第一章因式分解（期中知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

第1章 因式分解　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 多项式的因式分解 1.1 因式 一般地，对于多项式 与 ，如果有多项式 使得 ，那么把 叫作 的一个因式。此时， 也是 的一个因式。 示例：由于 ，则 是多项式 的因式；由于 ，则 和 都是 的因式。 1.2 因式分解 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式。 示例： 是多项式 的因式分解。 1.3 因式分解与多项式乘法的关系 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，可以利用多项式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确。 示例： 是因式分解，把右边乘开 ，可检验其结果正确。 2. 提公因式法 2.1 公因式 几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例： 中次数大于 的因式有 、； 中次数大于 的因式有 、。 与 有相同的因式 ，所以 是它们的公因式。 2.2 提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面。这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法。 示例：。 注意：多项式首项系数为负数时，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解。 示例：。 3. 公式法 3.1 公式法 把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解。这种因式分解的方法叫作公式法。 示例：。 3.2 平方差公式 把平方差公式 从右到左使用，得 。 示例：。 注意：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止。 示例：。 3.3 完全平方公式 把完全平方公式 、 从右到左使用，得 、。 示例：。 4. 十字相乘法与分组分解法 4.1 十字相乘法 由于 ，因而 。利用这个等式，可以将某些二次项系数是 的二次三项式因式分解。 一般地，对于二次多项式 ，画一个十字交叉线，使得左边两个数 、 的乘积等于二次项系数 ，右边两个数 、 的乘积等于常数项 ，交叉数的乘积之和 等于一次项系数 ，则 。这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法。 示例：；。 4.2 分组分解法 利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 完全平方式的判定 二次三项式 为完全平方式的条件是 ，此时 ；中间项系数可正可负，待定系数须成对取 值（如 中 ）。 1.2 平方差公式的推广变形 ；差为偶次幂时（如 ）可连续用平方差公式，得 。 1.3 相反数多项式的平方关系 （偶次幂整体不变号）；（一次式提公因式须变号）。提取多项式公因式前先统一形式。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 因式分解的一般步骤 先提公因式（有公因式必须先提）→ 再看能否用公式法（两项看平方差、三项看完全平方）→ 都不能用时可十字相乘或分组分解 → 最后检查每个因式是否分解彻底。如 。 2.2 公因式的确定方法 公因式 各项系数的最大公约数 各相同字母的最低次幂。系数含分数时，取各分数分子最大公约数作分子、分母最小公倍数作分母。如 与 的公因式为 。 2.3 首项为负先提负号 首项系数为负时先把负号提到括号外，括号内每一项都变号，再继续分解。如 。 2.4 整体思想（换元） 把重复出现的多项式看作一个整体（可设 ），先按整体分解，再代回。如 。 2.5 公式法适用特征判断 两项、符号相反且都是完全平方式 → 用平方差；三项、首尾都是完全平方式且中间项是 倍首尾之积 → 用完全平方；否则换提公因式、十字相乘或分组分解。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 平方差简便计算 ，先算和、差再相乘 完全平方简便计算 见 型直接凑 因式分解求值 目标式提公因式后整体代入已知条件 已知 ，则 因式分解证整除 把式子写成含某因数的积 两连续奇数平方差 ，能被 整除 分数系数提公因式 公因式系数为各系数分母最小公倍数作分母的分数 4. 常见考试模型 4.1 拼图面积模型 公式：用边长分别为 、 的正方形与长为 、宽为 的长方形等卡片拼图，用两种方式表示同一面积得到恒等式，如 、。 限定：拼成图形各边长为正，所得等式为恒等式。 示例：如用 张 、 张 、 张 卡片拼图，面积可用 与 两种方式表示。 4.2 因式分解密码模型 公式：先对多项式因式分解，再把字母用数字代入，将各因式的值依次排列成密码。 限定：各因式代入数字后依次取值排列。 示例：如 ，取 、 得各因式的值 、、，密码为”“。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把整式乘法当成因式分解 典例：判断 从左边到右边的变形是不是因式分解。 错解：是因式分解。 正解：不是因式分解。等式右边 不是几个多项式的乘积形式，不符合”把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式”的定义；而 才是因式分解。 原因：概念理解错误。因式分解的结果必须是”积”的形式，学生把”式子变了形”等同于”因式分解”，忽略了”化为乘积”这一本质特征，与整式乘法混为一谈。判断的关键只看右边是否为乘积形式。 易错点 2：提公因式后漏写”1” 典例：把 因式分解。 错解：。 正解：。第三项 提出公因式 后剩余 。 原因：细节遗漏。当某一项恰好等于公因式本身时，提出后该项应剩”“，学生误以为”提走就没了”。可用整式乘法检验：。 易错点 3：首项为负提取负号后括号内符号漏变 典例：把 因式分解。 错解：（括号内第二、三项未变号）。 正解：，提取 后括号内每一项都要除以 ，符号相应改变。 原因：符号处理失误。提取负号（或负系数）后括号内每一项都要变号，学生只把首项 处理对、后边各项漏变号；根源是没意识到”除以一个负数”等价于”变号”。 易错点 4：完全平方式误判 典例：判断 能否用完全平方公式因式分解。 错解：。 正解：不能。，常数项应为 ；而 的常数项是 ，符号不对，不符合完全平方公式 中” 为正”的结构。 原因：对完全平方公式结构记忆不清。完全平方式要求首尾两项都是完全平方式（常数项必须为正），中间项为 倍首尾之积，学生只看中间项形式就误判，忽略常数项符号与”完全平方”的联系。 易错点 5：因式分解不彻底 典例：把 因式分解。 错解：。 正解：，因为 还能用平方差公式继续分解。 原因：忽略分解彻底性原则。因式分解必须进行到每一个因式都不能分解为止，学生分解一次后不检查各因式能否再分；凡出现 、 这类还能用平方差公式的因式都要继续分解。 易错点 6：公因式是多项式时相反数符号处理错 典例：把 因式分解。 错解：。 正解：因为 ，所以 。 原因：符号变形失误。 与 互为相反数，提取多项式公因式前须先统一形式，学生直接”提 “却忘了 变形时多出一个负号；可用乘开验证：。 学科网（北京）股份有限公司 $