26.4 第三课时 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 26.4 第三课时 实际问题与二次函数 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策. 重点：实际问题转化为二次函数问题. 难点：解决拱桥及运动中的有关问题． 复习导入 1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下. 2.二次函数解析式的形式有： ①一般式：____________， ②顶点式：_____________， ③交点式：________________. 3.(1)如图所示的抛物线，可以根据 顶点所在的位置设为_________，也 可以根据抛物线与x轴的交点坐标 设为______________. (2)由A，B两点的横坐标，可以 求得线段AB的长为______. 抛物线 (0,0) y轴 ＞0 ＜0 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) y=ax2+2 y=a(x+2)(x-2) 4 复习导入 4.如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 典例解析 题型1 实际问题 例1 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ (1)用什么方法？ 建立函数模型 (2)这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 (3)怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 典例解析 题型1 实际问题 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 典例解析 题型1 实际问题 例1 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ (4)从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 (5)如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 (6)自变量x的取值范围？ 典例解析 题型1 实际问题 例1 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ (7)求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米？ 水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m 探究新知 知识点1 实际问题 在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k. 步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标求出关系式； (5)利用关系式求解问题. 针对训练 1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗? 解:设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2. 由已知条件可知抛物线经过点(15，-9)，可得-9=a×152 解得，a=- 因此，桥拱所在抛物线的函数关系式为:y=-x2 典例解析 题型1 实际问题 例2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=-0.25x2+4表示. (1)一辆高5.2m，宽2m的货运卡车能通过该隧道吗? (2)如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过? 解:(1)建立相应的坐标系.当货运卡车在正中央时, 即对应的x=±1，y=3.75. ∵3.75+2>5.2 ∴它能通过该隧道 (2)当隧道内设双行道时，就意味着货运卡车只能走一边，即对应的x=±2，y=3. ∵3+2＜5.2 ∴它不能通过该隧道. 典例解析 题型1 实际问题 例3.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管如图做成的立柱，为了计算所需不锈钢立柱的总长度,设计人员测得如图所示的数据，其中护栏最高点距底部0.5m. (1)求该抛物线的解析式; (2)计算所需不锈钢管的总长度. 解:(1)以0为原点建立直角坐标. 设此抛物线解析式为y=ax(x-2), 依题意得，抛物线顶点坐标为(1，0.5) ∴0.5=a×1×(1-2)，解得a=- ∴该抛物线的解析式为y=-x(x-2)，即y=-x2+x. 典例解析 题型1 实际问题 例3.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管如图做成的立柱，为了计算所需不锈钢立柱的总长度,设计人员测得如图所示的数据，其中护栏最高点距底部0.5m. (1)求该抛物线的解析式; (2)计算所需不锈钢管的总长度. 解:(2)依题意得: 当x=0.4时，y=0.32； 当x=0.8时，y=0.48 当x=1.2时，y=0.48； 当x=1.6时，y=0.32 所需不锈钢管的总长度为50×2×(0.32+0.48)=80m. 典例解析 题型1 实际问题 例4.如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点0处发球,排球从点0的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点0的水平距离OE为6米时,到达最高点G，以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1)若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式; 解:(1)由题意知顶点G的坐标为(6，2.8)，则设抛物线的解析式为p=a(x-6)2+2.8 ∵点C坐标为(0，2)，且在抛物线上 ∴2=a(0-6)2+2.8，解得a=-. ∴p=-(x-6)2+2.8 典例解析 题型1 实际问题 例4.如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点0处发球,排球从点0的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点0的水平距离OE为6米时,到达最高点G，以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗?如果能够过网，是否会出界?请说明理由; 解:(2)当x=9时，p=-×(9-6)2+2.8 =2.6>2.24 当x=18时，p=-×(18-6)2+2.8=-0.4<0 故这次发球可以过网且不出边界 典例解析 题型1 实际问题 例4.如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点0处发球,排球从点0的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点0的水平距离OE为6米时,到达最高点G，以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (3)若该队员发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系数的最大值. 解:(3)设抛物线的解析式为p=a(x-6)2+h 将点C(0，2)代入得36a+h=2，即h=2-36a ∴p=a(x-6)2+2-36a 根据题意,不出边界时有 a(18-6)2+2-36a≤0，解得a≤- 要使排球过网，则a(9-6)2+2-36a≥2.24，解得a≤- 故二次函数中二次项系数的最大值为- 针对训练 2.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在____s后落地. 3.在一次羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x2+bx+c的一部分(如图)，其中出球点B离地面0点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式为_____________. 4 y=-x2+x+1 典例解析 题型1 实际问题 例5 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 数学化 ●B(1,2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 典例解析 题型1 实际问题 例5 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ ●B(1,2.25) (0,1.25) ● C o A x y 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为： y=－ (x-1)2+2.25. 针对训练 4.如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米? 解:如图，建立直角坐标系 则点B的坐标是(0，3.5)，点C的坐标是(1.5，3.05) 点A表示运动员投篮球的出手处 设y=ax2+3.5 把C(1.5，3.05)代入y=ax2+3.5得3.05=2.25a+3.5，解得a=-0.2 ∴y=-0.2x2+3.5 当x=-2.5时，y=2.25 故运动员出手时的高度为2.25m。 归纳总结 实际问题 数学模型 （二次函数的图象和性质） 转 化 回 归 （实物中的抛物线形问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 作业布置 课堂作业:P55习题26.4的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $