山东省聊城市东昌府区九年级数学上学期备考复习作业（青岛版九年级上册第1章一元二次方程、第2章图形的相似）

【应用场景】本作业适用于山东省聊城市九年级上学期（2026—2027学年第一学期），青岛版《数学》九年级上册第1章《一元二次方程》与第2章《图形的相似》，作为两章学完后的备考复习作业，用于错题复盘、考前过关与分层巩固。 九年级数学上学期备考复习作业（错题复盘·两章过关） 青岛版九年级上册　第1章 一元二次方程 · 第2章 图形的相似 班级：____________　姓名：____________　日期：____________　用时：______分钟 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 错题复盘·两章过关——九年级数学上学期备考复习作业 学段学科 初中数学 适用年级 九年级 教材版本 青岛版（2026年秋季新版，依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》修订） 对应内容 第1章 一元二次方程（1.1—1.5） 第2章 图形的相似（2.1—2.5） 作业类型 备考复习作业（错题复盘式两章整合） 完成时长 总时长约85分钟（必做约50分钟＋选做约25分钟＋挑战选做约10分钟），不超过90分钟 设计者 ____________ 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求： 本作业对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段"方程与不等式""图形与几何"两个主题，承载的核心素养是模型观念、运算能力、推理能力、几何直观、应用意识与创新意识；重点落实"能根据实际问题列出一元二次方程并求解""能利用相似三角形的判定与性质解决简单实际问题"的内容要求。 教材地位： 一元二次方程是"方程"主线在初中的重要节点，根的判别式与根与系数的关系（2026年秋季新版已列为正式章节 1.3、1.4）是代数推理的典型载体；相似三角形是"图形与几何"主线的核心内容，2.4 相似三角形与实际问题将两章知识打通，是"数与形结合"的典型载体，也是中考命题的高频区域。 教学重难点： 重点——一元二次方程的解法与根的判别式、相似三角形的判定与性质及其应用； 难点——相似对应关系不唯一时的分类讨论、比例式的正确建立、方程与几何的综合运用、实际问题中结果是否符合实际的检验与取舍。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已完成两章新授，能完成基础的解方程与相似证明。 本作业基于某班45题错题整理（其中单选15题、填空12题、解答18题）编制，全卷23题中22题选编自该错题集原题（保留原题数据与配图，其中第23题配图合并为2张拼版图），1题为原创设计（第19题），错因数据真实可查。 现有困惑 错题归因集中在五类： ①比例式对应关系写反或找错对应边； ②相似对应不唯一时漏分类（如折叠问题只答一种情形）； ③根与系数的关系中符号处理出错； ④解方程时随意约去含未知数的因式导致丢根； ⑤实际应用题不检验结果是否符合实际。 差异分析 约三成学生能独立完成两章综合题并有探究意愿； 约半数学生需要借助图形标注、表格梳理对应关系才能建立比例式。 本作业采用"必做＋选做＋挑战"三模块隐性分层，卷面不出现任何分层字样。 设计意图 本作业以学生真实错题为起点，按"错题复盘→错因辨析→变式重构→建模检验"的链条组织： 模块一13题全部选编自学生错题集原题，面向全体，覆盖两章主干考点并直击高频错因； 模块二按生活性、学科性、活动性三类设置特色选做题（5题选编原题、1题——第19题编题为原创）； 模块三以动点、黄金三角形、方程与几何综合、双方案测量等任务收尾，要求对测量结果作误差检验，落实"结论是否与现实吻合"的建模要求。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确辨析一元二次方程的概念与根的判别式； 能复述相似三角形的判定定理与性质、根与系数的关系及黄金三角形性质 抽象能力 运算能力 第3、4、6、11题正确率；概念表述 能力运用 B 能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 能运用相似三角形的判定与性质进行计算与证明；能由实际问题列方程并求解 运算能力 推理能力 几何直观 第1、2、5、8、10、12、14、15题解题过程 思维发展 C 能在相似对应不唯一、系数分类、等腰分类等情境中进行分类讨论； 能对方程与几何综合问题进行分析、推理与反思改进 推理能力 创新意识 第7、9、13、16、17、20、22题分类完整性与纠错说明 情感态度 D 通过真实错题的复盘与重构，形成"错因归档—变式过关—反思提升"的复习习惯； 在《海岛算经》、黄金三角形中感受数学文化与应用价值 应用意识 创新意识 第14、19、21、23题作品与错题归因栏反思语 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要（难度） 目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选 第一季度增长率列方程（容易） B 辨析"三月总量"结构与陷阱 C 2 填空 植物生长规律列方程（容易） B 由实际问题抽象一元二次方程 3 填空 "倍根方程"新定义（容易） A/B 新定义理解＋因式分解解方程 或 4 解答 根与系数的关系三连问（中等） B 韦达定理＋恒等变形＋最值推理 ，；或； 5 填空 铁皮制盒（中等） B 展开图建模＋结果取舍 2；48 6 单选 判别式与根的定义综合辨析（较难） A 判别式、根的定义逐条验证 B 7 单选 一次函数位置与根的个数（中等） C 系数与否的分类讨论 D 8 单选 中点＋平行构造A字型（中等） B 辅助线DG∥AE转化比例 B（值为4） 9 单选 等边三角形折叠求比（较难） C 折叠性质＋相似设参 A（值为） 10 填空 平移重叠面积（中等） B 平移性质＋面积比等于相似比的平方 8 11 单选 过定点的相似截线（中等） B 相似判定的完备性思考 C（3条） 12 填空 双垂直基本图形（中等） B 等积法求高＋勾股计算链 13 填空 折叠＋相似分类（难） C 对应不唯一时的完整分类 或 14 解答 双镜测树（中等） B/D 《海岛算经》文化＋双镜建模 9.6米 15 单选 不等臂跷跷板（中等） B 生活中的相似（旋转情境） D（144 cm） 16 解答 纠错：约去含未知数因式（选编·中等） B/C 丢根错因再现与修正 （1）；（2）①降次； ②都错误； 17 单选 三边系数方程综合辨析（较难） C 三边关系＋韦达＋判别式联动 D 18 填空 等腰三角形＋方程求参（难） C 等腰分类＋方程求解 37或42或27 19 活动 自编一道实际问题（原创·开放） D 四条编题要求＋表现性量规 见评价量规 20 解答 等边三角形动点（难） C 动点相似＋垂直构造 （1）等边； （2） s 21 解答 黄金三角形三连问（较难） A/D 黄金三角形性质的正用与逆用 ；；是 22 解答 方程×三角形综合（选编·较难） C 恒成立；按k分类判形状 Δ=1；k=2 时为直角三角形（三边 3、4、5）；k=3 或 k=4 时为等腰三角形（4、5、5 或 5、6、5） 23 解答 双方案测旗杆＋误差检验（选编·较难） B/D 建模检验环节：结论与现实吻合 (1) 11.3 ；(2) 12 m；(3) 雕塑高约29 m 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 第1—7题全对，概念表述准确 少量细节错误 概念性错误较多 20% 能力运用 解法规范，比例式建立正确，辅助线恰当，方程模型正确 方法基本正确，偶有跳步 方法选择或执行错误较多 30% 思维发展 分类讨论完整（第7、13、18、20题），纠错到位，综合题思路清晰 分类基本完整，表述欠严谨 漏分类或思路混乱 30% 情感态度 错题归因栏填写认真，自编题情境真实、数据自洽、检验到位 按要求完成各项任务 被动应付，反思缺失 20% 评价方式说明：本作业采用"分数制＋等级制"并存的方式（与课标评价建议一致）。模块一按100分制逐题批改：第1题6分，第2—6、8—13题各8分，第7题6分；模块二、模块三按上方量规评定等级，不计入百分制总分。总评等级：A（85分及以上）、B（70—84分）、C（60—69分）、D（60分以下），等级评定须附鼓励性评语与改进建议。 试题详情 说明：第1—13题为全体必做；第14—19题至少选做4题（题号已用红色标出，三类特色题入口不同，自主选择）；第20—23题自主选做，建议完成1—2题。全卷必做＋选做约75分钟，全部完成不超过90分钟。作答前请先浏览"错题归因栏"，作答后如实填写。 模块一　基础复盘（全体必做，约50分钟） 本模块13题全部选编自错题集原题，覆盖1.1—1.5与2.1—2.3的主干考点，请独立完成后再对照答案归因。 1．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2．某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为______． 3．新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则___________． 4．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于x的方程的两个根是，，那么m＝____，n=____； (2)已知a、b满足，，求的值； (3)已知a、b、c满足，，求正数c的最小值． 5．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为______cm，此盒子体积是_____． 6．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 7．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 8．如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（　　 ） A． B． C． D． 10．如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． 11．如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有（   ）条． A． B． C． D． 12．如图，在中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为_____． 13．如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为_____． 模块二　错因辨析·特色选做（至少完成4题，约25分钟） 本模块共6题，分为生活性、学科性、活动性三类，题号已用红色标出，请自主选择至少4题完成；若都感兴趣，也可以全部完成。 （一）生活性特色题　从生活中学习数学 14．（特色·生活性）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度． 15．（特色·生活性）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） （二）学科性特色题　从数学内部看数学 16．（特色·学科性·纠错）（1）解方程． （2）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学：两边同时除以，得，则． 乙同学：移项，得，提取公因式，得， 则或，解得． ①解一元二次方程的基本思想是___________（填“降次”或“消元”）； ②请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 17．（特色·学科性）实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是（    ） A．是方程的一个根 B． C． D． 18．（特色·学科性）已知，，分别是等腰三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的周长等于______． （三）活动性特色题　在活动中用数学 19．（原创·特色·活动性）请你以"校园里的相似"为主题，自编一道可以用一元二次方程或相似三角形解决的实际问题，并给出完整解答。要求： 1. 情境真实，贴近校园生活、家庭生活或社会调查； 2. 题目中至少包含3个数据，且这些数据都要在解题中用到； 3. 要能列出一元二次方程求解或利用相似三角形计算，答案要合理（符合实际）； 4. 写出完整题目、解答过程和参考答案。 模块三　挑战拓展（自主选做，建议1—2题，约10—15分钟） 以下问题综合两章知识，完成后在班级展示交流，成果计入"数学学习表现"。 20．如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R．连接，当t为何值时，． 21．在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有 的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题： (1)填空：等腰的顶角，且，那么底边________． (2)如图1，在中，，，且，求的长． (3)如图2，已知点P是线段的黄金分割点（），在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，请判断是否是黄金三角形？并说明理由． 22．已知的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，请判断的形状并说明理由； (3)若是等腰三角形，则k的值为 　　． 23．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 错题归因与自我反思（作答后填写） 错题题号 错因归类（勾选） 我的改进措施 概念不清／方法错误／计算失误／分类遗漏／未检验 概念不清／方法错误／计算失误／分类遗漏／未检验 概念不清／方法错误／计算失误／分类遗漏／未检验 答案与解析 1．C 解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 2． 解：依题意得：， 故答案为：． 3．或 解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有即； 当6是的 2 倍时，即有； 故答案为：或． 4．（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，原式； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴， 即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 5．解：设剪去的正方形的边长为 ，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为：，宽为： ， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该纸盒的体积为； 故答案为2，48 6．B 解：∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 7．D 解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 8．B 解：如图，过点作交于点， 是的中点， ，则， ， ， ， ． 9．A 解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º，CE=DE，CF=DF．∵∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º，∴∠ADE=∠BFD，又∵∠A=∠B=60º，∴△AED∽△BDF，∴，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以，整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，即，故选A． 10．8 解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 11．C 解：由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似， 如图，过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线， 故选：C． 12． 解：∵在中，，， ∴， ， ∵是斜边上的高， ∴， ，即， ∴， ∵，且， ∴， ∵在中，， ∴在中，． 故答案为： 13．或 解：中，，，， ， 由折叠的性质得， 设，则， 与相似， 分两种情况讨论： ①若， ，即， 解得， ； ②若， ，即， 解得， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 14．9.6米 解：设的长为米，则米， 由题意，得， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， 解得， 答：大树的高度为9.6米． 15．D 解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 16．（1）；（2）①降次；②都错误； 解：（1），变形得， 其中，， ． （2）①解一元二次方程的基本思想是降次， 都是将二次方程，通过各种方法，转化为一次方程来处理； 故答案为：降次； ②都错误． 正确的解答过程如下：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 17．D 解：∵ 方程 ，其中 为的三边长， 故 ，且满足三角形不等式 ， 选项A：代入 ，得，不等于0， 故A错误； 选项B：由根与系数关系，， ∵ ， ∴ ，即 ， 故B错误； 选项C：， ∵ ， 故， 故C错误； 选项D：根据题意，得， ∵ ， ∴ ， 故， 故方程有两个不等实根， 故，D正确； 故选：D． 18．37或42或27 解：∵，，分别是等腰三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根， ∴当13为底边长，a、b为腰长时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 解得， 此时的周长为：； 当13、a为腰长，b为底边时， ∴， 代入一元二次方程得：， 解得：或， 当时， ， 解得， 此时的周长为：， 当时， ， 解得， 此时的周长为：； 故的周长为37或42或27， 故答案为：37或42或27． 19．解：自编题：合影海报放大（相似多边形·一元二次方程） 题目： 班级合影原照长 、宽 ，面积为 。宣传委员要把它放大洗印成一张海报，要求海报与原照形状相同（即相似），且海报面积为 。求海报的长和宽。 解答过程： 第一步：判定相似 海报与原照形状相同，所以它们是相似矩形，相似比就是对应边长之比。 第二步：列方程 设海报的长为 。根据"相似多边形面积比等于相似比的平方"： 第三步：解一元二次方程 （边长为正，舍去 ） 相似比为 ，所以海报宽 。 答：海报长 60cm，宽 45cm。 （编法不唯一，以上仅为一例。） 20．(1)是等边三角形 (2) （1）解： 是等边三角形，理由如下： 当时， ，， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：过作，垂足为， ， ，， 是等边三角形， ， ∵ ∴ ， ∴ ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ， ， 解得， 当时，． 21．(1) (2) (3) 是黄金三角形 （1）解：∵等腰的顶角， ∴为黄金三角形，且所对的边为较短边， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：取中点，连接， ∵，， ∴， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是黄金三角形，且所对的边为较短边， ∴，即， ∴； （3）解：是黄金三角形，理由如下： 连接， 由旋转的性质得 ，， ∴， ∴是黄金三角形，且腰长为较短边， ∴， 设， ∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是黄金三角形． 22．(1) ，无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) 的形状是直角三角形； (3)或 （1）解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）的形状是直角三角形，理由： 当时，原方程为：， 因式分解为：， ∴或， ∴，， ∵， ∴的形状是直角三角形； （3）∵， ∴不存在另两边AB、AC的长相等的情况， ∴另两边AB、AC必有一边等于， 当时，原方程为：， 整理为，， 因式分解得：， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 23．(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． （1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验，符合题意。 ∴， 答：雕塑高度为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $