第1讲·三角形的概念及有关线段· 培优讲义 ·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第1讲·三角形的概念及有关线段·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形的概念、三边关系与分类 · 掌握三角形三边关系的应用与取值范围 · 理解等腰三角形的分类讨论 · 认识三角形的稳定性及应用 · 掌握高线、中线、角平分线的概念与计算 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 判定能否构成三角形：较短两边之和大于最长边 求第三边范围：两边之差<第三边<两边之和 概念辨析例题：长度为3，a，7的三根木棒能组成三角形，则a的取值范围是（　　） 答案：4<a<10 解析：由两边之差小于第三边、两边之和大于第三边得7-3<a<7+3。 ☆ 2.等腰三角形与分类讨论 等腰三角形两边相等，需分类讨论哪边是腰 三边必须满足三角形三边关系 周长问题：已知两边求周长需验证能否构成三角形 腰上中线分周长问题列方程求解 概念辨析例题：等腰三角形两边长为3和6，则它的周长为（　　） 答案：15 解析：若腰为3则3+3=6不能构成三角形，故腰为6，周长=6+6+3=15。 ☆ 3.三角形的分类与稳定性 按角分：锐角、直角、钝角三角形 按边分：不等边、等腰、等边三角形 三角形具有稳定性，四边形不具有 生活应用：三脚架、屋顶支撑架等 概念辨析例题：下列图形中具有稳定性的是（　　） 答案：三角形 解析：三角形框架不易变形，具有稳定性。 ☆ 4.高线、中线、角平分线 高：从顶点向对边作垂线，垂足到顶点线段 中线：连接顶点与对边中点的线段，平分面积 角平分线：平分角的线段，交于内心 三条中线交于重心，三条高所在直线交于垂心 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，若S△ABC=24，则S△ABD=（　　） 答案：12 解析：中线平分三角形面积，S△ABD=×24=12。 ☆ 5.面积与比例 同高三角形面积比等于底边比 中线把面积平分，等分点按比例分面积 等高模型、共边模型求面积 面积法求线段长度 概念辨析例题：D是BC上一点，BD:DC=2:3，S△ABC=20，则S△ABD=（　　） 答案：8 解析：同高，面积比=底边比=2:3，S△ABD=×20=8。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 两边之和>第三边>两边之差 较短两边之和最大边 稳定性 三角形形状唯一确定 四边形需加固 中线 平分对边、平分面积 三中线交于重心 高 顶点到对边的垂线段 三条高交于垂心 角平分线 平分角，到两边距离相等 三条角平分线交于内心 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的三边关系（第1-8题） · 判定：较短两边之和大于最长边 · 求范围：两边之差<第三边<两边之和 · 注意整数解与最值问题 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 4．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）已知是的三边，则化简：__________． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）等腰三角形周长为10，腰长为，底边长为，则的取值范围是______．的取值范围是______． 6．（2025八年级上·北京·专题练习）若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 7．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【考点2】等腰三角形与分类讨论（第9-12题） · 先分类哪边为腰，再验证三边关系 · 腰上中线分周长列方程 · 周长差问题注意两种情况 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为______． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）等腰三角形的周长是，一腰上的中线将周长分成差为的两部分，则此三角形的底边长为______． 12．（23-24八年级下·广东茂名·阶段检测）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长． 【考点3】三角形的分类与稳定性（第13-18题） · 按角、按边两种分类标准 · 稳定性用于实际生活中的加固 · 反例说明命题为假 13．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）一张三角形纸片上，小新只能折叠出它的一条高．据此推断，这个三角形纸片是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）为了摄像的画面稳定，经常利用三脚架帮助拍摄，利用的数学原理是____________． 16．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的________性． 17．（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【考点4】高线、中线、角平分线（第19-27题） · 中线平分面积 · 高线构造直角三角形 · 角平分线平分角求角度 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 20．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，为的垂线，为的垂线，为的垂线，点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为________，（填序号） 22．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，、分别为角平分线和高，，，则___________．    23．（25-26八年级上·四川泸州·期中）是的中线，，__________． 24．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，三角形的面积，，，三角形的面积是( )． 25．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 26．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 27．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【考点5】面积与比例（第28-39题） · 同高三角形面积比等于底比 · 等分点按比例分面积 · 格点三角形用割补法求面积 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 29．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，点为边上的一点，且，连接，平分交于点，连接，若面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．6.5 B．6 C．5 D．4 31．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 32．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在直角三角形中，，，点P是边上一动点（点P可以与点A，B重合），且．若点M，N分别是，的中点，则的长度为（   ） A．6.3 B．6.5 C．6.6 D．6.8 33．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点，，点在轴上．若三角形的面积为，则点的坐标为_____． 35．（2024七年级·全国·竞赛）如图，小方格的顶点称为格点，是给定的格点三角形，图中与面积相等且有两个公共顶点的三角形共有____________个． 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 37．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 38．（24-25九年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______．    39．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【考点6】综合探究与动点（第40-51题） · 动点问题分段讨论 · 阅读题抓住新定义 · 从特殊到一般归纳规律 40．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．m，n的大小无法确定 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 42．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是_______； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 43．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 45．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 46．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 47．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 48．（24-25八年级上·全国·随堂练习）综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．” 小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．” 【问题解决】 (1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程． (2)请你用含c的代数式表示b，________． (3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围． 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 50．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 51．（25-26七年级上·山东济南·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 💯 课后巩固 复习建议 · 两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 · 求第三边范围先列不等式 · 等腰三角形分类后验证三边关系 · 中线平分面积，同高面积比等于底比 · 稳定性：三角形不变形 【作业1】．（24-25七年级下·重庆·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25八年级上·河南许昌·期末）李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边长度可能是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列图形中，具有稳定性的是（     ） A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．平行四边形 【作业5】．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）以下三条线段可以构成三角形的一组是（    ） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、3 D．以上都不能 【作业6】．（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）在一个三角形中最小的角是，按角分这是一个（    ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【作业7】．（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形的三边分别是a，b，c，其中最长边是c，在这个问题中存在不等式_______． 【作业8】．（24-25七年级下·河南郑州·期末）一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为________． 【作业9】．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 【作业10】．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为______． 【作业11】．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，顶点B的对边是_______．    【作业12】．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是________． 【作业13】．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的两边长是和，则它的周长是________． 【作业14】．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【作业15】．（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【作业16】．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 【作业17】．（24-25七年级下·福建福州·期末）设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值． 【作业18】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲·三角形的概念及有关线段·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形的概念、三边关系与分类 · 掌握三角形三边关系的应用与取值范围 · 理解等腰三角形的分类讨论 · 认识三角形的稳定性及应用 · 掌握高线、中线、角平分线的概念与计算 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 判定能否构成三角形：较短两边之和大于最长边 求第三边范围：两边之差<第三边<两边之和 概念辨析例题：长度为3，a，7的三根木棒能组成三角形，则a的取值范围是（　　） 答案：4<a<10 解析：由两边之差小于第三边、两边之和大于第三边得7-3<a<7+3。 ☆ 2.等腰三角形与分类讨论 等腰三角形两边相等，需分类讨论哪边是腰 三边必须满足三角形三边关系 周长问题：已知两边求周长需验证能否构成三角形 腰上中线分周长问题列方程求解 概念辨析例题：等腰三角形两边长为3和6，则它的周长为（　　） 答案：15 解析：若腰为3则3+3=6不能构成三角形，故腰为6，周长=6+6+3=15。 ☆ 3.三角形的分类与稳定性 按角分：锐角、直角、钝角三角形 按边分：不等边、等腰、等边三角形 三角形具有稳定性，四边形不具有 生活应用：三脚架、屋顶支撑架等 概念辨析例题：下列图形中具有稳定性的是（　　） 答案：三角形 解析：三角形框架不易变形，具有稳定性。 ☆ 4.高线、中线、角平分线 高：从顶点向对边作垂线，垂足到顶点线段 中线：连接顶点与对边中点的线段，平分面积 角平分线：平分角的线段，交于内心 三条中线交于重心，三条高所在直线交于垂心 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，若S△ABC=24，则S△ABD=（　　） 答案：12 解析：中线平分三角形面积，S△ABD=×24=12。 ☆ 5.面积与比例 同高三角形面积比等于底边比 中线把面积平分，等分点按比例分面积 等高模型、共边模型求面积 面积法求线段长度 概念辨析例题：D是BC上一点，BD:DC=2:3，S△ABC=20，则S△ABD=（　　） 答案：8 解析：同高，面积比=底边比=2:3，S△ABD=×20=8。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 两边之和>第三边>两边之差 较短两边之和最大边 稳定性 三角形形状唯一确定 四边形需加固 中线 平分对边、平分面积 三中线交于重心 高 顶点到对边的垂线段 三条高交于垂心 角平分线 平分角，到两边距离相等 三条角平分线交于内心 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的三边关系（第1-8题） · 判定：较短两边之和大于最长边 · 求范围：两边之差<第三边<两边之和 · 注意整数解与最值问题 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、加减消元法、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、确定第三边的取值范围 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，，4， ∴，即， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）已知是的三边，则化简：__________． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解： 是的三边， ， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）等腰三角形周长为10，腰长为，底边长为，则的取值范围是______．的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等；由等腰三角形的定义得，结合三角形三边的关系得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故：； ， 解得：； 故答案为：，． 6．（2025八年级上·北京·专题练习）若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得， ∴第三边的取值范围是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式组，由题意知，，，即，计算求解即可． 【详解】解：分别为的三边，且满足， 解得，， 的取值范围为． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【答案】 解：成立，理由如下： 在中，， 在中，， 两式相加得：， 即． 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根据三角形三边关系定理可得，，再将两式相加得，即． 【详解】略 【考点2】等腰三角形与分类讨论（第9-12题） · 先分类哪边为腰，再验证三边关系 · 腰上中线分周长列方程 · 周长差问题注意两种情况 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出的值后根据三角形三边关系进行验证． 设腰长为，得出方程或，求出后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图所示, 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：，， 或2， ①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理； ②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理； 故选：B． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为______． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，设，则，又中线将三角形周长分为两部分，则分 和 两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，为中线， 设，则， ∵中线将三角形周长分为两部分， ∴ ，解得， ∴，符合题意， ，解得， ∴， 则三边为，，，不能构成三角形，不符合题意， 故答案为：． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）等腰三角形的周长是，一腰上的中线将周长分成差为的两部分，则此三角形的底边长为______． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意，构造方程组解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，方程组的应用，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰三角形的腰长为，底边长为， 根据题意，得或， 解得或， 故答案为：或． 12．（23-24八年级下·广东茂名·阶段检测）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长． 【答案】的周长是13或11 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， 又∵a，b，c分别是等腰的边， ①当时，，符合三角形的三边关系， ∴的周长是：， ②当时，，符合三角形的三边关系， ∴的周长是：， 综上分析可知，的周长是13或11． 【考点3】三角形的分类与稳定性（第13-18题） · 按角、按边两种分类标准 · 稳定性用于实际生活中的加固 · 反例说明命题为假 13．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）一张三角形纸片上，小新只能折叠出它的一条高．据此推断，这个三角形纸片是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类、画三角形的高 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的高，熟记三角形的高在三角形的位置是解题的关键． 根据折叠出高的含义，在直角三角形中，两条直角边已经是高，无需折叠，只能通过折叠得到斜边上的高，因此只能折叠出一条高. 【详解】解：锐角三角形三条高都在三角形内部，所以，折叠三角形纸片时，能折叠出三条高， 直角三角形斜边上的高在三角形内部，其他两条高与直角边重合，所以，折叠三角形纸片时，只能折叠出一条高， 钝角三角形只有一条高在三角形内部，其他两条高都在三角形外，所以，折叠三角形纸片时，只能折叠出一条高， 综上所述，这个纸片的形状是直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）为了摄像的画面稳定，经常利用三脚架帮助拍摄，利用的数学原理是____________． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的性质，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：为了摄像的画面稳定，经常利用三脚架帮助拍摄，利用的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 16．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的________性． 【答案】稳定 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．稳定性是三角形的特性，据此解答即可． 【详解】解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性． 故答案为：稳定． 【点睛】 17．（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【知识点】三角形的分类、举反例 【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 18．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【考点4】高线、中线、角平分线（第19-27题） · 中线平分面积 · 高线构造直角三角形 · 角平分线平分角求角度 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线，熟练掌握三角形的角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线的定义即可解答． 【详解】解：三角形的角平分线是一条线段． 故选：A． 20．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解： 是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，为的垂线，为的垂线，为的垂线，点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为________，（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形高的定义分别进行判断． 【详解】解：中，为的垂线，则为边上的高，所以①正确； 中，为的垂线，则为边上的高，所以②正确； 中，为的垂线，是边上的高，所以③错误； 中，为的垂线，则是边上的高，所以④正确． 故其中正确的有①②④． 故答案为：①②④． 22．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，、分别为角平分线和高，，，则___________．    【答案】/9度 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键．根据角平分线的性质可得，根据三角形内角和定理可得，推得，根据三角形内角和定理可得，即可求得． 【详解】解：在中，平分 ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 23．（25-26八年级上·四川泸州·期中）是的中线，，__________． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形中线的定义，掌握这个知识点是解题的关键． 根据三角形中线的定义，中线连接顶点和对边中点，因此点D是的中点，等于的一半． 【详解】解：∵是的中线， ∴点D是边的中点． ∴． 故答案为6． 24．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，三角形的面积，，，三角形的面积是( )． 【答案】12 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，系找出三角形的面积关系是解答题目的关键．由图可知，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，由此求出三角形的面积占三角形面积的分率，最后用乘法求出三角形的面积． 【详解】因为，则，所以三角形的面积三角形面积 ； 因为，则，所以三角形的面积三角形面积 ； 由上可知，三角形的面积是． 故答案为：12 25．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据的周长 的周长 求解，即可解题． 【详解】解：在中，是中线即，， 的周长 的周长， 的周长为， 的周长为， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求长度 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 【详解】解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， ， 答：三角形中的长为的长度为． 27．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【考点5】面积与比例（第28-39题） · 同高三角形面积比等于底比 · 等分点按比例分面积 · 格点三角形用割补法求面积 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 29．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，点为边上的一点，且，连接，平分交于点，连接，若面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解： ，平分， ， ，， ， 故选：A． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．6.5 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】题目主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则 ，则，然后利用 即可得到答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ； 故选：D． 31．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 32．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在直角三角形中，，，点P是边上一动点（点P可以与点A，B重合），且．若点M，N分别是，的中点，则的长度为（   ） A．6.3 B．6.5 C．6.6 D．6.8 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了垂线段最短，直角三角形的性质，由，得到当P和B重合时，，当时，，由三角形面积公式求出，由线段的中点定义得到． 【详解】解：∵， ∴当P和B重合时，，当时，， ∴边上的高为 ∴， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 33．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 34．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点，，点在轴上．若三角形的面积为，则点的坐标为_____． 【答案】或/或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，点的坐标表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，即可得到，然后表示出点坐标即可． 【详解】解：点，，点在轴上，三角形的面积为， ， ， ， 点的坐标为或． 故答案为：或． 35．（2024七年级·全国·竞赛）如图，小方格的顶点称为格点，是给定的格点三角形，图中与面积相等且有两个公共顶点的三角形共有____________个． 【答案】18 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查学生动手作图的能力，熟练运用“同底等高”理解题意即可. 【详解】解：如图所示，以为边的三角形有5个，以为边的三角形有9个，以为边的三角形有4个，（个）． 故答案为：18. 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 【答案】5 【知识点】利用网格求三角形面积 【分析】的面积底高，所以确定的点，只要满足的面积为即可，这样的点有个． 【详解】解：满足条件的点有个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 37．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 38．（24-25九年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，，的面积=四边形面积 ， 四边形是长方形， ， ， 故答案为：． 39．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 【考点6】综合探究与动点（第40-51题） · 动点问题分段讨论 · 阅读题抓住新定义 · 从特殊到一般归纳规律 40．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．m，n的大小无法确定 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用是解题的关键． 如图，由题意知，，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，    由题意知，，， ∵， ∴， 故选：A． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】重心的概念 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 42．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是_______； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】 6 // 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可． 【详解】解：（1）， 点B到的距离是； （2）当时，线段的值最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值是， 故答案为：6；． 43．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种， 示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 【知识点】三角形的分类、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：， 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 45．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)， (2)， (3)等腰三角形是，；等边三角形是 【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 46．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1) 证明：连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）略 （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 47．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P的位置是解题的关键． （1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间路程速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）当P在上时，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵的周长为， ∵把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴当时，把的周长分成相等的两部分， 故答案为：； （2）当把的面积分成相等的两部分时， 点P为的中点， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当时，把的面积分成相等的两部分时； （3）当P在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为． 48．（24-25八年级上·全国·随堂练习）综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．” 小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．” 【问题解决】 (1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程． (2)请你用含c的代数式表示b，________． (3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】构造二元一次方程组求解、求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及非负数的性质、一元一次不等式的应用等知识，根据三角形三边关系得出不等式是解题关键． (1)利用偶次方以及绝对值的性质化简求出即可； (2)利用进而求出即可； (3)利用三角形三边关系分别得出即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：， ． （3）解：由三角形的三边关系，得， ． ， 解得． 又， ，即． 解得． ． 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 50．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、构成三角形的条件、确定第三边的取值范围 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 51．（25-26七年级上·山东济南·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】(1)7；9 (2)；2； (3)最多可以得到个三角形 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 💯 课后巩固 复习建议 · 两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 · 求第三边范围先列不等式 · 等腰三角形分类后验证三边关系 · 中线平分面积，同高面积比等于底比 · 稳定性：三角形不变形 【作业1】．（24-25七年级下·重庆·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据较小的两边之和大于第三边解答即可． 【详解】解：A、∵，∴该三条线段不能构成三角形，故不符合题意； B、∵，∴该三条线段不能构成三角形，故不符合题意； C、∵，∴该三条线段不能构成三角形，故不符合题意； D、∵，∴该三条线段能构成三角形，故符合题意； 故选：D． 【作业2】．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 【作业3】．（24-25八年级上·河南许昌·期末）李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边的关系，任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据三角形三边关系逐项判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则，即， ∴第三边长度可能是， 故选：B． 【作业4】．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列图形中，具有稳定性的是（     ） A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，据此判断即可． 【详解】解：三角形，正方形，平行四边形，长方形中只有三角形具有稳定性． 故答案为：C． 【作业5】．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）以下三条线段可以构成三角形的一组是（    ） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、3 D．以上都不能 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系定理. 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边.对于每组线段，只需验证最长边是否小于其余两边之和即可. 【详解】A：1、2、3，最长边为3，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B：3、4、5，最长边为5，，满足条件，可以构成三角形； C：1、1、3，最长边为3，，不满足条件，无法构成三角形； D：因选项B符合条件，故D错误； 故选：B． 【作业6】．（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）在一个三角形中最小的角是，按角分这是一个（    ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】A 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】分类解答，当一个角是直角时，则第三个角为，这与三角形中最小的角是，故不可能有大于等于直角的角，判定解答即可． 本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类，熟练掌握分类是解题的关键． 【详解】解：当一个角是直角时，则第三个角为， 这与三角形中最小的角是， 故不可能有大于等于直角的角， 只能是锐角三角形． 故选A． 【作业7】．（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形的三边分别是a，b，c，其中最长边是c，在这个问题中存在不等式_______． 【答案】 【知识点】不等式的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形的三边分别是a，b，c，其中最长边是c， ∴． 故答案为： 【作业8】．（24-25七年级下·河南郑州·期末）一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】15 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可． 【详解】解：∵第三边， ∴第三边， ∵三边长都是奇数， ∴这个三角形第三边长的最大值是7， ∴这个三角形周长的最大值为， 故答案为：15． 【作业9】．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 【作业10】．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形的中线等分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积是． ∴， 故答案为： 【作业11】．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，顶点B的对边是_______．    【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，的三边分别为，其中与点B相邻，与点B相对，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，顶点B的对边是， 故答案为：． 【作业12】．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是________． 【答案】4或5 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】三角形的三边长分别为3，，8， ， 即， 故答案为：4或5． 【作业13】．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的两边长是和，则它的周长是________． 【答案】 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的特点以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．分为腰为时，和腰为时分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰为时，，不能构成三角形；当腰为时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为． 【作业14】．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 解：如图，即为中边上的高， (3) 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）略 （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)以点C为顶点的三角形是， (2)以为角的三角形是，， (3)以为边的三角形是，， (4)图中的直角三角形是，；等腰三角形是， 【知识点】三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和直角三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行求解即可； （3）根据三角形的相关定义进行求解即可； （4）根据等腰三角形和直角三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形是，； （2）解：以为角的三角形是，，； （3）解：以为边的三角形是，，； （4）解：图中的直角三角形是，；等腰三角形是，． 【作业16】．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】(1) (2)15或18 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 【作业17】．（24-25七年级下·福建福州·期末）设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值． 【答案】 由，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长度均为自然数， ∴c只能取5或6，从而 a 3 4 1 2 3 b 5 4 6 5 4 c 5 5 6 6 6 ∴共可组成5个三角形． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边．根据，得，根据三角形三边关系，求出，根据，求出，根据的长度均为自然数，得出c只能取5或6，然后得出答案即可． 【详解】略 【作业18】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：略． （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $