第三章二次根式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

第三章 二次根式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 二次根式的概念及性质 1.1 二次根式的定义 一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数。 示例：，， 与 等都是形如 的式子，都是二次根式。 1.2 二次根式有意义的条件 我们知道：每一个正实数 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 的算术平方根。同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义。 示例：当 是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？由 ，解得 。因此，当 时， 在实数范围内有意义。 注意：在初中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义。 1.3 性质 对于非负实数 ，由于 是 的一个平方根，因此 。 示例：；。 1.4 性质 由于 的平方等于 ，因此 是 的一个平方根。当 时，根据算术平方根的意义，有 ，由此得出：。由于 的平方等于 ，因此 是 的一个平方根。当 时，，根据算术平方根的意义，可以得到：。综上可得：，即 的取值 的结果 示例：；。 1.5 积的算术平方根的性质 一般地，当 ， 时，由于 ，因此 。由此得出：。上述等式就是积的算术平方根的性质。利用这一性质，可以化简二次根式。 示例：；。 注意：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 1.6 最简二次根式 从例 4 和例 5 看到，二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）。这样的二次根式叫作最简二次根式。在二次根式的运算中，要把最后结果化成最简二次根式。 示例： 是最简二次根式； 不是最简二次根式（被开方数含分母）。 注意：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数（或因式），且不含分母。 2. 二次根式的乘法和除法 2.1 二次根式的乘法 把 反过来，就可得：。利用上述等式，可以进行二次根式的乘法运算。要注意的是，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式。 示例：；。 2.2 商的算术平方根的性质 设 ，，则 。因此得出：。上述等式就是商的算术平方根的性质。利用这一性质，可以化简二次根式。 示例：；。 注意：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 2.3 二次根式的除法 把 反过来，可得：。利用上述等式，可以进行二次根式的除法运算。要注意的是，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式。 示例：。 注意：化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式。 3. 二次根式的加法和减法 3.1 二次根式的加减法 我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数进行运算。对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算。 示例：。 3.2 二次根式的四则运算 二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的。 示例：；。 注意：可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 二次根式的双重非负性 二次根式 中，被开方数 ，且 （算术平方根非负），两者缺一不可。 1.2 几个非负数之和为 0 若 ，则 ，，。如 ，则 ，。 1.3 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫作同类二次根式，可以合并。如 与 是同类二次根式，。 1.4 互为有理化因式（共轭二次根式） 与 互为有理化因式，其积 不含根号。如 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求二次根式有意义的条件 先令被开方数 ；若根式整体在分母处，还须 （即 ）。如 有意义：，； 有意义：，。 2.2 化简二次根式（化最简） 把被开方数分解出平方因数（因式）再开出来；被开方数含分母时先分母有理化。如 。 2.3 二次根式的加减 先化成最简二次根式，再找同类二次根式，最后合并系数、根式部分不变。如 。 2.4 二次根式的乘除 乘法 （，），除法 （，），结果化成最简。如 。 2.5 分母有理化 分子、分母同乘一个适当的因式，使分母不含根号。分母为一个根式时同乘该根式；分母为 型时同乘其共轭式 ，用平方差公式。如 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 平方数速查 熟记 ～，快速识别被开方数中开得尽方的因数 平方法比较大小 两个正数 ，，比较 与 可比较 与 ，故 夹逼法估算 （ 为非负整数）时 ，据此确定整数部分 ， 乘法公式简便运算 平方差、完全平方公式用于根式乘法与有理化 裂项相消 ，求和时相邻项抵消 4. 常见考试模型 4.1 二次根式非负性求值 公式：若 ，则 ，，（几个非负数的和为 ，每个都为 ）。 限定：，，，且 本身要求 。 示例：如 ，则 ，，。 4.2 二次根式的整数部分与小数部分 公式：（ 为整数）时， 的整数部分是 ，小数部分是 。 限定：先确定 所在区间，再分离整数与小数部分。 示例：如 的整数部分 ，小数部分 ，则 。 4.3 裂项求和 公式：（先分母有理化，相邻项可抵消）。 限定：，结果要化成最简二次根式。 示例：如 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：化简 时漏掉 的情况，误写成 典例：化简 （其中 ）。 错解：。 正解：因为 ，所以 ，故 。 原因：概念理解错误。学生把 直接等同于 ，忽略了算术平方根的结果必须非负；当 时 。根号下是”某个式子的平方”时，开方结果应取该式子的绝对值，再根据式子的符号去掉绝对值号。 易错点 2：二次根式在分母处，只写被开方数 ，漏掉分母不为 0 典例：当 为何值时， 有意义？ 错解：由 ，解得 。 正解：被开方数非负且分母不为 0，即 ，解得 。 原因：条件遗漏。学生只记得”被开方数 “，忘了根式整体在分母处必须不为 0；当 时分母为 0，分式无意义，故条件应为严格大于。 易错点 3：二次根式加减时，把被开方数不同的根式直接合并 典例：计算 。 错解：。 正解： 与 不是同类二次根式，不能合并，结果就是 。 原因：思维迁移错误。学生受”同类项合并、同分母分数相加”的影响，误以为根号可以”分配”到和上，即误用 。根号内不能直接相加，只有化成最简二次根式后被开方数相同的项才能合并。 易错点 4：运算结果不化简，没有化成最简二次根式 典例：计算 。 错解：（到此为止，未分母有理化）。 正解：。 原因：化简不彻底。最简二次根式要求被开方数不含分母（即分母中不含根号），学生算完乘除后忘记分母有理化这最后一步；凡是结果中分母带根号，都要通过分子、分母同乘适当的因式化为最简。 易错点 5：忽略积的算术平方根性质的前提 ， 典例：化简 。 错解：。 正解：先算被开方数 ，则 。 原因：忽略隐含条件。积的算术平方根性质 成立的前提是 ，；学生没验证每个因式非负就拆开，而 、 在实数范围内没有意义。应先把被开方数相乘（化为非负数）再开方。 学科网（北京）股份有限公司 $