福建莆田市高二数学上学期课时作业（湘教版选择性必修一第一章）

2026年学科网中小学作业设计评选 课后同步作业 参评课题： 湘教版2019年版普通高中教科书数学选择性必修第一册 《第一章 数列》 参评教师： 蔡娟兰 学段学科： 高中数学 工作单位： 莆田第十中学 联系电话： 18959508687 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 目 录 一、章节作业设计概述 1.章节构成框架 1 2.章节内容解析 1 3.章节作业设计思路 2 二、章节作业设计内容 1.1 数列的概念 第1课时 数列的概念 2 第2课时 数列的递推公式及前n项和 7 第3课时 数列的性质 13 1.2 等差数列 1.2.1 等差数列及其通项公式 19 1.2.2 等差数列与一次函数 25 1.2.3 等差数列的前n项和 31 1.3等比数列 1.3.1等比数列及其通项公式 36 1.3.2 等比数列与指数函数 42 1.3.3等比数列的前n项和 48 学科网（北京）股份有限公司 一、章节课后作业设计概述 1.章节构成框架 作业设计的内容是湖南教育出版社的2019年版（2026年7月第8次印刷）普通高中教科书数学选择性必修第一册《第一章 数列》.本章共有4小节，其中第4节数学归纳法为选学内容，故没有安排课时作业，教学安排约需9课时，相应作业具体分配如下. 内容 课时 作业 1.1数列的概念 数列的概念 3课时 3课时 1.2等差数列 等差数列及其通项公式 1课时 等差数列与一次函数 1课时 等差数列的前n项和 1课时 3课时 1.3等比数列 等比数列及其通项公式 1课时 等比数列与指数函数 1课时 等比数列的前n项和 1课时 3课时 2.章节内容解析 本章以离散变量为核心研究对象，是函数内容的延伸，将数列视作定义域为正整数集的特殊函数，搭建起离散数学与连续函数的桥梁. 数列的概念：认识数列、通项公式、递推公式、前项和与的关系，学会由递推写出数列项，从实例抽象出数列模型，是整章的基础； 等差数列：研究等差数列通项、性质、前项和，建立等差数列和一次函数的关联，体会等差模型，掌握基本量法； 等比数列：研究等比数列通项、性质、前项和，建立等比数列和指数函数的关联，辨析等差、等比两类数列的异同，掌握等比数列求和、裂项相消等综合求和方法，兼顾基础运算与综合证明. 本章习题层级分明，基础题考查概念辨析、基本量运算；中档题侧重与转化、性质运用；综合题融合裂项相消、不等式放缩、新数列构造，重点落实逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模四大核心素养. 3.学情分析 学生在必修阶段已经学习了函数的定义、性质，具备研究函数的基本经验，但对离散型函数的认知不足，容易将数列与连续函数混淆. 在知识层面：学生能够理解简单的数列项，但对递推关系、与通项的分段转化容易忽略的取值限制；对等差、等比数列的性质能机械记忆，遇到综合情境、构造新数列、裂项求和、不等式放缩时思路受阻. 在能力层面：学生基础运算能力参差不齐，基础题可完成基本量计算，但缺少严谨的逻辑思辨，容易形成思维定式；在多设问综合题中，拆解问题、代数变形、放缩证明的能力薄弱. 在素养层面：学生初步具备数学运算素养，但逻辑推理、数学建模素养有待加强，缺少 从实际或代数情境中提炼数列模型的意识，适合分层作业，设置基础巩固、能力提升、拓展综合三级习题，适配不同层次学生. 4.章节课后作业设计思路 本章作业按照课时进行拆分，1.1、1.2、1.3 各分配 3 课时作业，匹配9课时教学进度，遵循分层设计、素养导向、教学评一体化的原则. （1）立足课时目标，精准匹配教学内容：每课时作业紧扣当堂知识点，1.1 侧重数列概念、递推公式、与转化；1.2 围绕等差数列通项、性质、前项和；1.3 聚焦等比数列、求和公式、数列综合，做到课时作业为本节课服务，章节作业形成递进体系. （2）分层设置习题，兼顾差异：每课时作业分为基础巩固、能力提升、拓展探究三层.基础题落实概念记忆与基本运算；提升题考查性质辨析、递推转化（如前面多选题），破除思维定势；拓展综合题设置多设问大题，考查裂项相消、放缩证明、新数列构造，发展高阶思维. （3）聚焦核心素养，体现评价功能：作业不只是训练计算，每道题目都预设设计意图，兼顾知识、能力、方法、素养，重视逻辑推理训练，设置概念辨析多选题，引导学生严谨论证；借助综合大题训练数学运算、逻辑推理. （4）作业总量合理，减负提质：每课时作业题量精简，控制答题时长，避免重复机械刷题；依托作业反馈诊断学情，定位学生在递推转化、数列综合中的薄弱点，为课堂二次教学、针对性教研提供依据，发挥作业诊断、巩固、拓展的功能. 二、章节课后作业设计内容 1.1数列的概念 【基础巩固】 1.（原创）下列有关数列的说法正确的是 A．0,0,0，0，…是常数列 B．数列1,-1,1,-1与-1,1,-1,1为同一个数列 C．数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7} D．每个数列都可以写出通项公式 【设计意图】试题考查数列、常数列的概念，辨析数列与集合的区别，理解数列项的有序性；提升概念辨析、正误判断能力；通过举例排除法甄别命题对错；帮助学生厘清数列基础概念，规避易混淆的认知误区，渗透数学抽象等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】根据常数列的定义：数列的每一项的都相等，可得选项A正确；数列1,-1,1,-1与-1,1,-1,1中数字的排列顺序不同，所以不是同一个数列，故选项B错误；{1,3,5,7} 表示集合，不是数列，故选项C错误；数列也可以用列表法和图象法来表示，所以不是所有的数列都能写出通项公式，所以选项D错误. 故选A. 2.（原创）数列…的第9项是 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查由数列有限项归纳猜想数列通项公式；训练观察、归纳、推理能力；通过对项做等价变形，挖掘摆动数列内在规律；培养学生从有限项提炼一般规律的思维. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】B 【答案解析】根据结构特点来看，该数列是一个摆动数列，但是第一项不符合，所以需要对首项进行等价变形，把写成，那么该数列就完全是摆动数列，且分子分母差3，因此可以得出数列的通项公式，则. 故选B. 3.（原创）已知数列的通项公式为，则下列各式错误的是 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查数列通项公式的简单应用，已知通项求数列指定项；训练代入求值运算能力；直接代值计算验证选项；巩固通项公式最基本的使用方法. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】由数列的通项公式可得：；；；，所以选项C错误. 故选C. 4.（原创）在数列中，已知，，则29是数列中的 A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【设计意图】试题考查判断数值是否为数列中的项；提升解方程、对解进行取舍的甄别能力；令通项等于已知数值，构建方程求解，结合项为正整数对根进行取舍；落实数学运算、逻辑推理素养，体会数列项的正整数限制条件. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】令，即，整理得，解得或（不合舍去）. 故选D. 5．已知数列的前4项为1，0，1，0，则下列各式不可以作为数列的通项公式的是 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查数列通项公式不唯一性；训练多选项检验甄别能力；赋值代入验证法，将 n 依次取值检验通项是否匹配；理解同一个数列可以对应多个不同通项表达式. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】分别用1,2,3,4带入各个选项，可得选项D中的，所以不可以表示，另外三个选项都可以表示. 故选D. 【能力提升】 6.(多选题)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…则 A．数列第11项为121 B．数列第16项为128 C．162是数列第18项 D．200不是数列中的项 【设计意图】试题考查根据数列前若干项归纳数列规律，求解指定项；加强阅读理解、观察归纳、数据分析能力；从传统文化背景材料提取数列，分奇偶探寻分段规律；感受数学传统文化，训练分段处理数列的思维，体现逻辑推理、数学建模等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】BC 【答案解析】由此数项的前10项的规律可知: 所以，可得A错误，B正确；又，所以C正确；若200中偶数项，则，得，所以200是的第20项，可得D错误. 故选：BC. 7.（原创）有穷数列中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，若， 则有穷数列中值为0的项数是 A．1000 B．1005 C．1010 D．1015 【设计意图】试题考查数列项、平方和、求和运算；训练代数变形、逻辑分析与简单计算；利用平方展开做转化，区分取值为 1、1 与0的项，通过整体运算间接计数；训练学生整体代换、间接求解的思维策略. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】B 【答案解析】因为， 展开可得：， 又， 所以， 所以中值为1或-1的项有1021项， 因此有穷数列中值为0的项数是2026-1021=1005. 故选B. 8.（原创）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为 A．205 B．200 C．210 D．215 【设计意图】试题考查两个数列公共项识别，数列求和；提高观察、筛选公共项以及求和运算能力；列举、筛选得到公共项，再完成求和计算；强化学生识别子数列的能力. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】D 【答案解析】数列的项分别为，数列的项分别为， 所以两数列的公共项为，即， 因此数列的前5项和为. 故选D. 9.如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则 ． 【设计意图】【答案】2026 【难度等级】★★★★☆ 【答案解析】由已知可得：，，，，，， 可得，. 由，，，，，． 可得， 【综合拓展】 10．（原创）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内. 【设计意图】试题综合考查数列通项、判断数是否属于数列、研究数列中项的取值范围；训练代数运算、分析推理能力；方程思想判断项的归属，结合分式变形分析取值范围；落实数学运算、逻辑推理素养，由基础判断进阶到对数列整体性质探究，实现分层拔高，拓展学生思维深度. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】(1)不是；(2)是. 【答案解析】解： (1)化简，令 解得，所以是不是数列中的项. (2)由(1)得，又，所以， 而，又，所以，所以， 综上，即断数列中的项都在区间内. 1.1数列的递推公式及前n项和 【基础巩固】 1．（原创）数列满足，，则= A．3 B．4 C．5 D．6 【设计意图】试题考查数列递推公式，利用递推关系求数列指定项；采用递推逐项代入计算的方法求解；落实数学运算、逻辑推理素养，强化学生对递推公式基本用法的掌握. 【答案】C 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案解析】由，得，，，，. 故选C. 2．（原创）已知数列的前项和公式为，则 A．11 B．12 C．13 D．14 【设计意图】试题考查数列前n项和与通项的关系，利用前n项和求数列的项；提升公式迁移运用、代数计算能力；运用与的关系式进行计算；巩固前 n 项和的核心知识点. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】. 故选C. 3．已知数列和满足，且，则 A．12 B．15 C．16 D．19 【设计意图】试题考查两个关联数列条件下的求值问题，结合已知递推条件求解数列项；提高条件解读、综合分析与运算求解能力；利用已知条件对数列关系进行转化代换；应用数学运算、逻辑推理素养，训练学生处理关联数列的综合思维. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】因为，所以，且，， 所以． 又因为，所以， 故， 所以． 故选：A. 4．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 A．37升 B．21升 C．26升 D．32升 【设计意图】试题考查数列递推模型在实际传统文化情境中的应用，构建递推关系解决实际问题；加强阅读理解、数学建模、数据运算能力；读懂题意建立递推关系式，逐项迭代计算；渗透数学建模、数学运算、逻辑推理素养，体会数学在传统文化中的应用价值. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列， 则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5， 即， ， ， . 故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升. 故选：A. 5．（原创）已知数列满足，则 A．1 B． C． D． 【设计意图】试题考查退项思想的应用，提高对累加关系式的辨析、代换计算能力；落实数学运算、逻辑推理素养，巩固退项法求数列项的核心思路. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】由题意可得①， 所以时，②， 由①②得，所以，所以． 故选：D． 【能力提升】 6．（原创）数列满足，则数列的前6项和为 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查退项思想的应用，加强递推式变形、代数化简与求和运算能力；渗透数学运算、逻辑推理素养，数列求和的综合应用. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】因为① 所以当时，② 由①-②得，，所以， 又当时， 因此. 故选D. 7．（多选题）已知数列的前项和为，且满足，，则 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查数列前n项和与通项的转化关系，依托递推关系式判断数列相关命题；体现化归与转化思想的应用，多结论辨析与逻辑检验能力；利用作差得到相邻项关系，逐项验证选项真伪；训练学生多选题严谨推理、分类检验的思维习惯. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】B 【答案解析】由题意知 ，则当时， ， 两式相减可得 ，整理得，故C正确； 当时， ，因为 ，所以，故A错误； ，故D错误； ， ，，B正确. 故选B. 8．（原创）已知数列的前项和，则数列的通项公式 ． 【设计意图】试题考查数列前n项和与通项的转化关系，在中，学生易忽略这个条件，导致结论出错，试题虽简单，但立意深刻，旨在引导学生重视解题过程的严谨性. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】 【答案解析】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 9.在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有 种． 【设计意图】试题考查斐波那契递推数列在台阶计数情境中的应用，建立递推关系求解计数问题；加强阅读理解、情境抽象与归纳推理能力；分析登上第 n 级台阶的两类走法，构造递推公式逐项计算；训练学生从实际情境提炼数列递推模型的思维，体现数学建模、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】144 【答案解析】按李白的迈步方式，记从楼梯底部登上第个台阶的迈步方法数为，显然，， 当时，要登上第个台阶，可以分两类： 第一类，从第个台阶一步迈上，有种； 第二类，从第个台阶一步迈上，有种． 根据分类加法计数原理，． 易得，，，，，，，，． 故答案为：. 【综合拓展】 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图“”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），; (1)当时，试确定使得需要多少步雹程； (2)若，求所有可能的取值集合． 【设计意图】试题考查分段型数列递推公式的理解与逆向推理，依托冰雹猜想背景开展数列运算；正向逐次迭代计算雹程，采用逆推法结合奇偶分类枚举，求出初始值所有可能结果；锻炼学生读懂新定义、分类严谨推理的能力. 【难度等级】★★★★★ 【答案】（1）16；（2） 【答案解析】（1）当时，则按运算法则得出 ， 即使得需要16步雹程； （2）若，则或1， 当时，或5，若，则；若，则； 当时，或1， 故所有可能的取值集合. 1.1数列的性质 【基础巩固】 1．（原创）若数列满足，，则的值为 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查递推数列基本概念，利用递推公式逐项求数列项；采用依次赋值迭代计算，可观察数列的周期性；夯实数列递推基础运算，渗透数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】依题意得，，，，故数列的周期为4，所以. 故选C. 2．（原创）若数列是递减数列，则其通项公式可能是 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查数列单调性概念，结合指数、三次函数、反比例函数、对数型函数判断数列增减；提升函数与数列转化、辨析判断能力；体会数列是定义域为正整数集的特殊函数，落实数学抽象等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】因为函数是正实数集上的增函数，所以各自对应的数列也是递增数列； 因为函数是减函数，所以数列是递减数列； 故选：C 3．（原创）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则 A．5 B．6 C．7 D．8 【设计意图】试题考查数列最大项求解，通过不等式，求得的取值范围，在能力层面重点考查学生运算求解能力. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】假设为数列的最大项，则，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 故选A. 4．（原创）若数列满足，当时，，则数列的最小项为 A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项 【设计意图】试题考查反比例型数列的最值，结合反比例型函数单调性研究分母变化；提升利用函数思想分析数列增减、判断最大项与最小项的能力；方法上将数列视作正整数定义域上的函数，分析分母正负与单调性，判断分式取值变化；强化数列与函数之间的转化意识. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】当时，① 当时，则② 由①②得， 所以当时，数列单调递减且；当时，数列单调递减且， 由，可得，而，因此数列的最小项为第6项. 故选C. 5．设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【设计意图】试题考查数列单调性、前 n 项和以及充分必要条件的判定；提升辨析与单调性逻辑关系、举反例推理判断的能力；方法上利用分析数列增减，借助特例验证充分性与必要性；厘清项与前 n 项和之间的内在联系，强化命题推理论证思维. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】已知，而， 充分性：若递增，则，，故递增，即充分性成立； 必要性：取数列的通项为，则，显然为递增数列，但为递减数列，故必要性不成立； 所以“为递增数列”是“为递增数列”的充分非必要条件． 故选A. 【能力提升】 6．（原创）已知数列满足，则数列的最大项的值为 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查对勾数列的最值问题，结合对勾函数的单调性求最值，同时关注定义域的正整数问题，进一步强化数列与函数的关系，渗透化归与转化思想. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】C 【答案解析】因为，所以由对勾函数的单调性可得时单调递减；单调递增. 又， 所以数列的最大项的值为. 故选C. 7．（多选题）下列数列是递增数列的有 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查递增数列的概念，结合二次函数、指数、三角函数等通项形式判断数列单调性；提升对数列增减定义的理解，会通过作差、函数性质判断与大小的能力；方法上紧扣递增数列定义，结合函数单调性与列举特例辨析；区分数列单调性与对应函数单调性，夯实数列基础概念. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】AC 【答案解析】对于A，因为， 所以数列为递增数列，故A正确； 对于B， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以数列为摆动数列，故B错误； 对于C，因为 ， 所以数列为递增数列，故C正确； 对于D，因为 ，所以， ，，， ，，所以数列为摆动数列，故D错误． 故选AC. 8．(原创)已知数列，，，是数列的前项和，则 . 【设计意图】试题考查递推数列、周期数列的识别与前n项和求解；提高由分式递推公式推导数列规律、发现周期性并利用周期简化大项数求和的能力；方法上通过递推式逐项计算寻找周期，利用周期分组求和；训练学生递推转化与整体求和思想，体会周期数列简化运算的优势. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】 【答案解析】由得，，，， ， 所以数列的周期为. 一个周期内的项和为， 所以. 9．（原创）已知，若数列中最小项为第5项和第6项，则_______． 【设计意图】试题考查二次型通项的数列最小项问题，融合二次函数图像性质；加强数列与函数转化、利用对称轴分析离散变量最值的能力；将数列通项看作定义域为正整数的二次函数，通过对称轴位置确定参数范围；厘清连续函数与离散数列之间的联系与区别，强化函数思想在数列中的应用，渗透数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】11 【答案解析】】已知是关于正整数的开口向上的二次函数， 对称轴为，开口向上的二次函数的最小值出现在距离对称轴最近的正整数位置， 又数列中最小项为第项和第6项，所以 综上：. 【综合拓展】 10.已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 【设计意图】试题考查由前n项和求通项、数列最大项、数列单调性与参数范围等综合知识；提升分段通项求解、作差法判断数列增减、恒成立求参数的代数推理能力；利用与的关系，借助数列的单调性，转化为不等式恒成立问题；强化与转化要检验首项这一易错点，综合考查数列基本方法与转化思想，落实数学运算、逻辑推理、数学抽象核心素养. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】（1）；（2）数列的最大项是第项；(3)实数的取值范围为. 【答案解析】（1）当时，， 当时，，满足上式， 故数列的通项公式为 （2）由（1）得， 所以， 所以当时，，则数列单调递增；当时，，则数列单调递增. 所以数列的最大项是该数列的第项； （3）由已知得，， 则，解得， 当时， ， 要使，即， 设， 则， 所以数列为单调递增数列，即， 综上，实数的取值范围为. 1.2.1等差数列及其通项公式 【基础巩固】 1.(原创)下列数列不是等差数列的是 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查等差数列的判定方法：①定义法，（常数）；②通项公式法，（、为常数）；③等差中项法，（）.考查学生的基本功，试题难度较低，面向全体学生. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】法一：定义法 选项A:从第2项起，每一项与前一项的差都等于0，是等差数列； 选项B:从第2项起，每一项与前一项的差都等于1，是等差数列； 选项C:从第2项起，每一项与前一项的差都等于2，是等差数列； 选项D:,所以不是等差数列. 法二：通项公式法 选项A:，是等差数列； 选项B:，是等差数列； 选项C:，是等差数列； 选项D:，不是等差数列. 2.(原创)在等差数列中，若，，则公差为 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【设计意图】试题考查等差数列的概念、通项公式等内容，考查学生基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】由得解得. 故选A. 3.(原创)已知等差数列满足，，则 A．4 B．7 C．8 D．9 【设计意图】试题考查等差数列的概念、通项公式等基础知识，考查学生基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】B 【答案解析】法一:由等差数列的性质可知，即. 故选B. 法二：由基本量的思想，设等差数列的公差为，则解得 所以. 故选B. 4.(原创)设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【设计意图】试题考查等差数列通项的性质、基本不等式求最值，限定正整数条件；考查学生利用等差数列性质转化下标关系、结合整数约束求代数式最小值的推理能力；强调基本不等式应用要兼顾变量为整数这一隐藏约束，训练数列与不等式综合问题的转化思想，体现逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】因为数列为公差不为的等差数列，由可得， 所以==（当且仅当时取等号）. 故选A. 5.(原创)各项均为正数的数列满足，（，），则 A．5 B．25 C．6 D．36 【设计意图】试题考查等差数列定义，重点为构造新数列识别等差关系；引导学生掌握构造辅助数列的基本思路，区分原数列与构造后数列，提升观察递推式结构、转化构造数列的识别能力，蕴含数学抽象、数学运算第核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】由得，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，因此，则. 故选D. 【能力提升】 6.(原创)在等差数列中，，则的值为 A．3 B．2 C．1 D．0 【设计意图】试题考查等差数列的下标和性质与通项公式；方法上利用等差数列性质，先求出，再将、利用等差中项转化为的表达式化简求值，也可采用首项公差基本量法求解；引导学生优先利用数列性质简化计算，减少繁杂运算，培养整体化简的思维意识. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】B 【答案解析】法一：设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 故选B. 法二：由得，所以， 又 故选B. 7.记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有 A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 【设计意图】试题考查递推数列的构造、等差数列判定、数列单调性与前 n 项和估算；训练学生构造辅助数列这一重要解题策略，培养多条件下严谨推理甄别命题真假的能力；提升对分式型递推公式的变形转化、多选项综合辨析与逻辑判断能力；落实数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】AC 【答案解析】令，则． 因为，所以． 于是，所以，即． 所以是以为首项，公差为的等差数列． 所以，所以． 选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确． 选项B：．因为时，所以不恒成立，B错误． 选项C：由， 得． 而，所以，C正确． 选项D：通项随变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误． 故选AC. 8.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 【设计意图】试题考查等差数列通项、性质，结合《周髀算经》传统文化情境；提升学生从文字背景提取数列信息、建立数学模型，利用等差数列基本量与性质判断命题的能力；训练学生在实际情境中识别数列模型，多角度灵活运用等差数列性质，避免单纯机械套公式；体现数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，渗透数学文化. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】ACD 【答案解析】依题意，从冬至起，日影长依次记为，则数列是等差数列， 因此，，而，解得，又， 设数列的公差为，于是得：，解得，A正确； ，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确； 而成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确； ，即清明的日影子长为8.5尺. 故选：ACD. 9.（原创）在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为1的等差数列，若，则的面积为 . 【设计意图】试题综合考查等差数列、正弦定理、余弦定理与三角形面积公式；提升在解三角形背景下，结合数列条件设元、边角互化、代数运算的综合能力；实现数列与解三角形的知识交汇，训练学生整合多个知识点解决综合问题的能力. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】6 【答案解析】因为a，b，c成公差为1的等差数列，所以， 又，即，解得， 所以三角形为直角三角形，其面积为 【综合拓展】 10.（原创）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最大正整数. 【设计意图】试题考查分式型递推数列求通项、累乘法求积；取倒数构造等差数列求通项，考查学生代数式变形转化能力，观察通项结构、识别裂项模型的能力，规范书写解答步骤的逻辑表达能力；第(1)小问训练学生对分式递推式的常用构造手段；第(2)小问在求出通项基础上，分层设问降低综合题门槛，兼顾基础与综合应用. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】(1)；(2)2024 【答案解析】(1)由得，， 即， 所以， 又，所以， 故数列是首项为1，公差为1的等差数列. 因此，即. (2)由(1)得 所以，故最大的正整数为2024. 1.2.2等差数列与一次函数 【基础巩固】 1.（原创）已知等差数列的通项公式为，则其公差为 A．-3 B．-2 C．2 D．3 【设计意图】试题考查对等差数列通项公式的理解情况，考查学生的基本知识，难度较低，面向全体学生. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】法一：根据定义； 法二：由通项公式可得，一次项的系数就是公差，所以. 故选C. 2.（原创）已知是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【设计意图】试题考查等差数列单调性与充分必要条件的判定；考查学生逻辑辨析、命题推理论证能力；落实逻辑推理数学等核心素养，训练双向命题判断的思维. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】因为数列是等差数列，设其公差为， 若，则，所以数列是递增数列； 若数列是递增数列，可得； 综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件. 故选C. 3.（原创）在数列中，，点在直线上，则 A．-5 B．-7 C．-9 D．-11 【设计意图】试题考查点在直线上转化为数列递推关系，识别等差数列并求指定项；训练学生条件转化、代数运算能力；渗透数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】B 【答案解析】因为点在直线上， 所以，即， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 因此. 故选：B. 4.（原创）已知等差数列、的公差均不为0，则下列各式所确定的新数列一定不是等差数列的是 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查等差数列的判定以及数列线性变换后的性质；通过作差法验证后项减前项是否为常数，判断新数列是否为等差数列，也可以根据通项公式的结构特征来判断是否为等差数列；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】设，（其中为常数，且）， 选项A：，是等差数列； 选项B：； 选项C：，因为，所以是关于的二次函数，不是一次函数，所以不是等差数列； 选项D：，当时，此时数列为常数列，是等差数列. 故选C. 5.（原创）若数列的通项公式是，则 A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列有最大项 D．数列无最小项 【设计意图】试题考查等差数列通项、数列单调性与前 n 项和性质；训练学生多角度研究数列性质的思维；提升代数运算、综合辨析选项的能力；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】A 【答案解析】令，解得，所以是数列第34项，故A正确；由于，，则，所以数列不是递增数列，故B不正确；由于数列是递增数列，所以没有最大项，有最小项，故C、D都不正确. 故选A. 【能力提升】 6.（原创）（多选题）已知数列中，，，其前项和为，则 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查递推式取倒数构造等差数列，综合通项、数列最值与前 n 项和判断；提升学生变形转化、多选项推理辨析能力；训练学生构造法求解数列的思维. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】ABC 【答案解析】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得， 所以为正，且依次递增；为负，且依次递增， 所以，故C正确； ， 故D不正确. 故选：ABC. 7.（多选题）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有 A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【设计意图】试题考查等差数列子数列、线性变换后数列的性质与单调性判断；利用等差数列定义作差验证子数列与变换数列，通过作差判断增减性；提升学生对数列结构辨析、命题真假推理判断能力；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】ABD 【答案解析】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 8.（原创）已知数列满足，，则__________. 【设计意图】试题考查分奇偶项求解数列的项；通过构造与对应的递推式作差，分出奇数项、偶数项各自的规律求值；加强学生对相邻项递推结构分析、代数运算的能力；训练分段研究递推数列的思维；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】150 【答案解析】因为，， 当时，，解得：， ，两式相减可得：， 所以数列的偶数项是以为首相，公差为的等差数列， 所以. 故答案为：150. 9.（原创）与的公共项从小到大构成新数列，则数列的最小项为______. 【设计意图】试题考查两个等差数列公共项的寻找以及分式数列求最小项，综合性较强；通过求解，提升对数列公共项的推理、代数变形与最值分析能力；体现数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】-41 【答案解析】数列是以5为首项，6为公差的等差数列，. 则， 根据在上单调递减，上单调递减， 又，所以当时，取得最小值. 故数列的最小项为-41. 【综合拓展】 10.已知数列的前项和为，且满足，， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； （3），求数列的前项和． 【设计意图】试题考查利用等差中项法判断等差数列、裂项相消法在数列求和中的应用，综合性较强；提高学生代数变形、递推转化与分类讨论的能力；蕴含数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】（1）；(2)；（3）. 【答案解析】（1）由可得，数列是等差数列， 又，，所以等差数列的首项是1，公差是， 故，即 当时，，且也满足， ，则数列的通项公式为； （2）由（1）得， 所以. （3）由（1）得 所以. 1.2.3等差数列的前n项和 【基础巩固】 1.(原创)记为等差数列的前项和，，则 A．5 B．8 C．11 D．14 【设计意图】试题考查等差数列基本量的运算，考查学生在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用； 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】法一：设等差数列的公差为，由已知得，，解得， 所以. 故选C. 法二：因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 故选C. 2.(原创)已知是等差数列的前项和，若，则 A．2 B．3 C．4 D．5 【设计意图】试题考查等差数列前n项和及等差中项的应用；提升学生对数列性质快速识别、简化解题运算的能力；训练学生活用等差数列性质简化运算的思维，蕴含数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】B 【答案解析】根据等差数列的前项和公式，， 所以，解得. 故选B. 3.(原创)设等差数列的前项和为，若 ，则等于 A．30 B．50 C．60 D．70 【设计意图】试题考查等差数列前项和性质，提高学生识别数列片段和规律、灵活选用不同方法解题的能力；渗透数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 故选C. 4.(原创)设等差数列的项数为奇数，其奇数项之和与偶数项之和的比为,则该数列的项数为 A．10 B．11 C．20 D．21 【设计意图】试题考查等差数列奇数项、偶数项和的相关性质，研究总项数为奇数时奇偶项和的比值；提升学生分类拆分项、代数推导与抽象概括的能力；锻炼学生对数列分段求和规律的归纳思维；落实逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】设，则 ， ， 所以，解得， 因此. 故选D. 5.(原创)某班级的读书角摆放了一个8层书架，书架上的图书数量从上到下依次构成数列，其中前4项，，，成等差数列，后5项，…，也成等差数列，且，，，则这8层书架上的书一共有 A．64本 B．65本 C．66本 D．67本 【设计意图】试题考查等差数列在实际情境中的应用，先利用等差数列性质求出后段数列的首项，再结合前段等差关系求出前四项，最后分段求和；提升学生从生活实例提取数学条件、分步拆解问题的能力；蕴含数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】C 【答案解析】设后5项的公差为，则由，可得， 解得，又，所以8层书架上的书一共有， 故选C. 【能力提升】 6.(原创)已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查等差数列通项与前项和公式，研究两项比值与前项和比值之间的转化；利用等差数列通项与前项和的关系，设出数列通项代入进行运算求值；提升学生公式辨析、代数转化与灵活选用性质的能力，落实逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】C 【答案解析】不妨设（为常数），， 则， , 所以. 故选C. 7.(原创)已知等差数列的前项和为，其中，则下列结论错误的是 A． B．数列为递增数列 C．中最小 D． 【设计意图】试题考查等差数列前项和符号与项的正负、公差的关系，判断多项命题正误；提高学生综合分析、推理判断与辨析选项的能力；训练学生借助前项和研究数列增减变化的思维，渗透逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】由，得， 又公差，所以数列为递增数列. 故选D. 8.(原创)(多选题）记为数列的前项和，已知，，则 A． B． C．数列是等差数列 D．当取最小值时，为5 【设计意图】试题考查由与的递推关系式构造新数列，结合与的关系判断命题正误；对递推式同除构造新数列，求出再得到通项，逐一验证选项；训练学生递推变形、代数构造与多选项检验辨析能力；蕴含逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】ABC 【答案解析】由，得， 再令，得，又，解得， 所以数列是首项为公差为1的等差数列， 故，即，由此可得数列是等差数列，所以选项BC正确； 由及得，选项A正确； 由可得对称轴为，而，所以当为5或6时，取最小值. 故选ABC. 9.已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为 ． 【设计意图】试题考查数列前项和与通项间的转化，利用递推关系推导等差数列通项；借助作差化简，结合判定数列类型，求解通项公式；锻炼学生代数变形、分类验证与推理论证能力；落实逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】 【答案解析】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 【综合拓展】 10.（原创）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【设计意图】试题考查等差数列通项、前项和公式以及含绝对值数列的求和；先列方程组求出首项与公差，再判断正负分界点，分段去掉绝对值再求和；训练学生基本公式运算、分段讨论与转化计算能力、绝对值数列分类讨论的思维；体现逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】(1)，；（2） 【答案解析】(1)设等差数列的公差为,由得 解得， 所以，； （2）因为当时，；当时， 所以①当时，， ②当时， 综上，. 1.3.1等比数列及其通项公式 【基础巩固】 1.（原创）已知数列为等比数列，，，则 A．20 B． C． D． 【设计意图】试题考查等比数列项的性质,运用等比数列片段仍成等比数列的规律快速求值；训练学生对数列性质辨识、代数运算的能力；落实逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】因为数列为等比数列，所以，即，又. 故选A. 2.（原创）数与的等差中项，等比中项分别是 A．， B．， C．， D．， 【设计意图】试题考查等差中项、等比中项的基础概念辨析；运用等差中项唯一、等比中项互为相反数的结论直接求解；提升区分两类中项取值差异、准确计算的能力；强化对等差、等比基础概念的辨析记忆；渗透逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】等差中项为；等比中项为. 故选D. 3.（原创）已知，，，成等比数列，则的值分别为 A．4，-8 B．-4,8 C．4,8 D．-4，-8 【设计意图】试题考查等比数列的定义，能够运用通项公式进行简单的运算，体现了等比数列中基本量思想的应用；强化学生数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】设该等比数列的公比为，则，即，解得， 所以，. 故选A. 4.（原创）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查等差数列通项公式、等比中项性质，对等差、等比数列知识进行综合运用；利用等比中项建立方程求出公差，再结合等差数列通项计算目标项；训练学生数列综合条件下的方程求解思维. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】设等差数列的公差为，因为、、成等比数列，所以，即，解得或（不合舍去）， 因此. 故选D. 5.（原创）在正项等比数列中，，则的最小值为 A．4 B．8 C．12 D．16 【设计意图】试题考查正项等比数列性质与基本不等式求最值，融合数列与不等式综合知识；先用等比数列下标性质找到两项等量关系，再运用基本不等式求解最小值；提升学生条件转化、代数变形与最值分析能力. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】A 【答案解析】设正项等比数列的公比为，由得，，即， 所以（当且仅当时，等号成立），即的最小值为4. 故选A. 【能力提升】 6.（原创）某汽车集团第一年全年生产新能源汽车1万辆，在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量均比上一年增长50%，那么该汽车集团需经过多少年新能源汽车的产量开始超过70万辆（参考数据：，，） A．10 B．11 C．12 D．13 【设计意图】试题考查等比数列的实际应用、对数运算，依托科技发展真实情境建模；训练学生从文字背景提取数量关系、建立数列模型并利用对数估算求解的能力，感受数列在经济增长中的应用价值；体现数学建模、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】C 【答案解析】设该汽车集团第年汽车的产量为万辆，则，由题意可知，数列是以1为首项，以1.5为公比的等比数列，所以， 由，解得，因此该汽车集团需经过12年新能源汽车的产量开始超过70万辆. 故选C. 7.（原创）若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则 A．32 B．64 C．128 D．256 【设计意图】试题考查数列前项和与的转化、等差中项以及等比数列的判定；锻炼学生由递推关系式推导数列类型、联立方程求解首项并计算指定项的能力；训练和项互化的数列核心思想，落实逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】B 【答案解析】由，得，两式相减可得， 故数列从第2项起，构成公比为2的等比数列，所以， 又是与的等差中项，所以，即， 在中，令得， 所以. 故选B. 8.（原创）（多选题）在正项等比数列中，则下列结论中正确的是 A． B． C． D．若，则 【设计意图】试题考查正项等比数列的性质、基本不等式与不等关系判断；利用等比数列下标性质、通项公式，结合作差法、基本不等式对各选项推理论证；训练学生多角度辨析数列命题真假的思维. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】ACD 【答案解析】由等比数列的性质可得，，所以选项A正确； 由基本不等式可得（当且仅当时，等号成立），所以选项B错误； 由， 又在正项等比数列中，所以，得，即，所以选项C正确； 因为，所以，又，所以，所以选项D正确. 故选ACD. 9.已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【设计意图】试题考查累乘法求数列通项、不等式恒成立问题；提升学生由递推关系求通项、分奇偶分类讨论、分离参数求最值的能力；渗透分类讨论的数学思想. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】 【答案解析】因为，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 则，得且， 将代入条件得，， 因为单调递增， 当为偶数时，； 当为奇数时，，即， 综上的取值范围是． 【综合拓展】 10.已知数列的前n项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【设计意图】试题考查由与的关系式求等比数列通项、数列最大项求解、存在性推理证明；分层设问逐步深化，综合考查数列核心思想；训练学生和项互化、作差判断数列增减、反证法推理论证的能力；渗透数学运算、逻辑推理等数学核心素养. 【难度等级】★★★★★ 【答案】(1)；(2)；(3)不存在. 【答案解析】（1）当时，，解得 当 时，，则，整理得 ， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； （2）由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 1.3.2等比数列与指数函数 【基础巩固】 1.（原创）已知数列的通项公式为，则数列的公比是 A．3 B．6 C．9 D．27 【设计意图】试题考查等差数列与等比数列的关联，能够结合指数运算法则求后项与前项的比值，确定新数列公比；锻炼学生识别复合数列、转化推理的能力；体现数学抽象、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】已知，则数列的公比为， 故选C. 2.（原创）在等比数列数列中，，.为数列的前项的积，则 A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【设计意图】试题考查等比数列与指数函数之间的关系，了解等比数列中项的变化规律；训练学生能够把前项积的问题转化为项的问题，渗透转化与化归思想的应用；提高学生解决问题的能力. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】A 【答案解析】设在等比数列数列的公比为，则，及， 所以，故当时，，当时，. 结合前面的负号，可得当时，取得最小值，当时，取得最大值. 故选A. 3.（原创）已知递增的等比数列满足，，则的公比 A．6 B．3 C．2 D． 【设计意图】试题考查等比数列的性质，提升学生对等比数列性质的运用、方程求解与条件辨析能力；蕴含数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】B 【答案解析】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，解得. 故选：B. 4.（原创）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是等比数列的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【设计意图】试题考查等比数列的定义与运算性质，判断经过四则变换后的数列是否仍为等比数列；利用等比数列定义，逐项验证后项与前项比值是否为定值；加强学生概念辨析、逻辑论证与分类检验的能力；深化对等比数列概念本质的理解，蕴含数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】C 【答案解析】由等比数列的定义可得，，，，，所以①②③⑤均为等比数列；④⑥不满足等比数列的定义，因此正确的个数是4个. 故选C. 5.（原创）在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是 A．数列是摆动数列 B．数列是递增数列 C．数列是递减数列 D．数列是常数列 【设计意图】试题考查正项等比数列通项、基本不等式与数列单调性判断；训练学生对等比公式变形、不等式放缩与等号条件辨析能力；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】法一：由得， 又（当且仅当时，等号成立）， 所以且仅当时成立，所以数列是常数列． 故选D. 法二：由得，即，化简得 又，所以，又因为正项数列，所以，所以数列是常数列． 故选D. 【能力提升】 6.（原创）已知单调递增等比数列的前11项积为-1，且，若数列的前项和为，则的最大值为 A．12 B．13 C．14 D．15 【设计意图】试题考查等比数列性质、对数运算与等差数列判定，综合数列前 n 项和求最大值；训练学生转化与化归思想以及综合分析的思维；渗透数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】设等比数列的公比为. 因为等比数列是单调递增，所以. 因为等比数列的前11项积为-1，所以，得. 因为，所以，即，解得或. 因为等比数列是单调递增，； 所以，得. 所以数列是以为首项，-1为公差的等差数列，则. 所以当或时，取得最大值15. 故选D. 7.（原创）（多选题）已知（、为常数），则下列关于数列的说法正确的是 A．为等比数列 B．可能为等差数列 C．为摆动数列 D．，为递增数列 【设计意图】试题考查等比数列、等差数列概念辨析以及数列单调性、摆动数列的判定；提升学生分类讨论、概念辨析与逻辑判断能力；训练学生严谨辨析数列概念、分类讨论参数的思维. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】BC 【答案解析】时，为常数列，是等差数列，但不是等比数列，故A错误； 时，，为常数列，是等差数列，故B正确； 时，为摆动数列；故C正确； 且，或且时，则数列为递增数列，故D错误. 故选：BC. 8.（原创）（多选题）已知在数列中， ，．则下列结论正确的是 A． B． C．数列为等比数列 D． 【设计意图】试题考查奇偶项成等比数列；能够根据奇偶分别求通项公式，体现分类讨论思想的应用；提高学生分析问题和解决问题的能力. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】ABD 【答案解析】由得，两式相除 所以数列的奇偶项分别构成公比都为2的等比数列， 故， 所以；；，故选项ABD正确； 又所以数列不是等比数列. 故选：ABD. 9.（原创）试写出一个无穷的等比数列，同时满足①；②数列不具有单调性；③数列的最大项仅为首项.则 . 【设计意图】试题考查等比数列的单调性；考查学生能够全面地了解等比数列的单调性，蕴含分类讨论思想；落实数学抽象、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】 【答案解析】由数列不具有单调性可得，数列的公比或，又数列的最大项仅为首项，所以，结合，数列的一个通项公式可以为：（不唯一）. 【综合拓展】 10.数列的前项和为，已知. (1)试写出； (2)设，求证：数列是等比数列； (3)求出数列的前项和为及数列的通项公式. 【设计意图】试题考查与的转化关系、等比数列的证明与通项求解；提高学生运算求解、代数变形、推理论证能力；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】（1），， 【答案解析】（1）由题设，，； (2)由，可得， 整理， 所以，又有， 所以数列是首项为1，公比为2等比数列. （3）由（2）可知，且，进而， 所以数列的前项和， 当，， 当时，也满足. 所以，. 1.3.3等比数列的前n项和 【基础巩固】 1.（原创）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则公比 A．1 B．-2 C．3 D．1或-2 【设计意图】试题考查正项等比数列的通项性质与前 n 项和公式；训练学生对等比数列下标性质的识别、代数运算与方程求解能力、强化利用数列性质简化运算的思维；体现数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★☆☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】若，由等比数列的性质可知，则， 若，则，符合题意； 若，则，解得或（舍去）． 故选D. 2.（原创）已知为正项等比数列的前项和，若，，则 A． B． C． D． 【设计意图】试题考查正项等比数列前项和公式，利用前项和的关系式建立方程求解公比；提升学生对求和公式的运用、代数变形与方程求解能力；同时训练学生利用数列约束条件取舍解的严谨思维. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】D 【答案解析】法一：因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 法二：依题意，由，可得，整理得， 解得或（不合舍去），所以公比. 故选：D． 3.（原创）已知等比数列的前项和为，若，，则 A．48 B．39 C．27 D．21 【设计意图】试题考查等比数列前项和片段性质；锻炼学生识别数列片段和规律、代数运算与方程求解能力；渗透数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】B 【答案解析】由题意可知成等比数列， 所以，解得. 故选B. 4.（原创）已知等比数列的首项为2，前n项和为，若，则 A． B． C． D．或 【设计意图】试题考查等比数列前项和公式与通项公式，辨析公比的特殊情况；提高学生分类讨论、代数运算与排除增根的能力. 【难度等级】★★☆☆☆ 【答案】C 【答案解析】设该等比数列的公比为， 当时，，不符合题意； 当时，， 所以. 故选C. 5.（原创）已知数列的首项为1，，前项和为，则下列结论正确的是 A． B．数列是等比数列 C． D． 【设计意图】试题考查一阶线性递推数列的构造法，判断构造新数列的类型并求通项与前几项；试题综合考查了学生的代数变形、构造转化、逐项验算的能力；训练学生将陌生递推转化为熟悉等比数列的化归思想. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】B 【答案解析】由，变形得，即，且， 故是首项为，公比为的等比数列，B正确. 由等比数列通项得，即，C错误. 选项A：将代入通项，，A错误. 选项D：前项和，由等比数列求和公式得，D错误. 故选B. 【能力提升】 6.（原创）已知数列满足始终为定值，则 A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差或等比数列 D．可能是非等差非等比数列 【设计意图】试题考查数列递推关系式的逻辑辨析，通过推理或构造反例，逐一甄别四个命题的正误；加强学生举反例、逻辑判断与概念辨析能力；落实数学运算、逻辑推理等核心素养. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】D 【答案解析】若是等差数列，则由等差中项可得，为定值， 若是公比为的等比数列，则，，， 所以 ，当时，即为定值； 若可能是非等差非等比数列，构造一个有限数列， 如：，，，，，则，为定值， 综上，是等差数列、等比数列，或非等差非等比数列均有可能. 故选D. 7.（原创）（多选题）记为数列的前项和，若，，则 A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 【设计意图】试题考查与的转化关系，辨析分段数列特征，结合对数判断新数列类型；强化与通项转换时分段讨论的意识；考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】ACD 【答案解析】由题意可知，当时，；当时，， 所以， 所以()，，故A正确； 从开始，数列是公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为， 故数列不是等比数列，B错误； 所以，，， 所以是公差为1的等差数列，CD正确. 故选：ACD. 8.（原创）（多选题）小王今年年初向银行贷款10000元，月利率为为1%，小王采用等额本息的还款方式，从借贷后的第二个月开始还款，分6个月还清，则每月应偿还 （参考数据，） A．1711 B．1712 C．1713 D．1714 【设计意图】试题以银行的复利计算为背景，综合考查等比数列通项公式、前项和公式在实际情境中的应用；考查学生逻辑推理能力与运算求解能力，体现了方程与代数的基本思想和基本方法. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】C 【答案解析】设小王每月应偿还元，则依题意有： 即，所以（元） 故选C. 9.（原创）记为数列的前项和，已知则 . 【设计意图】试题考查分段数列前项和的求解；提升分类讨论思想的应用，强调对基础知识的理解与掌握，体现了对核心素养与关键能力的考查；试题体现了基础性、应用性、综合性的考查要求. 【难度等级】★★★☆☆ 【答案】 【答案解析】依题意可知，数列的奇数项构成以2为首项，以4为公比的等比数列；偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列， 所以 【综合拓展】 10.（原创）已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)设，求数列前项的和. 【设计意图】试题考查等比数列通项的求解、裂项相消求和、错位相减法求和与放缩法证明不等式；考查主干知识，突出基础性，着重考查理性思维和运算求解能力. 【难度等级】★★★★☆ 【答案】（1）；（2）见下面解析；(3) 【答案解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得， 解得，所以． （2）由（1）知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 所以得证． （3）由（1）得 ①， 两边同乘得②， 用①式减去②式得， 将代入， 得， 两边同乘2得，故数列前项的和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学科网中小学作业设计评选 课时同步作业 参评课题： 湘教版2019年版普通高中教科书数学选择性必修第一册 《第一章 数列》 参评教师： 蔡娟兰 学段学科： 高中数学 工作单位： 莆田第十中学 联系电话： 18959508687 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 目 录 一、章节作业设计概述 1.章节构成框架 1 2.章节内容解析 1 3.章节作业设计思路 2 二、章节作业设计内容 1.1 数列的概念 第1课时 数列的概念 3 第2课时 数列的递推公式及前n项和 5 第3课时 数列的性质 7 1.2 等差数列 1.2.1 等差数列及其通项公式 9 1.2.2 等差数列与一次函数 11 1.2.3 等差数列的前n项和 13 1.3等比数列 1.3.1等比数列及其通项公式 15 1.3.2 等比数列与指数函数 17 1.3.3等比数列的前n项和 19 学科网（北京）股份有限公司 一、章节课后作业设计概述 1.章节构成框架 作业设计的内容是湖南教育出版社的2019年版（2026年7月第8次印刷）普通高中教科书数学选择性必修第一册《第一章 数列》.本章共有4小节，其中第4节数学归纳法为选学内容，故没有安排课时作业，教学安排约需9课时，相应作业具体分配如下. 内容 课时 作业 1.1数列的概念 数列的概念 3课时 3课时 1.2等差数列 等差数列及其通项公式 1课时 等差数列与一次函数 1课时 等差数列的前n项和 1课时 3课时 1.3等比数列 等比数列及其通项公式 1课时 等比数列与指数函数 1课时 等比数列的前n项和 1课时 3课时 2.章节内容解析 本章以离散变量为核心研究对象，是函数内容的延伸，将数列视作定义域为正整数集的特殊函数，搭建起离散数学与连续函数的桥梁. 数列的概念：认识数列、通项公式、递推公式、前项和与的关系，学会由递推写出数列项，从实例抽象出数列模型，是整章的基础； 等差数列：研究等差数列通项、性质、前项和，建立等差数列和一次函数的关联，体会等差模型，掌握基本量法； 等比数列：研究等比数列通项、性质、前项和，建立等比数列和指数函数的关联，辨析等差、等比两类数列的异同，掌握等比数列求和、裂项相消等综合求和方法，兼顾基础运算与综合证明. 本章习题层级分明，基础题考查概念辨析、基本量运算；中档题侧重与转化、性质运用；综合题融合裂项相消、不等式放缩、新数列构造，重点落实逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模四大核心素养. 3.学情分析 学生在必修阶段已经学习了函数的定义、性质，具备研究函数的基本经验，但对离散型函数的认知不足，容易将数列与连续函数混淆. 在知识层面：学生能够理解简单的数列项，但对递推关系、与通项的分段转化容易忽略的取值限制；对等差、等比数列的性质能机械记忆，遇到综合情境、构造新数列、裂项求和、不等式放缩时思路受阻. 在能力层面：学生基础运算能力参差不齐，基础题可完成基本量计算，但缺少严谨的逻辑思辨，容易形成思维定式；在多设问综合题中，拆解问题、代数变形、放缩证明的能力薄弱. 在素养层面：学生初步具备数学运算素养，但逻辑推理、数学建模素养有待加强，缺少 从实际或代数情境中提炼数列模型的意识，适合分层作业，设置基础巩固、能力提升、拓展综合三级习题，适配不同层次学生. 4.章节课后作业设计思路 本章作业按照课时进行拆分，1.1、1.2、1.3 各分配 3 课时作业，匹配9课时教学进度，遵循分层设计、素养导向、教学评一体化的原则. （1）立足课时目标，精准匹配教学内容：每课时作业紧扣当堂知识点，1.1 侧重数列概念、递推公式、与转化；1.2 围绕等差数列通项、性质、前项和；1.3 聚焦等比数列、求和公式、数列综合，做到课时作业为本节课服务，章节作业形成递进体系. （2）分层设置习题，兼顾差异：每课时作业分为基础巩固、能力提升、拓展探究三层.基础题落实概念记忆与基本运算；提升题考查性质辨析、递推转化（如前面多选题），破除思维定势；拓展综合题设置多设问大题，考查裂项相消、放缩证明、新数列构造，发展高阶思维. （3）聚焦核心素养，体现评价功能：作业不只是训练计算，每道题目都预设设计意图，兼顾知识、能力、方法、素养，重视逻辑推理训练，设置概念辨析多选题，引导学生严谨论证；借助综合大题训练数学运算、逻辑推理. （4）作业总量合理，减负提质：每课时作业题量精简，控制答题时长，避免重复机械刷题；依托作业反馈诊断学情，定位学生在递推转化、数列综合中的薄弱点，为课堂二次教学、针对性教研提供依据，发挥作业诊断、巩固、拓展的功能. 1.1数列的概念 【基础巩固】 1.（原创）下列有关数列的说法正确的是 A．0,0,0，0，…是常数列 B．数列1,-1,1,-1与-1,1,-1,1为同一个数列 C．数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7} D．每个数列都可以写出通项公式 2.（原创）数列…的第9项是 A． B． C． D． 3.（原创）已知数列的通项公式为，则下列各式错误的是 A． B． C． D． 4.（原创）在数列中，已知，，则29是数列中的 A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 5．已知数列的前4项为1，0，1，0，则下列各式不可以作为数列的通项公式的是 A． B． C． D． 【能力提升】 6.(多选题)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…则 A．数列第11项为121 B．数列第16项为128 C．162是数列第18项 D．200不是数列中的项 7.（原创）有穷数列中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，若， 则有穷数列中值为0的项数是 A．1000 B．1005 C．1010 D．1015 8.（原创）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为 A．205 B．200 C．210 D．215 9.如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则 ． 【综合拓展】 10．（原创）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内. 1.1数列的递推公式及前n项和 【基础巩固】 1．（原创）数列满足，，则= A．3 B．4 C．5 D．6 2．（原创）已知数列的前项和公式为，则 A．11 B．12 C．13 D．14 3．已知数列和满足，且，则 A．12 B．15 C．16 D．19 4．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 A．37升 B．21升 C．26升 D．32升 5．（原创）已知数列满足，则 A．1 B． C． D． 【能力提升】 6．（原创）数列满足，则数列的前6项和为 A． B． C． D． 7．（多选题）已知数列的前项和为，且满足，，则 A． B． C． D． 8．（原创）已知数列的前项和，则数列的通项公式 ． 9.在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有 种． 【综合拓展】 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图“”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），; (1)当时，试确定使得需要多少步雹程； (2)若，求所有可能的取值集合． 1.1数列的性质 【基础巩固】 1．（原创）若数列满足，，则的值为 A． B． C． D． 2．（原创）若数列是递减数列，则其通项公式可能是 A． B． C． D． 3．（原创）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（原创）若数列满足，当时，，则数列的最小项为 A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项 5．设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【能力提升】 6．（原创）已知数列满足，则数列的最大项的值为 A． B． C． D． 7．（多选题）下列数列是递增数列的有 A． B． C． D． 8．(原创)已知数列，，，是数列的前项和，则 . 9．（原创）已知，若数列中最小项为第5项和第6项，则_______． 【综合拓展】 10.已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 1.2.1等差数列及其通项公式 【基础巩固】 1.(原创)下列数列不是等差数列的是 A． B． C． D． 2.(原创)在等差数列中，若，，则公差为 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 3.(原创)已知等差数列满足，，则 A．4 B．7 C．8 D．9 4.(原创)设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 5.(原创)各项均为正数的数列满足，（，），则 A．5 B．25 C．6 D．36 【能力提升】 6.(原创)在等差数列中，，则的值为 A．3 B．2 C．1 D．0 7.记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有 A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 8.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 9.（原创）在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为1的等差数列，若，则的面积为 . 【综合拓展】 10.（原创）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最大正整数. 1.2.2等差数列与一次函数 【基础巩固】 1.（原创）已知等差数列的通项公式为，则其公差为 A．-3 B．-2 C．2 D．3 2.（原创）已知是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（原创）在数列中，，点在直线上，则 A．-5 B．-7 C．-9 D．-11 4.（原创）已知等差数列、的公差均不为0，则下列各式所确定的新数列一定不是等差数列的是 A． B． C． D． 5.（原创）若数列的通项公式是，则 A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列有最大项 D．数列无最小项 【能力提升】 6.（原创）（多选题）已知数列中，，，其前项和为，则 A． B． C． D． 7.（多选题）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有 A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 8.（原创）已知数列满足，，则__________. 9.（原创）与的公共项从小到大构成新数列，则数列的最小项为______. 【综合拓展】 10.已知数列的前项和为，且满足，， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； （3），求数列的前项和． 1.2.3等差数列的前n项和 【基础巩固】 1.(原创)记为等差数列的前项和，，则 A．5 B．8 C．11 D．14 2.(原创)已知是等差数列的前项和，若，则 A．2 B．3 C．4 D．5 3.(原创)设等差数列的前项和为，若 ，则等于 A．30 B．50 C．60 D．70 4.(原创)设等差数列的项数为奇数，其奇数项之和与偶数项之和的比为,则该数列的项数为 A．10 B．11 C．20 D．21 5.(原创)某班级的读书角摆放了一个8层书架，书架上的图书数量从上到下依次构成数列，其中前4项，，，成等差数列，后5项，…，也成等差数列，且，，，则这8层书架上的书一共有 A．64本 B．65本 C．66本 D．67本 【能力提升】 6.(原创)已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则 A． B． C． D． 7.(原创)已知等差数列的前项和为，其中，则下列结论错误的是 A． B．数列为递增数列 C．中最小 D． 8.(原创)(多选题）记为数列的前项和，已知，，则 A． B． C．数列是等差数列 D．当取最小值时，为5 9.已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为 ． 【综合拓展】 10.（原创）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 1.3.1等比数列及其通项公式 【基础巩固】 1.（原创）已知数列为等比数列，，，则 A．20 B． C． D． 2.（原创）数与的等差中项，等比中项分别是 A．， B．， C．， D．， 3.（原创）已知，，，成等比数列，则的值分别为 A．4，-8 B．-4,8 C．4,8 D．-4，-8 4.（原创）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 A． B． C． D． 5.（原创）在正项等比数列中，，则的最小值为 A．4 B．8 C．12 D．16 【能力提升】 6.（原创）某汽车集团第一年全年生产新能源汽车1万辆，在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量均比上一年增长50%，那么该汽车集团需经过多少年新能源汽车的产量开始超过70万辆（参考数据：，，） A．10 B．11 C．12 D．13 7.（原创）若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则 A．32 B．64 C．128 D．256 8.（原创）（多选题）在正项等比数列中，则下列结论中正确的是 A． B． C． D．若，则 9.已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【综合拓展】 10.已知数列的前n项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 1.3.2等比数列与指数函数 【基础巩固】 1.（原创）已知数列的通项公式为，则数列的公比是 A．3 B．6 C．9 D．27 2.（原创）在等比数列数列中，，.为数列的前项的积，则 A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 3.（原创）已知递增的等比数列满足，，则的公比 A．6 B．3 C．2 D． 4.（原创）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是等比数列的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 5.（原创）在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是 A．数列是摆动数列 B．数列是递增数列 C．数列是递减数列 D．数列是常数列 【能力提升】 6.（原创）已知单调递增等比数列的前11项积为-1，且，若数列的前项和为，则的最大值为 A．12 B．13 C．14 D．15 7.（原创）（多选题）已知（、为常数），则下列关于数列的说法正确的是 A．为等比数列 B．可能为等差数列 C．为摆动数列 D．，为递增数列 8.（原创）（多选题）已知在数列中， ，．则下列结论正确的是 A． B． C．数列为等比数列 D． 9.（原创）试写出一个无穷的等比数列，同时满足①；②数列不具有单调性；③数列的最大项仅为首项.则 . 【综合拓展】 10.数列的前项和为，已知. (1)试写出； (2)设，求证：数列是等比数列； (3)求出数列的前项和为及数列的通项公式. 1.3.3等比数列的前n项和 【基础巩固】 1.（原创）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则公比 A．1 B．-2 C．3 D．1或-2 2.（原创）已知为正项等比数列的前项和，若，，则 A． B． C． D． 3.（原创）已知等比数列的前项和为，若，，则 A．48 B．39 C．27 D．21 4.（原创）已知等比数列的首项为2，前n项和为，若，则 A． B． C． D．或 5.（原创）已知数列的首项为1，，前项和为，则下列结论正确的是 A． B．数列是等比数列 C． D． 【能力提升】 6.（原创）已知数列满足始终为定值，则 A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差或等比数列 D．可能是非等差非等比数列 7.（原创）（多选题）记为数列的前项和，若，，则 A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 8.（原创）（多选题）小王今年年初向银行贷款10000元，月利率为为1%，小王采用等额本息的还款方式，从借贷后的第二个月开始还款，分6个月还清，则每月应偿还 （参考数据，） A．1711 B．1712 C．1713 D．1714 9.（原创）记为数列的前项和，已知则 . 【综合拓展】 10.（原创）已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)设，求数列前项的和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $