 示例：如 ，，则 。 4.3 测高测距模型 公式：同一时刻物高与影长成正比：；测河宽时由两角相等得相似，河宽 杆高 。 限定：太阳光视为平行光，物体垂直于地面。 示例：竹竿高 、影长 ，高楼影长 ，则楼高 。 4.4 位似与坐标变换模型 公式：以原点为位似中心、位似比为 ，点 ；关于 轴、 轴、原点对称分别为 、、。 限定：位似中心取原点； 可正可负（负号表示在另一侧）。 示例：如 以原点为中心放大 倍得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：相似三角形记法错位，对应关系写反 典例：已知 ∽，，，，求 的长。 错解：误认为 与 对应，列 ，得 。 正解：相似记法把对应顶点写在对应位置， 对应 ， 对应 ， 对应 ，所以 ，即 ，解得 。 原因：概念理解不到位。相似符号”∽“两侧顶点的排列顺序规定了对应关系，学生书写或审题时没有做到”对应顶点写在对应位置”，把 与 、 与 错配，导致比例式列反。 易错点 2：相似比与面积比混淆 典例：两个相似三角形的相似比是 ，那么它们面积的比是________。 错解：填 。 正解：面积比等于相似比的平方，即 。 原因：记忆缺失。只记住”相似三角形对应线段、周长之比等于相似比”，把”面积比等于相似比的平方”这一条与相似比直接等同，忘记面积是二维量、比要平方。 易错点 3：用判定定理 2 时漏掉”夹角相等” 典例：在 和 中，，，这两个三角形一定相似吗？ 错解：两边成比例、有一角相等，所以一定相似。 正解：不一定。 与 不是成比例的两边 、 与 、 的夹角，不满足”两边成比例且夹角相等”，不能判定相似。 原因：条件遗漏。把判定定理 2 中”夹角”误当成任意一个角，忽略了必须是”两组成比例边所夹的角”；两边成比例但相等角不是夹角（或夹角不相等）的两个三角形一般不相似。 易错点 4：平行线分线段成比例中对应线段位置搞反 典例：如图，，两条直线 、 被截，，，，求 的长。 错解：列 ，即 ，得 。 正解：，即 ，得 。 原因：概念理解错误。平行线分线段成比例要求”对应线段”成比例， 与 对应、 与 对应，学生把右端分子分母颠倒，导致”上比下”错配成”下比上”。 易错点 5：位似图形漏掉异侧解 典例：以点 为位似中心，把 放大到原来的 倍，作出所有可能的位似图形。 错解：只在点 与 的同侧作出一种位似图形。 正解：位似图形有两种：一种对应点在位似中心 的同侧（位似比 ），另一种在异侧（位似比 ），共两种，都要作出。 原因：漏分类讨论。学生只想到”射线同侧取点”这一种情形，忘了在位似中心异侧取点也能得到位似图形；位似比 可取正、负，负值对应点在原点的另一侧。 易错点 6：黄金分割中较长段与较短段弄反 典例：线段 ，点 是线段 的黄金分割点，且 ，求 的长。 错解：。 正解：由 且 ，得较长段 ，所以较短段 。 原因：审题遗漏、概念混淆。黄金分割点把线段分成较长段（约 ）和较短段（约 ），学生没有注意题目限定 ，把较长段与较短段对应的值搞反。 学科网（北京）股份有限公司 $