第三章空间向量及其应用（期中知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

第三章 空间向量及其应用　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 空间向量及其运算 1.1 空间向量与共面向量 我们已经知道，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示。必修课程第 8 章”平面向量”中，讨论的是同一个平面中的有向线段所表示的向量。本章将去掉这一限制，考虑可以用空间任何有向线段表示的向量。 为进一步把空间向量问题归结到平面上讨论，需要引入共面向量的概念：如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的。显然，任意两个向量都是共面的。 一组共面向量的问题都可当作平面向量来处理和讨论。特别地，空间中任何只涉及一个或两个向量的运算、概念和相关性质，都可以直接运用平面向量的有关结论，这些运算和概念包括向量的和、向量的差、实数与向量的乘法等，与这些运算相联系的运算律也全部适用。 示例：求空间向量 与 的和、差及数乘，都可按平面向量的三角形法则、平行四边形法则计算。 1.2 空间向量的运算律与首尾规则 空间向量的加法结合律涉及三个向量，它们可能不共面，但每一步加法都只涉及两个向量，可以用平面向量加法法则证明该运算律成立。有了加法结合律，我们可以求空间向量的连加，而不必顾及式中的括号。 向量加法的“首尾规则”对空间向量依然成立：若干个起点、终点依次相接的向量的和是以第一个向量的起点为起点、以最后一个向量的终点为终点的向量。 示例：；。 1.3 空间向量的数量积与夹角 空间中一个向量在一个非零向量方向上的投影以及向量的夹角也可以在一个平面上实现，所以空间向量的数量积与向量的夹角也都可以运用平面向量数量积的定义与有关的计算公式。特别地，空间中两向量垂直的充要条件是其数量积为零。 示例：若 ，则 。 1.4 空间向量平行的充要条件 平面向量平行的充要条件同样适用于空间向量，即空间中的向量 与非零向量 平行的充要条件是存在实数 ，使得 。平行向量也称为共线向量。 示例： 时， 与 平行（共线）。 2. 空间向量基本定理 2.1 向量平行于平面与向量共面 我们在上一节中定义过的共面向量也可以用向量平行于平面的语言来刻画：如果一个向量所在的直线平行于一个平面，那么称这个向量平行于这个平面。一组向量共面是指它们平行于同一个平面，也就是说，它们通过平行移动可以放到同一平面上。 空间的任意两个向量总是共面的，但空间中的三个向量却不一定共面。例如，平行六面体中相交于一个顶点 的三条棱 、 与 所对应的向量 、 与 就是不共面的。 图1：平行六面体（教材图 3-2-1） 示例：正方体 中，、、 三个向量不共面。 2.2 向量共面的充要条件 向量共面的充要条件：如果 与 是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与 、 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 与 ，使得 示例： 时， 与 、 共面。 2.3 空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果 、 与 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量 ，存在唯一的一组实数 、 与 ，使得 示例：在平行六面体 中取 、、，则 ，且这样的表示方法唯一。 注意：定理中”存在唯一的一组实数”包含两层含义——不共面的三个向量既能表示空间中任意一个向量，又只能表示一次；证明时先由共面充要条件证”存在”，再用反证法证”唯一”。 3. 空间向量的坐标表示 3.1 空间直角坐标系 从空间一点 出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系 。点 叫做坐标原点，三条坐标轴分别是横轴（即 轴）、纵轴（即 轴）与竖轴（即 轴）。 图2：空间直角坐标系 （教材图 3-3-2） 我们约定坐标系采用右手制，即右手翘起拇指、其他四指握拳做”点赞”状，当四指所指的方向是 轴正方向到 轴正方向的旋转方向时，拇指所指为 轴正方向。 图3：右手制（教材图 3-3-3） 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面、 平面与 平面。三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个卦限。 图4：三个坐标平面把空间分成八个卦限（教材图 3-3-4） 3.2 空间点的坐标 给定空间一点 ，过点 分别作与坐标平面 、 与 平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方体，所作的三个平面与 轴、 轴、 轴的交点 、、（它们都是上述长方体的顶点）在轴上的坐标，给出了点 的坐标 ，其中 、 与 分别称为点 的横坐标、纵坐标与竖坐标。 图5：空间点的坐标（教材图 3-3-5） 有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建立了一一对应。 示例：点 的横坐标、纵坐标、竖坐标分别为 、、。 3.3 空间向量的坐标表示 设 、、 分别是 轴、 轴、 轴正方向的单位向量。由于三个坐标轴两两互相垂直，因此这些向量之间的数量积为 给定任意一个向量 ，我们先通过平移把 的起点放到坐标原点 ，这时得到的向量 称为 的位置向量。设 的终点坐标是 ，则直接记 ，并称向量的这种表示法为它的坐标表示。 从图 3-3-5 可以看出，，而根据点的坐标的定义，，，，所以 的实际含义是 示例： 表示 。 3.4 坐标表示下的向量运算 有了这个表达式，就可以像平面向量那样推知：如果 、 与 是坐标表示的向量， 是实数，那么 这说明：把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），等于把它们的对应坐标相加（减）；一个实数乘一个向量，等于把这个实数乘它的坐标。 一个向量 的模就是它的位置向量 的终点 与坐标原点 的距离，所以 如果向量不是由位置向量给出，也可以不通过位置向量得到此向量的坐标表示：设有空间任意两点 与 ，则 即，一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去它的起点坐标。由此得到空间任意两点 与 的距离公式： 示例： 与 的距离 。 3.5 数量积、夹角、平行与垂直的坐标表示 给定两个向量 与 ，把它们写成坐标轴正方向的单位向量的线性组合，就有 与 ，于是 对上式用分配律展开计算，并注意到 、、 是两两互相垂直的向量，且 ，所以 这就是我们所需要的两向量数量积公式： 两个非零向量 与 夹角的余弦公式是 从两向量夹角的余弦公式和两向量平行的充要条件可分别得到两个非零向量垂直与平行的充要条件： 关系 充要条件（坐标表示） 存在 ，使得 ，， 示例：，：对应坐标成比例（），所以 。 4. 空间向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 与直线和平面相关的下列向量是很重要的： · 直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量； · 平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量。 用向量方法解决有关直线和平面的问题，一般先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题然后加以解决。建立一个适当的空间直角坐标系常常是有效的辅助手段，特别是在需要数值求解的问题上。 4.2 直线、平面位置关系的向量刻画 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直。 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量。 两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行。 示例：直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 时，。 4.3 三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直。 图6：三垂线定理（教材图 3-4-1） 其向量证明的关键是把直线垂直问题化为向量垂直问题：设 是平面 的一条斜线， 是 在 上的投影，直线 在平面 上， 是 的任意一个方向向量。由投影的定义，，所以 ；又因为 ，所以 由此推出： 的条件是 ，即 ，即 。 示例： 平面 ， 是 在平面 上的投影，若平面 内的直线 ，则 。 4.4 点到平面的距离 如果 、 是空间中的两个点，其中点 在平面 上， 是平面 的一个法向量，那么点 到平面 的距离 是 在 的方向上的投影 的模，其中 是 的单位向量（称为平面 的单位法向量），于是 用向量的数量积表示，即 求平面的平行线到平面的距离，只要求平行线上一点到平面的距离；求两个平行平面的距离，也只要求其中一个平面上的一个点到另一个平面的距离。 示例：平面 的法向量 ，点 在平面 上，，则点 到平面 的距离 。 4.5 角的大小 两条直线所成的角：如果两条直线 与 的方向向量分别是 与 ，当求出的方向向量的夹角 时， 与 所成的角 是它的补角 ，因为我们约定两条直线所成角的取值在 和 之间。所以，用方向向量 与 表达的两条直线所成角 的大小的公式为 直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角为 ，那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为 。因此，如果直线的一个方向向量为 ，平面的一个法向量为 ，那么直线与平面所成的角 的大小由如下公式确定： 平面与平面所成的角：一个平面的法向量垂直于该平面上的所有直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边。从平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补。因此，如果 与 分别是两个平面的法向量，那么这两个平面所成的锐二面角（或直二面角） 的大小由如下公式确定： 示例：两平面法向量分别为 、，则 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 三点共线的向量判定 起点相同的两个向量平行，则三个端点共线：、、 三点共线的充要条件是存在实数 ，使 （如 与 平行，则 、、 共线，即教材例 4 判断三点共线的依据）。 1.2 四点共面的向量判定 、、、 四点共面的充要条件是存在实数 、，使 ；等价形式：对空间任意一点 ，存在实数 、、 使 且 。 【使用提醒】后一形式中”“不可丢；系数之和不为 时，点 不在平面 上。 1.3 中点公式 为线段 的中点，则 ；坐标形式：若 、，则 。 1.4 重心公式 的重心 满足 ，坐标 ；四面体 的重心 满足 （教材习题 3.1 B 组第 1 题）。 1.5 模与数量积的互化公式 ；；。坐标形式：。 1.6 数量积取等与平行（非零向量） 非零向量 、： 时两向量同向， 时反向；所以由 可推出 （同向），由 推不出该等号（可能反向）（教材习题 3.2 A 组第 2 题）。 【使用提醒】仅对非零向量成立；零向量与任意向量的数量积为 ，不参与方向判断。 1.7 投影的坐标计算 在 方向上的投影向量为 ，投影数量为 ；坐标形式： 在 上的投影数量为 。 1.8 由夹角余弦求正弦 两非零向量夹角 ，其余弦非正时正弦用 计算（角的正弦值非负），用于”求线面角、二面角的正弦值”类问题。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 用基底表示向量的步骤 选取一组不共面的向量作基底（常取从同一顶点出发的三条棱，对称性最好）→ 用首尾规则把目标向量沿”路径”拆成基底向量的和或差 → 合并同类项得线性组合。如在平行六面体中取 、、，则体对角线 ，面对角线 。 2.2 建立空间直角坐标系的标准流程 找出（或构造）从同一点出发的三条两两垂直的直线 → 以该点为原点、三直线为坐标轴，按右手制确定正方向 → 写出关键点坐标 → 求相关向量的坐标。常见垂直来源：长方体、正方体的棱；直棱柱的侧棱与底面垂直；正棱锥的高与底面垂直；面面垂直的性质定理。 2.3 求平面法向量的待定系数法 设法向量 → 在平面内找两个不共面向量 、 → 列方程组 、 → 给某个坐标赋值（常取 ）解出其余坐标。平面的法向量不是唯一的，求出任意一个均可使用。 2.4 垂直与平行的坐标判定流程 证垂直：建系 → 求相关向量坐标 → 算数量积，验证为 ；证平行：求方向向量（或法向量）坐标 → 验证对应坐标成比例，即存在 使 、、 同时成立。 2.5 求距离的向量法选型 两点距：直接用距离公式；点到平面：用法向量公式 （点 须在平面上）；线面距、面面距：先取线上（或面上）一点，转化为点到平面的距离。 2.6 求角的向量法选型 异面直线所成角：用方向向量夹角取锐角或直角，；线面角：用方向向量与法向量，公式用 ；二面角：用两法向量夹角取锐二面角或直二面角，。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 基底选取 选从同一顶点出发的三条棱，把目标向量沿”路径”拆写 平行六面体中 坐标赋值从简 正方体、长方体设棱长为 （或 ）；只给比值时设最短边为 棱长 的正方体中 、 特殊位置法向量速取 平面过原点且平行于坐标平面时，法向量即对应坐标轴的单位向量 平面 的法向量取 数量积用坐标公式 不拆开向量逐项算，直接 ，防漏项错号 、： 平行坐标判比例 对应坐标成比例；某坐标为 时另一向量对应坐标也必须为 与 平行，与 不平行 角的关系防错 线面角用 、二面角与异面直线角取绝对值 见 2.6 各公式 4. 常见考试模型 4.1 正方体（长方体）建系模型 公式：以一个顶点为原点、三条棱为坐标轴建系；设棱长为 （或 ）后，各顶点坐标均为 或 的组合，体对角线向量呈 型。 限定：坐标符号由顶点相对位置决定，建系后逐个核对；棱长含参数时保留参数运算到最后。 示例：如正方体 中以 为原点，分别以 、、 为 、、 轴，则 、。 4.2 三棱锥（侧棱两两垂直）模型 公式：三条侧棱两两垂直时，以公共顶点为原点、三条侧棱为坐标轴，底面顶点坐标即侧棱长，如 、、、。 限定：仅当题设确有垂直条件时才能这样建系；无垂直条件时改用基底表示。 示例：如 、、 且两两垂直，则 、、。 4.3 正棱锥（正棱柱）对称模型 公式：正棱锥以底面中心 为原点、高所在直线为 轴、底面内两条互相垂直的对称轴为 、 轴，则顶点 ，底面各顶点关于两轴对称分布。 限定：底面中心到顶点的距离须由勾股定理先求出，不能直接设为棱长。 示例：如正四棱锥 ，则由勾股定理得 ，即 、。 4.4 存在性（角为定值）模型 公式：设动点坐标为含参数 的形式 → 表示相关向量 → 用夹角公式列方程（令 或 等于定值）→ 解出 。 限定：解出的参数须使相应点落在题设的线段（棱）上，即 对应边长，不合题意的值舍去。 示例：如练习 3.4(3) 第 2 题： 在棱 上移动，设 （），由直线 与平面 所成角为 列方程确定 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”任意两个向量共面”误迁到三个向量 典例：判断下列说法的正误：空间中任意三个向量总是共面的。 错解：正确。因为平移不改变向量，任意三个向量总能平移到同一个平面上。 正解：错误。空间中任意两个向量总是共面的；三个向量却不一定共面——只有当存在实数 、，使 （其中 、 不平行）时， 才与 、 共面。平行六面体中从同一顶点出发的三条棱所对应的向量就不共面。 原因：平面经验误迁到空间。学生在平面情境中形成的”向量都能平移到一起”的直觉被直接搬用：平移确实不改变向量，但”平移到同一平面”要求存在一个平面同时装下它们——两个向量总能做到（确定一个平面），三个向量可能撑起一个体。根源是把”平移”与”共面”混为一谈，没有建立”共面是要用充要条件检验的性质”这一意识。纠正要点：见到”共面”先问是几个向量，三个及以上必须用共面充要条件验证。 易错点 2：用”系数全为零”时漏了”三向量不共面”的前提 典例：已知 、、 是空间三个向量，且 。问 、、 是否一定全为零。 错解：一定全为零。若某个系数非零，把对应向量移到一边，就与”三向量不共面”矛盾，故 。 正解：不一定。只有当 、、 不共面时，才有 （空间向量基本定理唯一性证明的结论）。若三向量共面，结论不成立：如 时，取 、，就有 ，系数并非全零。 原因：记结论丢了前提。学生背下了唯一性证明的反证法骨架，却忘了反证法第一步就用了”与 、、 不共面矛盾”——共面向量组上这个结论根本不成立。纠正要点：凡用到”存在唯一”或”系数全为零”，先在题中圈出”不共面”三个字；题设没给时，先讨论共面的可能。 易错点 3：向量坐标写成”起点减终点” 典例：已知 、，写出 的坐标，并求 。 错解：，。 正解：，即一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；。 原因：方向感缺失。学生把”终点减起点”记反，源于没有把推导亲自”走”一遍：——从 到 ，等于从原点 到 再”减去”从 到 。本题距离公式中平方后符号恰好看不出来，危害更隐蔽：一旦继续求数量积、夹角，结果会整体出错。纠正要点：每写完向量坐标，用起点、终点各核对一次”被减数是终点”。 易错点 4：线面角公式该用 ，错用成 典例：在正方体 中，求直线 与平面 所成角的大小。 错解：建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量 ，直线 的方向向量 ，于是 ，所成角为 。 正解：同上得 、。直线与平面所成的角 满足 ，故所成角为 。 原因：三类角的公式记串了。异面直线所成角用方向向量夹角的余弦（取绝对值）、二面角用法向量夹角的余弦（取绝对值），而线面角用的是正弦——因为直线与平面法向量的夹角和线面角互余（），法向量夹角的余弦正是线面角的正弦。学生把三套公式混成一套死记，根源是没有弄清”转化后是谁和谁的角”与”原来的角”的关系。纠正要点：每用一次公式，先在图上标出转化后的两个向量，再决定用 还是 。 易错点 5：二面角直接等于法向量夹角，漏”相等或互补”的讨论 典例：在正四棱锥 中，，、 分别为 、 的中点，平面 与棱 交于点 ，求平面 与平面 所成二面角的大小。 错解：建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，于是 ，所以二面角为 。 正解：同上得 、，。法向量夹角与二面角的平面角相等或互补，故所求二面角为 与 ，其中前者是锐二面角。 原因：分类讨论缺失。法向量夹角与二面角的平面角”或者相等、或者互补”（推导依据见 4.5 节），具体取哪一个取决于两个法向量方向的选取。学生默认”法向量夹角就是二面角”，只答一种情况。纠正要点：题目未说明取向时，按”锐二面角（或直二面角）“回答，并说明互补的另一种可能；若图形明显呈钝二面角，则取补角。 易错点 6：用点到平面的距离公式时，选取的点不在平面上 典例：在长方体 中，，，求顶点 到平面 的距离。 错解：建立空间直角坐标系，得平面 的一个法向量 ，又 ，于是 。 正解：距离公式 中， 的终点 必须在平面上。取平面上一点 ：，则 。 原因：公式前提遗漏。 的几何意义是 在法向量方向上的投影长度，只有终点 在平面上时，这个投影才等于点到平面的距离；若两点都在平面外，量到的实质是两点到平面距离之差，没有直接几何意义。学生只记公式、不记前提。纠正要点：用公式前先问”我选的这个点在平面上吗”；不在就换一个平面上的点（常取平面与坐标轴的交点或题目已给的点）。 学科网（北京）股份有限公司 $