河北省承德市双滦区实验中学2026-2027学年上学期高三优班数学周末自主检测卷（1）

河北省承德市双滦区实验中学 2026-2027学年上学期高三优班数学周末自主检测卷（1） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知命题，．则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是偶函数，则（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，在区间上函数值随着自变量的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知集合，，为任意集合，则下列结论正确的有（    ） A．若⫋，则⫋ B．若，则 C． D．若，则 10．“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 11．设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．的周期为4 C． D．是偶函数 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．用列举法表示集合的结果为________. 13．已知函数，则________． 14．已知恒成立， 则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 16．(本小题15分）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 17．(本小题15分）已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 18．(本小题17分）已知命题，命题：方程有两个正根. (1)若命题是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 19．(本小题17分）已知定义在上的多项式函数满足：对任意实数，，都有，且． (1)求和的值； (2)求的解析式，并用定义法证明在区间上单调递增； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 参考结论：若一个多项式有无穷多个零点，则该多项式恒为零，即非零多项式仅有有限个零点． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D A C A BCD BC 题号 11 答案 AD 1．C 【详解】由题意得命题，的否定为，，故C正确. 2．B 【详解】由得，解得，则， 由，解得，则，所以. 3．C 【详解】由题意可知，解得，故原函数的定义域为. 4．B 【详解】由题知， 解，即，解得且，故且，则. 5．D 【详解】函数的定义域为，关于原点对称． 对任意，有．由于且，偶函数条件等价于，由指数函数的单调性得，此式对任意成立当且仅当． 6．A 【详解】因为函数的对称轴为， 又函数在区间上的函数值随着自变量的增大而减小，所以. 7．C 【详解】，故其图象为C中的图象. 8．A 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 9．BCD 【详解】对于A，设，， 此时，显然 ⫋成立，但是并不真包含于，所以，由⫋不能推出⫋，故A错误； 对于B，如果，说明集合的元素都在集合中，则，故B正确； 对于C，若一个元素同时属于 和，那么它必然满足“属于或属于”的条件，也就是说，中的任意元素一定在中， 所以， 恒成立，故C正确； 对于D，因为且，所以，又因为，所以，同理可得 ，因此，即，故D正确 10．BC 【详解】当时，方程的根为，符合；当时，方程为一元二次方程， 若关于的方程的根为正实数，则，解得， 综上，“关于的方程的根为正实数”等价于， 故“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是或. 11．AD 【详解】选项A： 因为是定义在上的奇函数，根据奇函数性质：对任意定义域内的都有， 令，可得，即，因此，A正确； 选项B： 由题设条件，将替换为可得：， 因此的周期是8，不是4，B错误； 选项C： 在条件中令，得；结合奇函数性质， 代入后仅能得到恒等式，无法推出， 例如符合题设的函数，满足上是奇函数、， 但，因此不一定为0，C错误； 选项D： 令，则；由变形得， 结合奇函数性质，可得，即， 所以是偶函数，即是偶函数，D正确. 12． 【详解】由，得是6的正约数，而的正约数为， 因此，，所以所求结果为. 13． 【详解】由函数，可得. 14． 【详解】令；令. ①当时，，此时最小值为； ②当时，，此时值恒为； ③当时，，此时最小值为. 综上所述，，所以. 15．【详解】（1）当时，， 因为，所以，； （2）因为，所以，故； （3）当时，. 16．【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得，所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. （2）任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为. 17．【详解】(1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 18．【详解】（1）若命题是真命题， 当时，原式变为，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：若命题是真命题，实数的取值范围为； 所以若命题是假命题，则实数的取值范围为. （2）由（1）可知：若命题是真命题，则；若命题是假命题，则或. 若命题：方程有两个正根为真命题， 则，解得； 即若命题为真命题，则；若命题为假命题，则或. 因为命题和中有且仅有一个是假命题， 当命题真且命题假时，则，可得或； 当命题假且命题真时，则，无解； 综上所述：实数实数的取值范围为. 19． (3). 【详解】（1）令，，得，故， 令，，得，故. （2）令，得， 即. 当，且时，由累加法得: , 当时，也符合上式， 所以当时，. 记, 由上述累加法可知所有正整数均满足，即函数有无穷个零点， 根据参考结论可得，， 所以，. 单调性证明： 任取,则 . 由，得，故，即， 因此在区间上单调递增. （3）不等式，即. 令，解得或. 因此原不等式等价于对任意,恒有或, 整理得或对任意恒成立. 设，由对勾函数性质， 在区间上单调递减,在区间上单调递增，， 故在区间上的最大值为3.因此，即， 设，由对勾函数性质，在区间上单调递增，最小值为. 因此，即.综上,实数的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $