2.5.2 圆与圆的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知点，，是平面内的一个动点，且， (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. （2）由圆，可得为圆，圆心，半径， 又由圆心，半径为3， 圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交， 所以， 解得. 【例2】已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 【例3】已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】（1）因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. （2）由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 【基础夯实】 一、单选题 1．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 2．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 3．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 4．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 5．已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    6．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 二、多选题 7．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 8．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 9．已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】A：因为方程表示圆， 所以，因此本选项说法正确； B：因为点，， 所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确； C：， 所以圆心坐标为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，所以本选项说法不正确； D：圆：的圆心坐标为，半径为， 若圆与圆：恰有三条公切线， 则圆与圆相外切， 所以有，因此本选项说法正确， 故选：ABD 三、填空题 10．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 11．已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为__________． ②若两圆相交于两点，且，则__________． 【答案】 或 【分析】①由题可得两圆内切，则有唯一公切线，后求得两圆交点坐标，即可得答案；②两圆方程相减可得直线AB方程，后由其长度，可得答案. 【详解】①当时，圆. 因两圆圆心距为，恰为两圆半径差，则两圆内切，即两圆有唯一公切线. ，又， 则， 即两圆公共点为C，则公切线过点C， 因，则切线斜率为，故公切线方程为：； ②两圆方程相减可得两圆公共弦方程. 因，圆O半径为1，则点到直线AB距离为. 则由点到直线距离公式，可得或. 故答案为：；或. 12．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    四、解答题 13．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由为： 由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 14．已知圆 (1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，可分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解； （2）设，由两圆相外切，得到，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得原心，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得， 此时直线的方程为， 综上可得，所求直线的方程为或. （2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上， 设，且圆的圆心，半径为， 由两圆相外切，可得，即， 解得或，所以或， 所以所求圆的方程为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知点，，是平面内的一个动点，且， (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 【例2】已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【例3】已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【基础夯实】 一、单选题 1．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 6．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 8．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 9．已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 三、填空题 10．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 11．已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为__________． ②若两圆相交于两点，且，则__________． 12．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 四、解答题 13．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 14．已知圆 (1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $