第二章代数式（期中知识清单）七年级数学上学期新教材湘教版

第二章 代数式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 代数式的概念和列代数式 1.1 代数式的定义 把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式。单独一个字母或者一个数也是代数式。 示例：，， 都是代数式；单独一个数 、单独一个字母 也是代数式。 1.2 代数式的书写规范 代数式中，数字与字母相乘时，“”通常省略不写，例如 写成 ；字母与字母相乘时，“”通常省略不写或写成”“，例如 可以写成 或 。字母和数字相乘的结果，数字写在字母的前面，例如 。 示例： 表示 与 的积的 倍； 表示 的 倍与 的 倍的和。 2. 代数式的值 2.1 代数式的值的定义 如果把代数式里的字母用数代入，那么计算后得出的结果叫作这个代数式的一个值。 示例：在代数式 里，把 用 代入，则 ，所以 是它的一个值。 注意：代数式里的字母可以用不同的数代入，但是这些数还须符合一定的要求。例如在上面 人及以下家庭一年水费的例子中， 的值只能取不超过 的非负数。 3. 整式的概念 3.1 单项式及其系数、次数 由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式，其中这个数叫作单项式的系数，所有字母的指数的和叫作单项式的次数。当单项式的系数为”“或”“时，”“省略不写。 示例：，，， 都是单项式。其中 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 。 注意：单独一个数也可看作单项式，并约定一个不为 的数其次数为 ；确定单项式的系数时要注意它前面的正负号。 3.2 多项式及其项、常数项、次数 几个单项式的和叫作多项式，其中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。 示例：多项式 的次数是 ，常数项是 ；多项式 的次数是 ，常数项是 。 3.3 整式 习惯上把单项式和多项式统称为整式。 示例：， 都是整式。 注意：单独一个数或字母是单项式（也是整式）；分母中含有字母的代数式不是整式。 3.4 同类项 把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项。 示例：在多项式 中， 与 是同类项； 与 也是同类项。 注意：判断同类项只看”所含字母相同”且”相同字母的指数相同”，与系数的大小和符号、字母的排列顺序无关。 3.5 合并同类项 一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并成一项，这叫作合并同类项。 示例：。 注意：合并同类项时，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变。 3.6 几次几项式 合并同类项后，多项式的次数和项数分别是几，则称此多项式为几次几项式。 示例： 的次数是 ，项数是 ，是三次三项式。 3.7 升幂排列与降幂排列 把只含一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小（或由小到大）排列，称为降幂（或升幂）排列。 示例： 是降幂排列； 是升幂排列。 注意：习惯上，把只含一个字母的多项式按降幂排列；把含有多个字母的多项式按照其中某个字母进行降幂排列。 3.8 多项式相等 两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等。 示例：若多项式 与多项式 相等（其中 ，，，， 均为常数），则 ，，。 4. 整式的加法与减法 4.1 相反多项式 多项式 的相反多项式就是把它的各项反号得到的多项式，即 。 4.2 去括号法则 括号前是”“，可以直接去掉括号，原括号里各项符号都不变；括号前是”“，去掉括号和它前面的”“时，原括号里各项符号均要改变。 示例：。 注意：去括号时，若括号前面是负号，则要将括号里的每一项都反号。 4.3 整式的减法 减去一个多项式，等于加上这个多项式的相反多项式，然后按整式的加法进行运算。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 整体代入法求代数式的值 已知条件是某个整体的值（或由条件可推出某整体的值）时，把目标代数式变形出该整体，再整体代入，不必先求出字母本身的值。 1.2 代数式的值与某字母的取值无关 一个含字母的式子化简后若不含某字母（该字母同类项合并后系数为 ），则它的值与这个字母的取值无关；反过来，要求”值与 无关”时，令含 的同类项合并后的系数等于 ，列方程求参数。 1.3 利用同类项的定义求参数 两个单项式是同类项（含”和为单项式”的情形）时，相同字母的指数分别相等，据此列方程求参数。 1.4 利用多项式相等求参数 两个多项式相等时，对应项的系数相等。先把两个多项式各自合并同类项，再令对应项系数相等，列方程求参数。 1.5 非负数之和为 的条件 几个非负数（绝对值、平方）之和为 时，每个非负数都等于 ，据此先求出字母的值，再代入求值。 1.6 偶次方与”错看”取值问题 只含偶次方的式子，字母取相反数时代入结果不变，故”把 错看成 “代入时，只要式子中只出现偶次方，结果仍相同。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 列代数式的步骤 抓关键词语（和、差、倍、分、商、比）确定运算类型和顺序 → 用字母和数按运算关系列式 → 规范书写（数字在前、“”省略等）。注意”和的平方”与”平方和”、“差”的先后顺序等易混表述。 2.2 求代数式值的步骤 把字母用数代入（负数、分数代入须加括号，如 代入 写 ）→ 按运算顺序计算 → 得出结果。 2.3 合并同类项的步骤 找出同类项（可用不同记号标注）→ 同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 → 写出结果并按某字母降幂排列。 2.4 整式加减运算的步骤 去括号（括号前是”“时各项变号）→ 合并同类项 → 按降幂排列。整式减法先转化为加法（减去一个多项式等于加上它的相反多项式）。 2.5 先化简再求值 先对式子去括号、合并同类项化简，再把字母的值代入化简后的式子计算。如 先化简为 再代入。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 判断单项式系数、次数 系数看数字部分（含符号， 是数），次数看所有字母指数之和 的系数是 ，次数是 判断多项式次数、项数 次数看次数最高的项，常数项是不含字母的项 的次数是 去括号定符号 括号前是”“，括号内每一项都变号 整体代换识别 目标式出现与已知条件相同的整体时，先凑出该整体再代入 已知 ，则 降幂排列定序 只含一个字母时按该字母指数从大到小排列 化为 4. 常见考试模型 4.1 图形规律探究模型 公式：搭第一个图形需 根，以后每增加一个图形多 根，则搭 个图形需 根火柴棍。 限定： 为正整数。 示例：如搭 个六边形需 根，每增加 个六边形增加 根，则搭 个六边形需 根。 4.2 数字问题模型 公式：两位数 十位数字 个位数字，即 ；三位数 。 限定：首位（最高位）数字不为 。 示例：如一个四位正整数千位、百位、十位、个位数字分别是 ，，，，则表示为 。 4.3 分段计费模型（阶梯水价） 公式：总费用 各段单价 该段用量之和；分段设量、分段列式，再合并成代数式。 限定：各段用量须落在对应范围，列式时注明范围。 示例：如用水量不超过 的部分每立方米 元，则 （ 不超过 ）立方米的水费为 元。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把圆周率 当作字母，单项式的次数算错 典例：写出单项式 的系数和次数。 错解： 的系数是 ，次数是 （把 也算作一个字母）。 正解： 的系数是 ，次数是 。因为 是圆周率（一个数），不是字母；只有字母 的指数 计入次数，故次数是 。 原因：概念理解错误。学生把 误当成字母，与 一样计入次数。 是一个确定的数，与 、 等数一样属于”系数”部分；单项式的次数只统计字母的指数之和，因此 的次数是 而不是 ，系数应连同 写作 。 易错点 2：确定单项式的系数时漏看负号 典例：写出单项式 的系数。 错解： 的系数是 。 正解： 的系数是 。 原因：符号处理失误。单项式的系数包括前面的符号， 中负号不能省略，所以系数是 而不是 。同理， 的系数是 ，不能只写 。 易错点 3：多项式的次数判断错误，把各项次数相加 典例：写出多项式 的次数。 错解：次数是 （把各项的字母指数相加）。 正解：各项的次数分别是 、、、、，其中次数最高的项是 ，所以多项式的次数是 。 原因：概念混淆。学生把”单项式次数是所有字母指数之和”的计算习惯错误迁移到多项式上。多项式的次数不是把各项次数相加，而是取”次数最高的项的次数”。 易错点 4：判断同类项时只看字母相同，忽略相同字母的指数 典例：判断 与 是不是同类项。 错解：是同类项，因为两者都含有 、、 三个字母。 正解：不是同类项。 中 的指数是 、 的指数是 ； 中 的指数是 、 的指数是 ，相同字母的指数不相同，故不是同类项。 原因：条件遗漏。学生只记住同类项”所含字母相同”这一个条件，忽略了”相同字母的指数也相同”。同类项的两个条件缺一不可；而与系数的大小、符号以及字母的排列顺序无关（如 与 是同类项）。 易错点 5：去括号时，括号前是负号却漏变号 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：法则记忆不全。学生只记得”去掉括号”，忘了”括号前是负号时，括号里的每一项都要变号”。 前面的负号与括号前的负号作用后应变为正，即 变成 。 易错点 6：求代数式的值时，负数代入漏加括号 典例：当 时，求 的值。 错解：。 正解：。 原因：忽略隐含要求。代入负数时没有加括号， 表示 ，而正确写法 ，两者符号相反。求代数式的值时，把负数（或分数）代入含平方的项，必须先用括号把负数括起来再平方，否则会改变符号、算错结果。 学科网（北京）股份有限公司 $