第二章锐角三角函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材湘教版

第2章 锐角的正弦、余弦、正切　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 锐角的正弦和余弦 1.1 锐角的正弦 在直角三角形中，锐角 的对边与斜边的比叫作 的正弦，记作 ，即 图1：锐角 的正弦， 是 的对边， 是斜边 示例：在 中，，，，则 。 注意：在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。 1.2 锐角的余弦 在直角三角形中，锐角 的邻边与斜边的比叫作 的余弦，记作 ，即 图2：锐角 的余弦， 是 的邻边， 是斜边 示例：在 中，，，，则 。 1.3 互余两角的正弦、余弦的关系 在直角三角形中，对于任意锐角 ，有 ，从而有 。 示例：，。 1.4 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值 三个特殊角（，，）的正弦值、余弦值分别是： 示例：，；，。 2. 锐角的正切 2.1 锐角的正切 在直角三角形中，锐角 的对边与邻边的比叫作 的正切，记作 ，即 图3：锐角 的正切， 是 的对边， 是 的邻边 示例：在 中，，，，则 。 2.2 30°、45°、60°角的正切值 利用含 角的直角三角形可以求得 ，；利用等腰直角三角形可以求得 。 示例：，，。 2.3 锐角三角函数 任意给定一个锐角 ，它的正弦 （或余弦 ，或正切 ）都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 变化时，相应的 （，）的值也随之变化。习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数。 注意：任一锐角的正弦值、余弦值、正切值只与角的大小有关。 3. 解直角三角形 3.1 解直角三角形的概念 由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。 示例：在 中，，，，求 ，，，就是解直角三角形。 3.2 解直角三角形的条件 在直角三角形中，除直角外有 个元素（即 条边、 个锐角），只要知道其中的 个元素（至少有 个是边），就可以求出其余的 个未知元素。 示例：已知一条边和一个锐角（如斜边 与锐角 ），或已知两条边（如 ，），都可解直角三角形；只知两个锐角则不能解。 4. 解直角三角形的应用 4.1 坡度与坡角 从坡脚点 上坡走到点 时，升高的高度 （即线段 的长度）与水平前进的距离 （即线段 的长度）的比叫作坡度，用字母 表示，即 （坡度通常写成 的形式）。 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作 ，显然，坡度等于坡角的正切，即 图4：坡度 与坡角 坡度越大，山坡越陡。 示例：一山坡的坡度 ，即 ，坡角 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同角三角函数的平方关系与商数关系 对任意锐角 ，有 ；。 1.2 锐角三角函数值的范围 对任意锐角 ，，，（且 可任意大）。 1.3 锐角三角函数的增减性 当锐角 增大时， 与 随之增大， 随之减小。 1.4 由函数值相等反求角 若 且 、 均为锐角，则 ；、 同理。 1.5 已知一个三角函数值求其余函数值 已知 （ 为 的对边， 为斜边），由 求出邻边 ，再得 、。如 ，设 ，，则 ，，。 1.6 锐角三角函数的等角转化 同角或等角的三角函数值相等；求非直接可得的角时，先找其等角（平行线、全等、余角补角关系）。如 中 ， 与 互余，则 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求锐角三角函数值的三步 在直角三角形中确定所求锐角的对边、邻边、斜边 → 代入定义：正弦等于对边与斜边的比、余弦等于邻边与斜边的比、正切等于对边与邻边的比 → 边未知时先用勾股定理 求出。如求 ，先锁定 的对边与斜边，勿取邻边。 2.2 解直角三角形的两种基本类型 已知一边一角（斜边 与锐角 ）：，，。已知两边（、）：， 反求 ，。 2.3 构造直角三角形 非直角三角形中，作高线或辅助线构造直角三角形，把求边、求角转化为解直角三角形。如斜三角形求高，先作底边上的高。 2.4 设 法求边长 已知边的比值（如 ），设比例系数 （）表示各边，再用勾股定理或已知线段定出 ，回代求边。如 可设邻边 、斜边 ，对边 。 3. 化简与求值小技巧 技巧 要点 示例 特殊角值速记 正弦值依次 、、（对应 、、），余弦倒过来，正切为 ， 平方和关系化一 见 直接化为 ，减少计算 商数关系化切 遇 与 、 混合，用 化切为弦 互余角转化 把 化为 、 化为 ，统一函数后再算 、 的含义 记作 ，先算函数值再平方，勿当成 4. 常见考试模型 4.1 仰角、俯角测量模型 公式：测高 （ 为水平距离， 为仰角或俯角）；有仪器高 时物体总高 。 限定：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角；计算结果按要求精确（如精确到 ）。 示例：如 ，仰角 ，仪器高 ，则塔高 。 4.2 坡度、坡角模型 公式：坡度 （ 为升高高度， 为水平距离， 为坡角），坡度常写成 。 限定：已知坡度求高度时，若给的是坡面（斜边）长，须先用 或勾股定理，勿直接用 乘斜边。 示例：如坡度 、坡面长 ，则升高 。 4.3 方向角（航海、灯塔）模型 公式：北偏东 等方向角中，作垂线构造直角三角形，用 或 列式求距离。 限定：方向角以”南北线”为基准、左右偏转；先画示意图标清角度与未知量再列式。 示例：如船先向东行 ，灯塔由北偏东 变到正北，则船与灯塔距离 。 4.4 双直角三角形（方程）模型 公式：同一垂线段（或水平线段）在两个直角三角形中各用 表示，利用线段和差列方程解出未知量。 限定：设未知量为公共边（如 ），两式中 含义一致；解后检验是否符合实际。 示例：如 ，解得 ，再判是否超过安全距离 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求三角函数值时把对边、邻边搞反 典例：在 中，，，，求 的值。 错解：。 正解： 的对边是 ，斜边是 。由勾股定理 ，所以 。 原因：概念理解错误。对边、邻边都是相对所求锐角而言的，“对边”是该角所对的边、“邻边”是该角的邻边，不能脱离角来谈。学生常把 的正弦误写成其邻边与斜边的比。应养成”先标角、再辨对边/邻边/斜边”的习惯。 易错点 2：特殊角三角函数值记忆颠倒 典例：求 的值。 错解：。 正解：。、、 的正弦值依次为 、、。 原因：记忆缺失。 与 同为 、 与 同为 ，学生易把正弦、余弦两行值记反。根源是死记而没抓住”正弦随角增大而增大、余弦随角增大而减小”的规律。 易错点 3：把 误算成对角度平方 典例：计算 。 错解：，无法求值。 正解：。 原因：符号理解错误。 是 的简写，表示”先求 的正弦值、再平方”，并非对 本身平方后再求正弦。学生误把指数 作用到了角度上。 易错点 4：对非直角三角形直接套用锐角三角函数 典例：在 中，，，，求 。 错解：。 正解：锐角三角函数的定义只在直角三角形中成立。 不是直角三角形，不能直接用”对边/斜边”；须过 作 的垂线构造直角三角形后再求。且正弦值不可能大于 ， 本身也不合理。 原因：忽略使用前提。、、 定义的前提是”在直角三角形中”，学生看到角与边就套公式，忘了检查是否满足前提；非直角三角形应先作高构造直角三角形，把问题转化。 易错点 5：解直角三角形缺”至少一条边”的条件 典例：判断：在 中，，，能否求出三边的长？ 错解：能。由 ，再用三角函数求出各边。 正解：不能。只知道两个锐角（、），没有任何边长，三边只能确定比例 ，不能确定具体长度。解直角三角形须已知 个元素且至少有 个是边。 原因：条件遗漏。学生没吃透”除直角外有 5 个元素、知 2 个（至少有 1 个是边）才能解”这一条件，误以为知道角度就能定边长。 易错点 6：坡度问题把水平距离与坡面长搞混 典例：一斜坡的坡度 ，坡面（斜边）长 ，求坡高。 错解：坡高 。 正解：坡度 ， 与 是两条直角边。设 ，，由勾股定理 ，即 ，。 原因：概念混淆。坡度是”升高高度与水平前进距离的比”，水平距离是直角边、不是坡面（斜边）长；学生误把坡度直接与斜边挂钩。应牢记 中 是水平距离，涉及斜边时须用勾股定理。 学科网（北京）股份有限公司 $